Formelsammlung Mathematik: Multilineare Algebra

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Raum ohne Skalarprodukt

Tensoren

Rechenregeln:

• Das Tensorprodukt ist bilinear.
• Assoziativgesetz: $(a\otimes b)\otimes c=a\otimes (b\otimes c)$.

Tensorprodukt zweier Vektoren:

$v\otimes w={\Big (}\sum _{i}v^{i}b_{i}{\Big )}\otimes {\Big (}\sum _{j}w^{j}b_{j}{\Big )}=\sum _{ij}v^{i}w^{j}b_{i}\otimes b_{j}.$

Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:

$f\otimes g={\Big (}\sum _{i}f_{i}b^{i}{\Big )}\otimes {\Big (}\sum _{j}g_{i}b^{j}{\Big )}=\sum _{ij}f_{i}g_{j}b^{i}\otimes b^{j}.$

Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:

$T(v,w)={\Big (}\sum _{ij}T_{ij}b^{i}\otimes b^{j}{\Big )}{\Big (}\sum _{i}v^{i}b_{i},\sum _{j}w^{j}b_{j}{\Big )}=\sum _{ij}T_{ij}v^{i}w^{j}.$

Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

$T(v_{1},\ldots ,v_{p})=\sum _{i_{1}\ldots i_{p}}T_{i_{1}\ldots i_{p}}v_{1}^{i_{1}}\ldots v_{p}^{i_{p}}.$

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:

$T(v,w)=\sum _{i<j}T_{ij}(v^{i}w^{j}-v^{j}w^{i}).$

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

$T(v_{1},\ldots ,v_{p})=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{p}}T_{i_{1}\ldots i_{p}}\sum _{\sigma \in S_{p}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{1}^{\sigma (i_{1})}\ldots v_{p}^{\sigma (i_{p})}.$

Äußere Algebra

Äußeres Produkt, Rechenregeln:

• Das äußere Produkt ist bilinear.
• Assoziativgesetz: $(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$.
• Antikommutativität: $a\wedge b=-b\wedge a$ für Vektoren $a,b$ des zugrundeliegenden Vektorraumes.
• Wenn $\lambda$ ein Skalar ist, dann gilt $\lambda \wedge a=a\wedge \lambda =\lambda a$.

Seien $A,B$ alternierende Tensoren, sei $r:=\mathrm {Grad} (A)$ und $s:=\mathrm {Grad} (B)$. Es gilt:

$A\wedge B=(-1)^{rs}B\wedge A.$

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und $(b_{k})_{k=1}^{n}$ eine Basis von $V$.

Für zwei Vektoren $v=\sum \nolimits _{k}v^{k}b_{k}$ und $\sum \nolimits _{k}w^{k}b_{k}$ gilt:

$v\wedge w=\sum _{ij}v^{i}w^{j}b_{i}\wedge b_{j}=\sum _{i<j}(v^{i}w^{j}-v^{j}w^{i})b_{i}\wedge b_{j},$

$v\wedge w=v\otimes w-w\otimes v=\sum _{ij}(v^{i}w^{j}-v^{j}w^{i})b_{i}\otimes b_{j}=\sum _{ij}v^{i}w^{j}(b_{i}\otimes b_{j}-b_{j}\otimes b_{i}).$

Sei $T$ ein alternierender Tensor. Wegen $T^{ij}=-T^{ji}$ gilt:

$T=\sum _{ij}T^{ij}b_{i}\otimes b_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{ij}T^{ij}(b_{i}\otimes b_{j}-b_{j}\otimes b_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{ij}T^{ij}b_{i}\wedge b_{j}=\sum _{i<j}T^{ij}b_{i}\wedge b_{j}.$

Sei $T$ ein alternierender Tensor. Wegen $T^{i_{1}\ldots i_{p}}=\operatorname {sgn}(\sigma )T^{\sigma (i_{1})\ldots \sigma (i_{p})}$ gilt:

${\begin{aligned}T&=\sum _{i_{1}\ldots i_{p}}T^{i_{1}\ldots i_{p}}b_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes b_{i_{p}}=\sum _{i_{1}\ldots i_{p}}T^{i_{1}\ldots i_{p}}\mathrm {Alt} _{p}(b_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes b_{i_{p}})\\&={\frac {1}{p!}}\sum _{i_{1}\ldots i_{p}}T^{i_{1}\ldots i_{p}}b_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge b_{i_{p}}=\sum _{i_{1}<\ldots <i_{p}}T^{i_{1}\ldots i_{p}}b_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge b_{i_{p}}.\end{aligned}}$

Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).

