Formelsammlung Mathematik: Stetigkeit

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Definition

Definition. Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$, und sei $p\in D$.

Die Funktion $f$ heißt stetig in p, falls

$\lim _{x\to p}f(x)=f(p)$

gilt, oder wenn p ein isolierter Punkt ist.

Wird die Definition des Grenzwertes eingesetzt, ergibt sich die folgende äquivalente Bedingung.

Die Funktion $f$ heißt stetig in p, wenn für alle Folgen $(x_{n})$ mit $x_{n}\in D$ gilt:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=p\implies \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(p).$

Das Einsetzen der Definition des Grenzwertes enthält eine kleine technische Schwierigkeit: Da isolierte Punkte zugelassen sind, ist $x_{n}\neq p$ nicht mehr notwendig.

Definition. Stetige Funktion.

Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ heißt stetig, wenn sie an jeder Stelle stetig ist.

Komposita stetiger Funktionen

Satz. Stetigkeit von punktweisen Verknüpfungen.

Seien $f,g\colon D\to \mathbb {R}$ an der Stelle x₀ stetig. Dann sind auch

$f{+}g\colon D\to \mathbb {R} ,\quad (f+g)(x):=f(x)+g(x)$,

$f{-}g\colon D\to \mathbb {R} ,\quad (f-g)(x):=f(x)-g(x)$,

$fg\colon D\to \mathbb {R} ,\quad (fg)(x):=f(x)g(x)$

stetig in x₀.

Besitzt g keine Nullstellen, dann ist auch

${\frac {f}{g}}\colon D\to \mathbb {R} ,\quad {\bigg (}{\frac {f}{g}}{\bigg )}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}$

stetig in x₀.

Bemerkung: Wenn g Nullstellen besitzt, aber in der Nähe von x₀ keine vorhanden sind, kann der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

Satz. Stetigkeit von Kompositionen.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ und $g\colon D'\to \mathbb {R}$. Sei $f(D)\subseteq D'$.

Ist $f$ in $x_{0}$ stetig und $g$ in $f(x_{0})$, dann ist auch $g\circ f$ stetig in $x_{0}$.

Sätze über stetige Funktionen

Zwischenwertsatz

Zwischenwertsatz.

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Für $f(a)\leq f(b)$:

Zu jedem $y_{0}\in [f(a),f(b)]$ gibt es ein $x_{0}\in [a,b]$ mit $f(x_{0})=y_{0}$.

Für $f(a)>f(b)$:

Zu jedem $y_{0}\in [f(b),f(a)]$ gitbt es ein $x_{0}\in [a,b]$ mit $f(x_{0})=y_{0}$.

Der Satz lässt sich wesentlich kompakter formulieren, wenn die folgene Notation eingeführt wird, die symmetrisch unter Vertauschung der Intervallgrenzen ist:

$[y_{1},y_{2}]_{s}:=[\min\{y_{1},y_{2}\},\max\{y_{1},y_{2}\}].$

Zwischenwertsatz.

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Dann gilt:

$[f(a),f(b)]_{s}\subseteq f([a,b]).$

In Worten: Eine stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an.

Bemerkung: »es gibt ein« heißt »es gibt mindestens ein«, und »jeder Wert wird angenommen« heißt »jeder Wert wird mindestens einmal angenommen«.

Schließlich gibt es noch eine abstrakte Formulierung.

Zwischenwertsatz (abstrakt).

Ist $I$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, dann ist das Bild $f(I)$ auch ein Intervall.

Nullstellensatz

Nullstellensatz.

Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Haben die Funktionswerte $f(a)$ und $f(b)$ unterschiedliche Vorzeichen, dann gibt es in [a, b] mindestens eine Nullstelle.

Extremwertsatz

Extremwertsatz (Satz vom Minimum und Maximum).

Eine stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ist beschränkt und nimmt auf [a, b] ein Minimum und ein Maximum an.

Abstrakte Variante:

Ist $D\subseteq \mathbb {R}$ eine kompakte Menge und $f\colon D\to \mathbb {R}$ stetig, dann ist das Bild $f(D)$ auch kompakt.

Integrierbarkeit

Satz über die Integrierbarkeit einer stetigen Funktion.

Ist eine auf dem Intervall [a, b] definierte reelle Funktion stetig, dann ist sie auch Riemann-integrierbar.

Streng monotone Funktionen

Satz über stetige streng monotone Funktionen.

Sei $I$ ein reelles Intervall. Sei $f\colon I\to \mathbb {R}$ stetig und streng monoton.

Das Bild $I':=f(I)$ ist ein Intervall. Das Intervall $I'$ ist genau dann an einer der Randstellen abgeschlossen, wenn $I$ an der entsprechenden Randstelle abgeschlossen ist.

Die Funktion $f$ ist injektiv, nach Einschränkung der Zielmenge auf $I'$ somit bijektiv. Die Umkehrfunktion ist stetig.

Ist $f$ streng monoton wachsend, dann auch die Umkehrfunktion. Ist $f$ streng monoton fallend, dann auch die Umkehrfunktion.

Bemerkung: Das Intervall $I$ ist beliebig, es kann links und rechts jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein.