Ist
und ist
, so gibt es eine Folge von Quadraten
mit
, so dass
gegen null geht. Also muss die Summe aller Residuen von
gleich null sein.
ist
und
.
Und es ist
mit
.
Also gilt
.
Es gibt eine Kettenbruchdarstellung
mit Vorperiodenlänge
und Peridenlänge
.
Die Zahlen
lassen sich mit dem Kettenbruchalgorithmus
rekursiv berechnen.
Aus
folgt
.
Also ist nach
.
Das ist gleichbedeutend mit
wenn man
und
setzt. Dabei ist wegen
auch
.
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem
Im Fall
bleibt nur der Matrixblock rechts unten übrig und im Fall
ist der Matrixblock rechts unten,
wegen
und
, gleich der
Matrix
.
Die Koeffizientenmatrix hat also die Form
mit
und
.
Dabei ist
und
Löst man das Gleichungssystem
, so erhält man
.