Definition. Partialsumme, Reihe, Summe.
Ist
eine Folge, so wird die Folge
von Partialsummen
![{\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e250e7a4c6e053c31e8defba249214d267625c5)
als Reihe bezeichnet. Der Grenzwert
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c854c9ae233fb25f5d83aecccceb7a5bc2116cfc)
wird Wert oder Summe der Reihe genannt.
Zwei Reihen
und
können Gliedweise verglichen werden:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\;:\Longleftrightarrow \;(A_{n})=(B_{n})\iff \forall n{\in }\mathbb {N} _{0}\colon \,A_{n}=B_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/516f3b69e34391d686bb763aec015a6540222cf2)
oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\iff \lim _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }B_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a249176c35c4e0fa828d0ed4451a516eb83467f3)
Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge
durch
![{\displaystyle b_{0}:=a_{0},\quad b_{k}:=a_{k}-a_{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d684f9f5711cf25d6537cbc0f91b1b0823182b9)
als Reihe
![{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f77451a260701c20c6f9acf7c1c3b0933cb6a8)
darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.
Sind die Reihen
und
konvergent mit
und
, so gilt:
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=A+B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1ea9838a91089d0ad85ec8f53e8a5b3d43c907)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=A-B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce92958132ca805e1d0d9b0078dcf879d7bcdf0)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ra_{k}=r\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=rA.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189394eed60704e6fd894b5f9eff40e43b4bef39)
Sei
![{\displaystyle A_{m}:=\sum _{n=0}^{m}a_{n},\quad A_{m}\to A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e99e5e2196fe9a49bdf2c01f1edec3e22c2001e)
![{\displaystyle B_{m}:=\sum _{n=0}^{m}b_{n},\quad B_{m}\to B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57bda7a2b1ccb66a3831749f77ffd85023acfb46)
![{\displaystyle C_{m}:=\sum _{n=0}^{m}c_{n},\quad C_{m}\to C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5c762f77dd345753c0eb72a03f3096169cd529)
Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen
absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt
.
Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen,
eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt
.
Sei
ein normierter Raum.
Definition. Absolute Konvergenz.
Eine Reihe
mit
heißt absolut konvergent, wenn
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|a_{k}\|<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8299ac5488d532cf19fec28523627ea321c2e1c4)
ist.
Es gilt:
ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.
Ist
ein Banachraum und
eine absolut konvergente Reihe
von Punkten
, so ist
auch unbedingt konvergent.
Gegeben ist eine Reihe
, wobei
die
reelle oder komplexe Zahlen sind und
ab einem
gewissen
ist.
Existiert der Grenzwert
![{\displaystyle g=\lim _{k\to \infty }{\bigg |}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}{\bigg |},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a979a9607e3f152c5c9eae8561ad029df759e14)
so gilt:
ist absolut konvergent,
ist divergent,
keine Aussage.