Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe
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Topologischer Raum
[Bearbeiten]Definition. Topologie, topologischer Raum, offene Menge, abgeschlossene Menge.
Eine Teilmenge der Potenzmenge von heißt Topologie, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind:
- und ,
- ,
- .
Das Paar heißt topologischer Raum.
Ein Element von heißt offene Menge.
Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn offen ist.
Umgebungen
[Bearbeiten]Definition. Offene Umgebung, Umgebung, Umgebungsfilter.
Ist und eine offene Menge, so wird als offene Umgebung von bezeichnet.
Umgebungsfilter:
Ein Element von wird Umgebung von genannt.
Definition. Offener Kern, innerer Punkt.
Offener Kern:
Ein Element von wird innerer Punkt von genannt.
Definition. Äußeres, äußerer Punkt.
Äußeres:
Ein Element von heißt äußerer Punkt von .
Definition. Abschluss.
Abgeschlossene Hülle, kurz Abschluss:
Definition. Rand. Randpunkt.
Rand:
Ein Element von heißt Randpunkt von .
Es gilt die disjunkte Zerlegung:
Konstruktionen
[Bearbeiten]Topologische Summe
[Bearbeiten]Seien topologische Räume. Sei
Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung
Definition. Topologische Summe.
Die topologische Summe ist der topologische Raum mit der Topologie
bzw.
Beachte:
Bemerkung.
Sind die schon disjunkt, so braucht man sie nicht unbedingt künstlich disjunkt machen und definiert
Man kann eine solche Situation durch die Substitution mit
herbeiführen.
Stetige Abbildungen
[Bearbeiten]Definition. Stetige Abbildung.
Sind und zwei topologische Räume, so bezeichnet man als stetig, wenn gilt:
Definition. Homöomorphismus.
Ist eine stetige Bijektion und auch stetig, so nennt man einen Homöomorphismus. Die Äquivalenzrelation
- es gibt einen Homöomorphismus zwischen und
heißt Homöomorphie.
Basis
[Bearbeiten]Definition. Topologische Basis.
Sei ein topologischer Raum. Eine Menge heißt Basis, wenn gilt:
In Worten: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen aus der Basis.
Metrische Räume
[Bearbeiten]Definition
[Bearbeiten]Definition. Metrik, metrischer Raum.
Sei eine beliebige Menge. Eine Funktion heißt Metrik, wenn folgende Axiome für alle erfüllt sind:
(M1) Identität ununterscheidbarer Elemente:
(M2) Symmetrie:
(M3) Dreiecksungleichung:
Man nennt einen metrischen Raum.
Eigenschaften
[Bearbeiten]Die Metrik ist nicht-negativ:
In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung
Definition. r-Umgebung.
Für jeden Punkt und jeden Radius sei
die (offene) -Umgebung und
die abgeschlossene -Umgebung von .
Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.