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Formelsammlung Mathematik: Quadratische Funktionen

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Formelsammlung Mathematik

Allgemeine quadratische Funktionen

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Standardform

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Definition. Eine Funktion der Form

mit heißt quadratische Funktion.

Scheitelpunktform

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Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion ist

wobei es sich bei um den Scheitelpunkt handelt.

Die Scheitelpunktform kann durch Ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich in die Standardform umgeformt werden. Es ergibt sich:

Umgekehrt ist:

Bei handelt es sich um den arithmetischen Mittelwert der beiden Nullstellen:

Schnittpunkte

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Parabel und Gerade

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Gegeben ist

mit .

Aufgabe: Bestimme

Lösung: Äquivalenzumformung führt auf die quadratische Gleichung

Berechnet wird die Diskriminante:

D>0 D=0 D<0
Die Gerade ist eine Sekante der Parabel, d. h. sie schneidet die Parabel in zwei Punkten. Die Stellen sind:
Die Gerade ist eine Tangente der Parabel, d. h. sie berührt die Parabel an einem Punkt. Die Stelle ist:
Die Gerade ist eine Passante der Parabel, d. h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge.

Interpolation

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Ungestauchte Parabel durch zwei Punkte

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Aufgabe: Der Graph der Funktion soll durch die Punkte und verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für :

Die Lösungen sind:

Parabel durch drei Punkte

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Aufgabe: Der Graph der Funktion soll durch die Punkte und verlaufen.

Ansatz: Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem für :

Alternative Lösung: Berechnet wird zunächst

mit

und

Ausmultiplizieren und ein Koeffizientenvergleich bringt die Lösung. Es ergibt sich: