Formelsammlung Mathematik: Spezielle elementare Funktionen

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Betragsfunktion

Graph der Betragsfunktion.

Definition. Betragsfunktion.

Für $x\in \mathbb {R}$:

$|x|:={\begin{cases}\;\;\,x&{\text{wenn}}\;x\geq 0,\\-x&{\text{wenn}}\;x<0.\end{cases}}$

Für $x,y\in \mathbb {R}$ gilt:

$|x|={\sqrt {x^{2}}}$,

$|x|=|{-}x|$,

$|xy|=|x|\,|y|$,

$y\neq 0\implies \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}}$,

$|x+y|\leq |x|+|y|$,

$|x-y|\geq ||x|-|y||$,

$|x|=0\iff x=0$.

Ableitung:

$x\neq 0\implies {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,|x|=\operatorname {sgn} (x).$

Signumfunktion

Graph der Signumfunktion.

Definition. Signumfunktion.

Für $x\in \mathbb {R}$:

$\operatorname {sgn} (x):={\begin{cases}\;\;\,1&{\text{wenn}}\;x>0,\\\;\;\,0&{\text{wenn}}\;x=0,\\-1&{\text{wenn}}\;x<0.\end{cases}}$

Für $x,y\in \mathbb {R}$ gilt:

$x=\operatorname {sgn} (x)\,|x|$,

$|x|=\operatorname {sgn} (x)\,x$,

$\operatorname {sgn} (-x)=-\operatorname {sgn} (x)$,

$\operatorname {sgn} (xy)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {sgn} (y)$,

$y\neq 0\implies \operatorname {sgn} {\Big (}{\frac {x}{y}}{\Big )}={\frac {\operatorname {sgn} (x)}{\operatorname {sgn} (y)}}$,

$x\neq 0\implies \operatorname {sgn} {\Big (}{\frac {1}{x}}{\Big )}={\frac {1}{\operatorname {sgn} (x)}}=\operatorname {sgn} (x)$,

$x\neq 0\implies \operatorname {sgn} (x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}$.

Integral:

$|x|=\int _{0}^{x}\operatorname {sgn} (t)\,\mathrm {d} t.$

Maximumsfunktion

Definition. Maximumsfunktion.

Für $x,y\in \mathbb {R}$:

$\max(x,y):={\begin{cases}x&{\text{wenn}}\;x\geq y,\\y&{\text{sonst}}.\end{cases}}$

Es gilt:

$\max(x,y)={\frac {x+y+|x-y|}{2}}$,

$\max(x,y)=-\min(-x,-y)$.

Minimumsfunktion

Definition. Minimumsfunktion.

Für $x,y\in \mathbb {R}$:

$\min(x,y):={\begin{cases}x&{\text{wenn}}\;x\leq y,\\y&{\text{sonst}}.\end{cases}}$

Es gilt:

$\min(x,y)={\frac {x+y-|x-y|}{2}}$,

$\min(x,y)=-\max(-x,-y)$.