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Formelsammlung Mathematik: Stetigkeit

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Formelsammlung Mathematik

Definition[Bearbeiten]

Definition. Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.

Sei mit , und sei .

Die Funktion heißt stetig in p, falls

gilt, oder wenn p ein isolierter Punkt ist.

Wird die Definition des Grenzwertes eingesetzt, ergibt sich die folgende äquivalente Bedingung.

Die Funktion heißt stetig in p, wenn für alle Folgen mit gilt:

Das Einsetzen der Definition des Grenzwertes enthält eine kleine technische Schwierigkeit: Da isolierte Punkte zugelassen sind, ist nicht mehr notwendig.

Definition. Stetige Funktion.

Eine Funktion heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle stetig ist.

Komposita stetiger Funktionen[Bearbeiten]

Satz. Stetigkeit von punktweisen Verknüpfungen.

Seien an der Stelle x0 stetig. Dann sind auch

,
,

stetig in x0.

Besitzt g keine Nullstellen, dann ist auch

stetig in x0.

Bemerkung: Wenn g Nullstellen besitzt, aber in der Nähe von x0 keine vorhanden sind, kann der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Satz. Stetigkeit von Kompositionen.

Sei und . Sei .

Ist in stetig und in , dann ist auch stetig in .

Sätze über stetige Funktionen[Bearbeiten]

Zwischenwertsatz[Bearbeiten]

Zwischenwertsatz.

Sei eine stetige Funktion.

Für :

Zu jedem gibt es ein mit .

Für :

Zu jedem gitbt es ein mit .


Der Satz lässt sich wesentlich kompakter formulieren, wenn die folgene Notation eingeführt wird, die symmetrisch unter Vertauschung der Intervallgrenzen ist:

Zwischenwertsatz.

Sei eine stetige Funktion. Dann gilt:

In Worten: Eine stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen und an.

Bemerkung: »es gibt ein« heißt »es gibt mindestens ein«, und »jeder Wert wird angenommen« heißt »jeder Wert wird mindestens einmal angenommen«.


Schließlich gibt es noch eine abstrakte Formulierung.

Zwischenwertsatz (abstrakt).

Ist ein Intervall und eine stetige Funktion, dann ist das Bild auch ein Intervall.


Nullstellensatz[Bearbeiten]

Nullstellensatz.

Sei eine stetige Funktion.

Haben die Funktionswerte und unterschiedliche Vorzeichen, dann gibt es in [ab] mindestens eine Nullstelle.


Extremwertsatz[Bearbeiten]

Extremwertsatz (Satz vom Minimum und Maximum).

Eine stetige Funktion ist beschränkt und nimmt auf [ab] ein Minimum und ein Maximum an.

Abstrakte Variante:

Ist eine kompakte Menge und stetig, dann ist das Bild auch kompakt.


Integrierbarkeit[Bearbeiten]

Satz über die Integrierbarkeit einer stetigen Funktion.

Ist eine auf dem Intervall [ab] definierte reelle Funktion stetig, dann ist sie auch Riemann-integrierbar.


Streng monotone Funktionen[Bearbeiten]

Satz über stetige streng monotone Funktionen.

Sei ein reelles Intervall. Sei stetig und streng monoton.

Das Bild ist ein Intervall. Das Intervall ist genau dann an einer der Randstellen abgeschlossen, wenn an der entsprechenden Randstelle abgeschlossen ist.

Die Funktion ist injektiv, nach Einschränkung der Zielmenge auf somit bijektiv. Die Umkehrfunktion ist stetig.

Ist streng monoton wachsend, dann auch die Umkehrfunktion. Ist streng monoton fallend, dann auch die Umkehrfunktion.

Bemerkung: Das Intervall ist beliebig, es kann links und rechts jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein.