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Formelsammlung Mathematik: Skalarprodukte

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Formelsammlung Mathematik

Definition

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Reelles Skalarprodukt

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Definition. Bilineare Abbildung.

Eine Abbildung heißt bilinear, wenn folgende Axiome für beliebige Argumente erfüllt sind:

  1. (additiv im ersten Argument),
  2. (additiv im zweiten Argument),
  3. (homogen im ersten Argument),
  4. (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine bilineare Abbildung heißt Skalarprodukt, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1. (symmetrisch),
  2. für (positiv definit).

Komplexes Skalarprodukt

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Definition. Sesquilinearform.

Eine Abbildung heißt Sesquilinearform, wenn gilt:

  1. (additiv im ersten Argument),
  2. (additiv im zweiten Argument),
  3. (konjugiert homogen im ersten Argument),
  4. (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine Sesquilinearform heißt Skalarprodukt, wenn gilt:

  1. (hermitisch),
  2. für (positiv definit).

Eigenschaften

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Es gilt:

Ein Skalarprodukt induziert die Norm

Winkel

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In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt wird durch die Gleichung

der Winkel definiert.

Definition. Orthogonalität.

Koordinatendarstellung

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Sei eine Basis eines reellen Vektorraums und sei

Sind die Skalarprodukte

gegeben, so kann das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren nach der Formel

(1)  

berechnet werden. Die Zahlen lassen sich zu einer Matrix zusammenfassen. Außerdem lassen sich die Koordinaten und zu Tupeln und zusammenfassen. Nun kann Formel (1) in der Form

(2)  

formuliert werden, wobei mit den rechten Skalarprodukten das Standardskalarprodukt gemeint ist. Der letzte Ausdruck der Gleichungskette ist gültig, wenn man die Koordinatentupel nicht als Elemente von betrachtet, sondern als Spaltenvektoren, d. h. als Elemente aus .

Die Matrix ist immer symmetrisch und positiv definit, d. h. es gilt:

  • ,
  • ist ein Eigenwert von , so gilt .

Ist umgekehrt eine positiv definite symmetrische Matrix, so ist

ein Skalarprodukt.

Ein Skalarprodukt lässt sich auch als konstanter metrischer Tensor interpretieren, und dann ist die Koordinatendarstellung dieses Tensors. Das heißt: für

gilt:

Berechnet wird durch Tensormultiplikation und anschließender Tensorkontraktion mit dualer Paarung , was aber wieder in Formel (1) bzw. (2) resultiert.

Wichtig ist, dass Koordinatendarstellungen immer nur bezüglich einer bestimmten Basis gültig sind und beim Basiswechsel umgerechnet werden müssen.

Orthogonalbasen

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Definition. Orthogonalbasis.

Eine Basis heißt Orthogonalbasis, wenn gilt:

Sei eine Orthogonalbasis und sei

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthogonalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt Komplexes Skalarprodukt

Außerdem gilt:

Für die Norm gilt:

Orthonormalbasen

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Definition. Orthonormalbasis.

Eine Basis heißt Orthonormalbasis, wenn gilt:

mit

Sei eine Orthonormalbasis und sei

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt Komplexes Skalarprodukt

Außerdem gilt:

Für die Norm gilt:

Orthogonale Projektion

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Definition. Orthogonale Projektion.

Orthogonale Projektion von auf :

Kurzschreibweisen sind und .

Gram-Schmidt-Verfahren

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Für linear unabhängige Vektoren wird durch

ein Orthogonalsystem berechnet.

Speziell für zwei nicht kollineare Vektoren gilt: