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Formelsammlung Mathematik: Reihen

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Formelsammlung Mathematik
Liste von unendlichen Reihen

Reihen[Bearbeiten]

Definition. Partialsumme, Reihe, Summe.

Ist eine Folge, so wird die Folge von Partialsummen

als Reihe bezeichnet. Der Grenzwert

wird Wert oder Summe der Reihe genannt.

Zwei Reihen und können Gliedweise verglichen werden:

oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:

Teleskopsumme[Bearbeiten]

Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge durch

als Reihe

darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.

Rechnen mit Reihen[Bearbeiten]

Summen und Vielfache[Bearbeiten]

Sind die Reihen und konvergent mit und , so gilt:

Cauchy-Produkt[Bearbeiten]

Sei

Definition. Cauchy-Produkt.

Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen und ist definiert durch

mit .

Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt

.

Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen, eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt

.

Arten von Konvergenz[Bearbeiten]

Absolute Konvergenz[Bearbeiten]

Sei ein normierter Raum.

Definition. Absolute Konvergenz.

Eine Reihe mit heißt absolut konvergent, wenn

ist.

Es gilt: ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.

Unbedingte Konvergenz[Bearbeiten]

Definition. Unbedingte Konvergenz.

Eine konvergente Reihe mit , für welche die Gleichung

für alle Permutationen gilt, heißt unbedingt konvergent gegen .

Ist ein Banachraum und eine absolut konvergente Reihe von Punkten , so ist auch unbedingt konvergent.

Konvergenzkriterien[Bearbeiten]

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Gegeben ist eine Reihe , wobei die reelle oder komplexe Zahlen sind und ab einem gewissen ist.

Existiert der Grenzwert

so gilt:

ist absolut konvergent,
ist divergent,
keine Aussage.