Applikation eines alternierenden Tensors $\textstyle T\in \bigwedge ^{2}(V^{*})$ auf zwei Vektoren:

$T(v,w)={\Big (}\sum _{i<j}T_{ij}b^{i}\wedge b^{j}{\Big )}{\Big (}\sum _{i}v^{i}b_{i},\sum _{j}w^{j}b_{j}{\Big )}=\sum _{i<j}T_{ij}(v^{i}w^{j}-v^{j}w^{i}).$

Alternator

Sind $a,b$ Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:

$\mathrm {Alt} _{2}(a\otimes b)={\frac {1}{2}}(a\otimes b-b\otimes a),$

$a\wedge b=2\mathrm {Alt} _{2}(a\otimes b).$

Ist $a_{k}$ für jedes $k$ ein Tensor erster Stufe, so gilt:

$\mathrm {Alt} _{p}(a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{p})={\frac {1}{p!}}\sum _{\sigma \in S_{p}}\mathrm {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes a_{\sigma (p)},$

$a_{1}\wedge \ldots \wedge a_{p}=p!\mathrm {Alt} _{p}(a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{p}).$

Seien $T,S$ Tensoren der Stufe $p$. Sei $\lambda$ ein Skalar. Es gilt:

$\mathrm {Alt} _{p}(T+S)=\mathrm {Alt} _{p}(T)+\mathrm {Alt} _{p}(S),$

$\mathrm {Alt} _{p}(\lambda T)=\lambda \mathrm {Alt} _{p}(T).$

Seien $A,B$ alternierende Tensoren, sei $r:=\mathrm {Grad} (A)$ und $s:=\mathrm {Grad} (B)$. Es gilt:

$A\wedge B={\frac {(r+s)!}{r!s!}}\mathrm {Alt} _{r+s}(A\otimes B).$

Seien $A_{k}$ ein alternierender Tensor, sei $r_{k}:=\mathrm {Grad} (A_{k})$. Es gilt:

$A_{1}\wedge \ldots \wedge A_{p}={\frac {(r_{1}+\ldots +r_{p})!}{r_{1}!\ldots r_{p}!}}\mathrm {Alt} _{r_{1}+\ldots +r_{p}}(A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{p}).$

Wenn $A$ ein alternierender Tensor vom Grad $r$ ist, dann ist $\mathrm {Alt} _{r}(A)=A$.

Raum mit Skalarprodukt

Metrischer Tensor

$g_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle$	$g^{ij}=\langle b^{i},b^{j}\rangle$
$g_{ij}=g_{ji}$	$g^{ij}=g^{ji}$

$g=B^{T}B$ mit

$B=(b_{1},\ldots ,b_{m})=({\begin{bmatrix}b_{11}\\\ldots \\b_{n1}\end{bmatrix}},\ldots ,{\begin{bmatrix}b_{1m}\\\ldots \\b_{nm}\end{bmatrix}})={\begin{bmatrix}b_{11}&\ldots &b_{1m}\\\ldots &\ldots &\ldots \\b_{n1}&\ldots &b_{nm}\end{bmatrix}}$

$g^{ij}=(g^{-1})_{ij}$

${\begin{bmatrix}g^{11}&g^{12}\\g^{21}&g^{22}\end{bmatrix}}={\frac {1}{g_{11}g_{22}-g_{12}g_{12}}}{\begin{bmatrix}g_{22}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{11}\end{bmatrix}}$

Ein Vektor $v$ kann als Linearkombination aus der Basis $(b_{k})$ oder der Dualbasis $(b^{k})$ dargestellt werden:

$v=\sum _{k}v^{k}b_{k}=\sum _{k}v_{k}b^{k}.$

$v^{i}=\sum _{k}g^{ik}v_{k}$	$v_{i}=\sum _{k}g_{ik}v^{k}$
$b^{i}=\sum _{k}g^{ik}b_{k}$	$b_{i}=\sum _{k}g_{ik}b^{k}$

Tensor zweiter Stufe:

• $T=\sum _{ij}T^{ij}b_{i}\otimes b_{j}=\sum _{ij}T_{i}{}^{j}b^{i}\otimes b_{j}=\sum _{ij}T^{i}{}_{j}b_{i}\otimes b^{j}=\sum _{ij}T_{ij}b^{i}\otimes b^{j}$
• $T_{ij}=\sum _{k}g_{ki}T^{k}{}_{j}=\sum _{kl}g_{ki}g_{lj}T^{k}{}^{l}$

Tensor beliebiger Stufe:

• $T=\sum _{i_{1}\ldots i_{r}}T^{i_{1}\ldots i_{r}}b_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes b_{i_{r}}$
• $T_{\ldots }^{\ldots }{}_{i}{}_{\ldots }^{\ldots }=\sum _{k}g_{ik}T_{\ldots }^{\ldots }{}^{k}{}_{\ldots }^{\ldots }$
• $T_{\ldots }^{\ldots }{}^{i}{}_{\ldots }^{\ldots }=\sum _{k}g^{ik}T_{\ldots }^{\ldots }{}_{k}{}_{\ldots }^{\ldots }$