Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Eisensteinreihen

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${\frac {1}{2\zeta (2k)}}\,{\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }}'{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{N=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(N)\,q^{N}\quad z\in \mathbb {H} \;,\;q=e^{2\pi iz}$

Beweis

Die Funktion $\pi \cot \pi z\,$ besitzt zum einen die Partialbruchentwicklung $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{n+z}}$, zum anderen lässt sie sich schreiben als

$i\pi \,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}=i\pi \,{\frac {q+1}{q-1}}=i\pi \left(1+{\frac {2}{q-1}}\right)=i\pi -2\pi i\,{\frac {1}{1-q}}=i\pi -2\pi i\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$.

Also ist $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{n+z}}=i\pi -2\pi i\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$.

Differenziert man $k\,$ mal nach $z\,$, so ist

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{k}\,k!}{(n+z)^{k+1}}}=-2\pi i\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi in)^{k}\,q^{n}\Rightarrow \sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(n+z)^{k+1}}}={\frac {(-2\pi i)^{k+1}}{k!}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{k}q^{n}$.

Ersetzt man $k\,$ durch $2k-1\,$ und $z\,$ durch $mz\,$, so ist $\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}={\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}$.

Nun ist ${\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }}'{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}=\sum _{n>0}{\frac {1}{(0\cdot z+n)^{2k}}}+\sum _{n<0}{\frac {1}{(0\cdot z+n)^{2k}}}+\sum _{m>0}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}+\sum _{m<0}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}$

$=2\zeta (2k)+2\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}$. Also ist ${\frac {1}{2\zeta (2k)}}\,{\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }}'{\frac {1}{(mz+n)^{2k}}}=1+{\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!\,\zeta (2k)}}\,\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}$.

Dabei ist ${\frac {(-1)^{k}\,(2\pi )^{2k}}{(2k-1)!\,\zeta (2k)}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}=-{\frac {4k}{B_{2k}}}$

und $\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }n^{2k-1}\,q^{nm}$ lässt sich umordnen zu $\sum _{N=1}^{\infty }\sum _{d|N}d^{2k-1}\,q^{N}=\sum _{N=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(N)\,q^{N}$.