Raum ohne Skalarprodukt[Bearbeiten]
Rechenregeln:
- Das Tensorprodukt ist bilinear.
- Assoziativgesetz:
.
Tensorprodukt zweier Vektoren:

Alle Rechenregeln gelten analog für Kovektoren:

Applikation eines Tensors vom Typ (0,2) auf zwei Vektoren:

Applikation eines Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,2) auf auf zwei Vektoren:

Applikation eines antisymmetrischen Tensors vom Typ (0,p) auf p Vektoren:

Äußeres Produkt, Rechenregeln:
- Das äußere Produkt ist bilinear.
- Assoziativgesetz:
.
- Antikommutativität:
für Vektoren
des zugrundeliegenden Vektorraumes.
- Wenn
ein Skalar ist, dann gilt
.
Seien
alternierende Tensoren, sei
und
. Es gilt:

Sei
ein endlich-dimensionaler Vektorraum und
eine Basis von
.
Für zwei Vektoren
und
gilt:


Sei
ein alternierender Tensor. Wegen
gilt:

Sei
ein alternierender Tensor. Wegen
gilt:

Alle Rechenregeln gelten auch für Kovektoren (dargestellt als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis) bzw. Tensoren vom Typ (0,p) anstelle des Typs (p,0).
Applikation eines alternierenden Tensors
auf zwei Vektoren:

Sind
Tensoren vom Typ (1,0) oder (0,1), so gilt:


Ist
für jedes
ein Tensor erster Stufe, so gilt:


Seien
Tensoren der Stufe
.
Sei
ein Skalar. Es gilt:


Seien
alternierende Tensoren, sei
und
. Es gilt:

Seien
ein alternierender Tensor, sei
. Es gilt:

Wenn
ein alternierender Tensor vom Grad
ist, dann ist
.
Raum mit Skalarprodukt[Bearbeiten]
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mit

Ein Vektor
kann als Linearkombination
aus der Basis
oder der Dualbasis
dargestellt werden:

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Tensor zweiter Stufe:


Tensor beliebiger Stufe:


