Formelsammlung Mathematik: Riemannsche Geometrie

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Einbettung

Betrachte eine n-dimensionale riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ , eingebettet in den $\mathbb {R} ^{m}$ .

Sei $\varphi$ eine lokale Karte

\varphi \colon {\tilde {U}}\to U,\quad {\tilde {U}}\subseteq \mathbb {R} ^{n},\quad U\subseteq M\subseteq \mathbb {R} ^{m}.

Sei $(\mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{m})$ die kanonische Basis des $\mathbb {R} ^{m}$ .

Basis von $T_{p}M$	Duale Basis
$\mathbf {g} _{i}(u)=(\partial _{i}\varphi )(u)={\frac {\partial \varphi }{\partial u^{i}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial \varphi ^{k}}{\partial u^{i}}}\mathbf {e} _{k}$ wobei $p=\varphi (u)$	$\mathbf {g} ^{i}=\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial \varphi ^{k}}{\partial u^{j}}}\mathbf {e} _{k}$

Paarung und Skalarprodukte der Basisvektoren
$\delta _{ij}=\langle \mathbf {g} ^{i},\mathbf {g} _{j}\rangle$	$g_{ij}=\langle \mathbf {g} _{i},\mathbf {g} _{j}\rangle$	$g^{ij}=\langle \mathbf {g} ^{i},\mathbf {g} ^{j}\rangle$

Jacobi-Matrix:

J=(D\varphi )(u),\quad J_{ij}={\frac {\partial \varphi ^{i}}{\partial u^{j}}},\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n.

Induzierter metrischer Tensor:

g=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,\mathbf {g} ^{i}\otimes \mathbf {g} ^{j},

(g_{ij})=J^{T}J,

(g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.

Kovariante Ableitung

Vektorfeld	Kovektorfeld
$v=\sum _{k}v^{k}\mathbf {g} _{k}$	$v=\sum _{k}v_{k}\mathbf {g} ^{k}$
$\nabla _{i}v=\sum _{k}(\nabla _{i}v)^{k}\mathbf {g} _{k}$	$\nabla _{i}v=\sum _{k}(\nabla _{i}v)_{k}\mathbf {g} ^{k}$
$(\nabla _{i}v)^{k}=\partial _{i}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}v^{j}$	$(\nabla _{i}v)_{k}=\partial _{i}v_{k}-\sum _{j}\Gamma _{ik}^{j}v_{j}$
$\nabla _{i}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {g} _{k}$	$\nabla _{i}\mathbf {g} ^{k}=-\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}\mathbf {g} ^{j}$
$\nabla _{w}\mathbf {g} _{j}=\sum _{k,i}\Gamma _{ij}^{k}w^{i}\mathbf {g} _{k}$
$\nabla _{w}v=\sum _{k}(\nabla _{w}v)^{k}\mathbf {g} _{k}$	$\nabla _{w}v=\sum _{k}(\nabla _{w}v)_{k}\mathbf {g} ^{k}$
$(\nabla _{w}v)^{k}=D_{w}v^{k}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{k}w^{i}v^{j}$
$(\nabla _{w}v)^{k}=\sum _{i}(\nabla _{i}v)^{k}w^{i}$

Christoffel-Symbole

Christoffelsymbole bezüglich einer lokalen Karte:

\Gamma _{ij}^{k}=\langle \mathbf {g} ^{k},\nabla _{i}\mathbf {g} _{j}\rangle =-\langle \mathbf {g} _{i},\nabla _{j}\mathbf {g} ^{k}\rangle .

Christoffelsymbole in Abhängigkeit des metrischen oder pseudo-metrischen Tensors:

\Gamma _{ab}^{d}={\frac {1}{2}}\sum _{c}g^{dc}(\partial _{a}g_{bc}+\partial _{b}g_{ac}-\partial _{c}g_{ab}),

\Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}(\partial _{a}g_{bc}+\partial _{b}g_{ac}-\partial _{c}g_{ab}),

\partial _{a}g_{bc}=\Gamma _{bac}+\Gamma _{cab},

\Gamma _{ab}^{d}=\Gamma _{ba}^{d},\quad \Gamma _{cab}=\Gamma _{cba}.

Musikalische Isomorphismen

Definition. Musikalische Isomorphismen.

Sei (M, g) eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei

\Phi _{p}\colon \,T_{p}M\to T_{p}^{*}M,\quad \Phi _{p}(v)(w):=g_{p}(v,w)

für jeden Punkt p ∈ M.

Für Vektorfelder $X,Y\colon M\to TM$ ergibt sich

\Phi \colon TM\to T^{*}M,\quad \Phi (X)(Y):=g(X,Y).

Unter den musikalischen Isomorphismen versteht man nun $X^{\flat }:=\Phi (X)$ und $\omega ^{\sharp }:=\Phi ^{-1}(\omega )$ .

Für eine Koordinatendarstellung wird eine Basis von $T_{p}M$ jeweils für jeden Punkt p benötigt. Sei dazu $(\mathbf {g} _{k})_{k=1}^{n}$ ein lokaler Rahmen und $(\mathbf {g} ^{k})_{k=1}^{n}$ der dazu gehörige Korahmen. Die Metrik g wird als metrischer Tensor bezüglich des Korahmens dargestellt:

g(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(p)\,\mathbf {g} ^{i}(p)\otimes \mathbf {g} ^{j}(p),

kurz

g=g_{ij}\,\mathbf {g} ^{i}\otimes \mathbf {g} ^{j}.

Eine äquivalente Definition ist nun

X^{\flat }={\Big (}\sum _{k=1}^{n}X^{k}\mathbf {g} _{k}{\Big )}^{\flat }:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}X^{i}\mathbf {g} ^{j}

und

\omega ^{\sharp }={\Big (}\sum _{k=1}^{n}\omega _{k}\mathbf {g} ^{k}{\Big )}^{\sharp }:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g^{ij}\omega _{i}\mathbf {g} _{j},

wobei die Gleichungen punktweise für Punkte p ∈ M gelten.

Definition. Musikalische Isomorphismen für äußere Produkte.

Bei einem Multivektor ist zu beachten, dass es mehrere Indizes gibt, die jeweils gesenkt bzw. gehoben werden können. Der kanonische Isomorphismus kann als Senken aller Indizes verstanden werden. Das ist die lineare Abbildung

\Phi \colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}(V^{*}),\quad \Phi (v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}):=v_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge v_{n}^{\flat }.

Man schreibt wieder $X^{\flat }:=\Phi (X)$ und $\omega ^{\sharp }:=\Phi ^{-1}(\omega )$

Eigenschaften

Bei $\Phi$ handelt es sich für jeden Punkt p um eine bijektive lineare Abbildung. Es gilt also:

$(v+w)^{\flat }=v^{\flat }+w^{\flat },$
$(\lambda v)^{\flat }=\lambda v^{\flat },$
$(\psi +\omega )^{\sharp }=\psi ^{\sharp }+\omega ^{\sharp },$
$(\lambda \omega )^{\sharp }=\lambda \omega ^{\sharp },$
$(v^{\flat })^{\sharp }=v,$
$(\omega ^{\sharp })^{\flat }=\omega .$

Außerdem gilt:

$(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n})^{\flat }:=v_{1}^{\flat }\wedge \ldots \wedge v_{n}^{\flat },$
$(\omega _{1}\wedge \ldots \wedge \omega _{n})^{\sharp }:=\omega _{1}^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \omega _{n}^{\sharp }.$