Formelsammlung Mathematik: Reihen

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Reihen

Definition. Partialsumme, Reihe, Summe.

Ist $(a_{n})$ eine Folge, so wird die Folge $(s_{n})$ von Partialsummen

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$

als Reihe bezeichnet. Der Grenzwert

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}=\lim _{n\to \infty }s_{n}$

wird Wert oder Summe der Reihe genannt.

Zwei Reihen $\textstyle A_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $\textstyle B_{n}:=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$ können Gliedweise verglichen werden:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\;:\Longleftrightarrow \;(A_{n})=(B_{n})\iff \forall n{\in }\mathbb {N} _{0}\colon \,A_{n}=B_{n},$

oder es werden nur die Summen der Reihen verglichen:

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\iff \lim _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }B_{n}.$

Teleskopsumme

Jede Reihe ist eine Folge. Umgekehrt lässt sich aber auch jede beliebige Folge $(a_{n})$ durch

$b_{0}:=a_{0},\quad b_{k}:=a_{k}-a_{k-1}$

als Reihe

$a_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})$

darstellen. Die Summe auf der rechten Seite wird als Teleskopsumme bezeichnet.

Rechnen mit Reihen

Summen und Vielfache

Sind die Reihen $\textstyle A_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ und $\textstyle B_{n}:=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$ konvergent mit $A_{n}\to A$ und $B_{n}\to B$, so gilt:

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=A+B,$

$\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=A-B,$

$\sum _{k=0}^{\infty }ra_{k}=r\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=rA.$

Cauchy-Produkt

Sei

$A_{m}:=\sum _{n=0}^{m}a_{n},\quad A_{m}\to A,$

$B_{m}:=\sum _{n=0}^{m}b_{n},\quad B_{m}\to B,$

$C_{m}:=\sum _{n=0}^{m}c_{n},\quad C_{m}\to C.$

Definition. Cauchy-Produkt.

Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen $(A_{m})$ und $(B_{m})$ ist definiert durch

$C_{m}:=\sum _{n=0}^{m}c_{n}$ mit $c_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$.

Das Cauchy-Produkt von zwei reellen oder komplexen absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent und es gilt

$C=AB$.

Satz von Mertens. Das Cauchy-Produkt von reellen oder komplexen konvergenten Reihen, eine davon absolut konvergent, ist konvergent und es gilt

$C=AB$.

Arten von Konvergenz

Absolute Konvergenz

Sei $X$ ein normierter Raum.

Definition. Absolute Konvergenz.

Eine Reihe $\textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ mit $a_{k}\in X$ heißt absolut konvergent, wenn

$\sum _{k=0}^{\infty }\|a_{k}\|<\infty$

ist.

Es gilt: $X$ ist genau dann ein Banachraum, wenn jede absolut konvergente Reihe auch konvergent ist.

Unbedingte Konvergenz

Definition. Unbedingte Konvergenz.

Eine konvergente Reihe $\textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$ mit $s_{n}\to s$, für welche die Gleichung

$s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{\sigma (k)}$

für alle Permutationen $\sigma \in \operatorname {Sym} (\mathbb {N} _{0})$ gilt, heißt unbedingt konvergent gegen $s$.

Ist $X$ ein Banachraum und $s_{n}$ eine absolut konvergente Reihe von Punkten $a_{k}\in X$, so ist $s_{n}$ auch unbedingt konvergent.

Konvergenzkriterien

Quotientenkriterium

Gegeben ist eine Reihe $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$, wobei die $a_{k}$ reelle oder komplexe Zahlen sind und $a_{k}\neq 0$ ab einem gewissen $k$ ist.

Existiert der Grenzwert

$g=\lim _{k\to \infty }{\bigg |}{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}{\bigg |},$

so gilt:

$g<1\implies (s_{n})\,$ist absolut konvergent,

$g>1\implies (s_{n})\,$ist divergent,

$g=1\implies$ keine Aussage.