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Formelsammlung Mathematik: Topologie: Grundbegriffe

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Formelsammlung Mathematik

Topologischer Raum

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Definition. Topologie, topologischer Raum, offene Menge, abgeschlossene Menge.

Eine Teilmenge der Potenzmenge von heißt Topologie, wenn folgende drei Axiome erfüllt sind:

  1. und ,
  2. ,
  3. .

Das Paar heißt topologischer Raum.

Ein Element von heißt offene Menge.

Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn offen ist.

Umgebungen

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Definition. Offene Umgebung, Umgebung, Umgebungsfilter.

Ist und eine offene Menge, so wird als offene Umgebung von bezeichnet.

Umgebungsfilter:

Ein Element von wird Umgebung von genannt.


Definition. Offener Kern, innerer Punkt.

Offener Kern:

Ein Element von wird innerer Punkt von genannt.


Definition. Äußeres, äußerer Punkt.

Äußeres:

Ein Element von heißt äußerer Punkt von .


Definition. Abschluss.

Abgeschlossene Hülle, kurz Abschluss:


Definition. Rand. Randpunkt.

Rand:

Ein Element von heißt Randpunkt von .

Es gilt die disjunkte Zerlegung:

Konstruktionen

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Topologische Summe

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Seien topologische Räume. Sei

Sei in Analogie zur Inklusionsabbdildung

Definition. Topologische Summe.

Die topologische Summe ist der topologische Raum mit der Topologie

bzw.

Beachte:

Bemerkung.

Sind die schon disjunkt, so braucht man sie nicht unbedingt künstlich disjunkt machen und definiert

Man kann eine solche Situation durch die Substitution mit

herbeiführen.

Stetige Abbildungen

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Definition. Stetige Abbildung.

Sind und zwei topologische Räume, so bezeichnet man als stetig, wenn gilt:


Definition. Homöomorphismus.

Ist eine stetige Bijektion und auch stetig, so nennt man einen Homöomorphismus. Die Äquivalenzrelation

es gibt einen Homöomorphismus zwischen und

heißt Homöomorphie.

Basis

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Definition. Topologische Basis.

Sei ein topologischer Raum. Eine Menge heißt Basis, wenn gilt:

In Worten: Jede offene Menge ist eine Vereinigung von Mengen aus der Basis.

Metrische Räume

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Definition

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Definition. Metrik, metrischer Raum.

Sei eine beliebige Menge. Eine Funktion heißt Metrik, wenn folgende Axiome für alle erfüllt sind:

(M1) Identität ununterscheidbarer Elemente:

(M2) Symmetrie:

(M3) Dreiecksungleichung:

Man nennt einen metrischen Raum.

Eigenschaften

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Die Metrik ist nicht-negativ:

In jedem metrischen Raum gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung

Definition. r-Umgebung.

Für jeden Punkt und jeden Radius sei

die (offene) -Umgebung und

die abgeschlossene -Umgebung von .

Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.