Formelsammlung Mathematik: Quadratische Funktionen

↑ Formelsammlung Mathematik

Allgemeine quadratische Funktionen

Standardform

Definition. Eine Funktion der Form

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

mit $a\neq 0$ heißt quadratische Funktion.

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist

$f(x)=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s},$

wobei es sich bei $S=(x_{s}|y_{s})$ um den Scheitelpunkt handelt.

Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden. Es ergibt sich:

$b=-2ax_{s},$

$c=ax_{s}^{2}+y_{s}.$

Umgekehrt ist:

$x_{s}=-{\frac {b}{2a}},$

$y_{s}=c-ax_{s}^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$

Bei $x_{s}$ handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:

$x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.$

Schnittpunkte

Parabel und Gerade

Gegeben ist

$f(x)=ax^{2}+bx+c,$

$g(x)=mx+n$

mit $a\neq 0$.

Aufgabe: Bestimme

$L=\{x\mid f(x)=g(x)\}.$

Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung

$0=ax^{2}+(b-m)+c-n.$

Berechnet wird die Diskriminante:

$D=(b-m)^{2}-4(c-n)a.$

D>0	D=0	D<0
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind: $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},$ $x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}.$	Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist: $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.$	Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.

Interpolation

Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion $f(x)=x^{2}+px+q$ soll durch die Punkte $(x_{1}|y_{1})$ und $(x_{2}|y_{2})$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für $p,q$:

${\begin{vmatrix}x_{1}p+q=y_{1}-x_{1}^{2}\\x_{2}p+q=y_{2}-x_{2}^{2}\end{vmatrix}}.$

Die Lösungen sind:

${\begin{aligned}p&={\frac {(y_{2}-y_{1})-(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{x_{2}-x_{1}}},\\q&={\frac {(y_{1}-x_{1}^{2})\,x_{2}-(y_{2}-x_{2}^{2})\,x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}$

Parabel durch drei Punkte

Aufgabe: Der Graph der Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$ soll durch die Punkte $(x_{1}|y_{1}),(x_{2}|y_{2})$ und $(x_{3}|y_{3})$ verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für $a,b,c$:

${\begin{vmatrix}x_{1}^{2}a+x_{1}b+c=y_{1}\\x_{2}^{2}a+x_{2}b+c=y_{2}\\x_{3}^{2}a+x_{3}b+c=y_{3}\end{vmatrix}}.$

Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst

$f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}\cdot (x-x_{1})+y_{1}$

mit

$a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

und

$a_{2}={\frac {1}{x_{3}-x_{2}}}\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-a_{1}\right).$

Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich:

${\begin{aligned}a&=a_{2},\\b&=a_{1}-a_{2}\cdot (x_{1}+x_{2}),\\c&=y_{1}-a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}$