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Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra

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Formelsammlung Mathematik

Raum ohne Skalarprodukt

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Tensoren

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Rechenregeln:

  • Das Tensorprodukt ist bilinear.
  • Assoziativgesetz: .

Tensorprodukt zweier Vektoren:

Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:

Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:

Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

Äußere Algebra

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Äußeres Produkt, Rechenregeln:

  • Das äußere Produkt ist bilinear.
  • Assoziativgesetz: .
  • Antikommutativität: für Vektoren des zugrundeliegenden Vektorraumes.
  • Wenn ein Skalar ist, dann gilt .

Seien alternierende Tensoren, sei und . Es gilt:

Sei ein endlich-dimensionaler Vektorraum und eine Basis von .

Für zwei Vektoren und gilt:

Sei ein alternierender Tensor. Wegen gilt:

Sei ein alternierender Tensor. Wegen gilt:

Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).

Applikation eines alternierenden Tensors auf zwei Vektoren:

Alternator

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Sind Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:

Ist für jedes ein Tensor erster Stufe, so gilt:

Seien Tensoren der Stufe . Sei ein Skalar. Es gilt:

Seien alternierende Tensoren, sei und . Es gilt:

Seien ein alternierender Tensor, sei . Es gilt:

Wenn ein alternierender Tensor vom Grad ist, dann ist .

Raum mit Skalarprodukt

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Metrischer Tensor

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mit


Ein Vektor kann als Linearkombination aus der Basis oder der Dualbasis dargestellt werden:


Tensor zweiter Stufe:


Tensor beliebiger Stufe: