Definition. Bilineare Abbildung.
Eine Abbildung
heißt bilinear, wenn folgende Axiome für beliebige Argumente erfüllt sind:
(additiv im ersten Argument),
(additiv im zweiten Argument),
(homogen im ersten Argument),
(homogen im zweiten Argument).
Definition. Skalarprodukt.
Eine bilineare Abbildung
heißt Skalarprodukt, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
(symmetrisch),
für
(positiv definit).
Definition. Sesquilinearform.
Eine Abbildung
heißt Sesquilinearform, wenn gilt:
(additiv im ersten Argument),
(additiv im zweiten Argument),
(konjugiert homogen im ersten Argument),
(homogen im zweiten Argument).
Definition. Skalarprodukt.
Eine Sesquilinearform
heißt Skalarprodukt, wenn gilt:
(hermitisch),
für
(positiv definit).
Es gilt:
![{\displaystyle \langle v,v\rangle \geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0be58d9d384777379535f8a8c1084a131b1b62)
![{\displaystyle \langle v,v\rangle =0\iff v=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df9b6e052e8e7866b0d90fbe92844a59d11adb9)
Ein Skalarprodukt
induziert die Norm
![{\displaystyle \|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2946bc8e598b1224295796d71af4cb66641b3492)
In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt wird durch die Gleichung
![{\displaystyle \langle v,w\rangle =\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ec09dc67ba266128137df74a622f7d2c0a95f7)
der Winkel
definiert.
Definition. Orthogonalität.
![{\displaystyle v\perp w\;:\Longleftrightarrow \;\langle v,w\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28f58c34332bafa20c0b2385b9c63a7cf2f19f9)
Sei
eine Basis eines reellen Vektorraums und sei
![{\displaystyle \textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v^{k}b_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w^{k}b_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52893adcff773d931f64914e06b2874866bd114)
Sind die Skalarprodukte
![{\displaystyle g_{ij}:=\langle b_{i},b_{j}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b5346473650f45d2f653c681481dcdebd5fa6e)
gegeben, so kann das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren nach der Formel
- (1)
![{\displaystyle \langle v,w\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}v^{i}w^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590653fdb805c876751c1daf5099c70ba44f0a78)
berechnet werden. Die Zahlen
lassen sich zu einer Matrix
zusammenfassen. Außerdem lassen sich die Koordinaten
und
zu Tupeln
und
zusammenfassen. Nun kann Formel (1) in der Form
- (2)
![{\displaystyle \langle v,w\rangle =\langle Gx,y\rangle =\langle x,Gy\rangle =x^{T}G\,y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b13bf58a84715f1d6204f249d61e11f8abdcc30)
formuliert werden, wobei mit den rechten Skalarprodukten das Standardskalarprodukt gemeint ist. Der letzte Ausdruck der Gleichungskette ist gültig, wenn man die Koordinatentupel
nicht als Elemente von
betrachtet, sondern als Spaltenvektoren, d. h. als Elemente aus
.
Die Matrix
ist immer symmetrisch und positiv definit, d. h. es gilt:
,
- ist
ein Eigenwert von
, so gilt
.
Ist umgekehrt
eine positiv definite symmetrische Matrix, so ist
![{\displaystyle f(x,y):=\langle Gx,y\rangle ,\;f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/002f80ac486314a64b44cf7433121b924bd0ec38)
ein Skalarprodukt.
Ein Skalarprodukt lässt sich auch als konstanter metrischer Tensor interpretieren, und dann ist
die Koordinatendarstellung dieses Tensors. Das heißt: für
![{\displaystyle g:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}b^{i}\otimes b^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f20fe1b136cf75502971c923bae228cfd24efc0)
gilt:
![{\displaystyle \langle v,w\rangle =g(v,w).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b64dfeabc8f3bbbdef93ce5b3a498fdea42b59)
Berechnet wird
durch Tensormultiplikation und anschließender Tensorkontraktion mit dualer Paarung
, was aber wieder in Formel (1) bzw. (2) resultiert.
Wichtig ist, dass Koordinatendarstellungen immer nur bezüglich einer bestimmten Basis gültig sind und beim Basiswechsel umgerechnet werden müssen.
Definition. Orthogonalbasis.
Eine Basis
heißt Orthogonalbasis, wenn gilt:
![{\displaystyle i\neq j\implies \langle b_{i},b_{j}\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e6a251d4217752c62edfeecdbd40c74bd7ebd4)
Sei
eine Orthogonalbasis und sei
![{\displaystyle \textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v_{k}b_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w_{k}b_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a820d47dae0e95860a89854cc6bcd440068459cb)
Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthogonalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:
Reelles Skalarprodukt
|
Komplexes Skalarprodukt
|
|
|
Außerdem gilt:
![{\displaystyle v_{k}={\frac {\langle b_{k},v\rangle }{\langle b_{k},b_{k}\rangle }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef7da08e508a3462f775f82cb6bee12435828f3)
Für die Norm gilt:
![{\displaystyle \|v\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|b_{k}\|^{2}|v_{k}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a719d985585e21626797270908cd5d6cb752035)
Definition. Orthonormalbasis.
Eine Basis
heißt Orthonormalbasis, wenn gilt:
![{\displaystyle \langle b_{i},b_{j}\rangle =\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba6300198b3f61ac9783f5123ff4adcca317bf7)
mit
![{\displaystyle \delta _{ij}:={\begin{cases}1&{\text{wenn}}\;i=j,\\0&{\text{wenn}}\;i\neq j.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7884b4dfa5ff209443bd44893efd609974f2e349)
Sei
eine Orthonormalbasis und sei
![{\displaystyle \textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v_{k}e_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w_{k}e_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde30c2c6e8618943c61a0ee9aa2bd16ce386b2d)
Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:
Reelles Skalarprodukt
|
Komplexes Skalarprodukt
|
|
|
Außerdem gilt:
![{\displaystyle v_{k}=\langle e_{k},v\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31734ecf6dc24e90c14cea9fefc4f799ece1b590)
Für die Norm gilt:
![{\displaystyle \|v\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118770e95bfe8eb28cad49aca9c85dd7878cbec4)
Für linear unabhängige Vektoren
wird durch
![{\displaystyle w_{k}:=v_{k}-\sum _{i=1}^{k-1}P[w_{i}](v_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a006fe15ea6c2c63e8ed3ce6a5e1a4f218fea186)
ein Orthogonalsystem
berechnet.
Speziell für zwei nicht kollineare Vektoren
gilt:
![{\displaystyle w_{1}:=v_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20850582b7ebb8bf2d8b6940d631abf93598c0f)
![{\displaystyle w_{2}:=v_{2}-P[w_{1}](v_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e8728f6e07e8e631929cafc02d8614e0364c4b)