Rechenregeln:
- Das Tensorprodukt ist bilinear.
- Assoziativgesetz: .
Tensorprodukt zweier Vektoren:
Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:
Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:
Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:
Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:
Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:
Äußeres Produkt, Rechenregeln:
- Das äußere Produkt ist bilinear.
- Assoziativgesetz: .
- Antikommutativität: für Vektoren des zugrundeliegenden Vektorraumes.
- Wenn ein Skalar ist, dann gilt .
Seien alternierende Tensoren, sei und . Es gilt:
Sei ein endlich-dimensionaler Vektorraum und eine Basis von .
Für zwei Vektoren und gilt:
Sei ein alternierender Tensor. Wegen gilt:
Sei ein alternierender Tensor. Wegen gilt:
Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).
Applikation eines alternierenden Tensors auf zwei Vektoren:
Sind Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:
Ist für jedes ein Tensor erster Stufe, so gilt:
Seien Tensoren der Stufe .
Sei ein Skalar. Es gilt:
Seien alternierende Tensoren, sei und . Es gilt:
Seien ein alternierender Tensor, sei . Es gilt:
Wenn ein alternierender Tensor vom Grad ist, dann ist
.
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mit
Ein Vektor kann als Linearkombination
aus der Basis oder der Dualbasis dargestellt werden:
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Tensor zweiter Stufe:
Tensor beliebiger Stufe: