Definition. Eine Funktion der Form
![{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fca4dfe28e7b4a4a336578daaab18c87397073)
mit
heißt quadratische Funktion.
Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist
![{\displaystyle f(x)=a\cdot (x-x_{s})^{2}+y_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfef0e0fea6767c49c37af557763b1138c4ddf30)
wobei es sich bei
um den Scheitelpunkt handelt.
Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden.
Es ergibt sich:
![{\displaystyle b=-2ax_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d56352d9e3275e705917cfdb7638154d32a9a)
![{\displaystyle c=ax_{s}^{2}+y_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305bd48e0d6a21e82cb2fe95274e644404b4d69c)
Umgekehrt ist:
![{\displaystyle x_{s}=-{\frac {b}{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffb9c4baa700c8bf43db1cc1b594b93b420f259)
![{\displaystyle y_{s}=c-ax_{s}^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790bac6b0c15d2c29a32b77df00f87789daacb6e)
Bei
handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:
![{\displaystyle x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4465a479ee503e6ea81066b065adf0d6458388ff)
Gegeben ist
![{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba19534f962564659c4c764c520a9b1c2583290)
![{\displaystyle g(x)=mx+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe12929607079189a6be0c14620687350c5ee25)
mit
.
Aufgabe: Bestimme
![{\displaystyle L=\{x\mid f(x)=g(x)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a2fe69105caf71c3ed9f0323d8e4dba4739401)
Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung
![{\displaystyle 0=ax^{2}+(b-m)+c-n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbea39e65371bf54049b19f4eb38d98f1a88cb5)
Berechnet wird die Diskriminante:
![{\displaystyle D=(b-m)^{2}-4(c-n)a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59632753f0780a6cd4103a471373bcd44206e67)
D>0
|
D=0
|
D<0
|
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind:
![{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74835161f7696543837e4efbc3cc1d4dd97554bc)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719a91870003a38b7c0ed171bd2441ffdb9ecab4)
|
Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist:
![{\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b841f6bb8779f928595c7a733e636fe0a8007e81)
|
Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.
|
Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte
[Bearbeiten]
Aufgabe: Der Graph der Funktion
soll
durch die Punkte
und
verlaufen.
Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
für
:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}p+q=y_{1}-x_{1}^{2}\\x_{2}p+q=y_{2}-x_{2}^{2}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3eebfda96fd42f0fd424cea4d2aa4a8d54dfc95)
Die Lösungen sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {(y_{2}-y_{1})-(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})}{x_{2}-x_{1}}},\\q&={\frac {(y_{1}-x_{1}^{2})\,x_{2}-(y_{2}-x_{2}^{2})\,x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91d66f8aa8e42b9167a16a11d644ff9a58ad1b6)
Aufgabe: Der Graph der Funktion
soll durch die Punkte
und
verlaufen.
Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem
für
:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}a+x_{1}b+c=y_{1}\\x_{2}^{2}a+x_{2}b+c=y_{2}\\x_{3}^{2}a+x_{3}b+c=y_{3}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fae2497ec4710535cd575cc50fda910a0a3f871)
Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst
![{\displaystyle f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})+a_{1}\cdot (x-x_{1})+y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9476e1014fcb5e8be81c77b89acc430c750e226d)
mit
![{\displaystyle a_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732329a085e3bbf23ed926946e1f011362ac4161)
und
![{\displaystyle a_{2}={\frac {1}{x_{3}-x_{2}}}\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-a_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefd3df6bc10598111097fa1021d067d3c20964e)
Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{2},\\b&=a_{1}-a_{2}\cdot (x_{1}+x_{2}),\\c&=y_{1}-a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d85b2c3fdf64bd666cb3737f3201471e8709c14)