Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Reihen aus Kettenbruchentwicklungen

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Ist $m\in \mathbb {Z} ^{\geq 2}$ und ist $\alpha _{0}\,$ ein Element des quadratischen Zahlkörpers $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$, so ist auch $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha _{0})}{(n\pi )^{2m-1}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$.

Beweis

Ist $\alpha \in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ und ist $f(z)={\frac {\alpha \pi \,\cot \alpha \pi z\,\cot \pi z}{(\pi z)^{2m-1}}}$, so gibt es eine Folge von Quadraten $(\gamma _{N})\,$

mit ${\text{dist}}(\gamma _{N},0)\to \infty \,$, so dass $\oint _{\gamma _{N}}f\,dz$ gegen null geht. Also muss die Summe aller Residuen von $f\,$ gleich null sein.

$\forall n\in \mathbb {Z} ^{\geq 1}$ ist ${\text{res}}\left(f,\pm {\frac {n}{\alpha }}\right)=\alpha ^{2m-1}\,{\frac {\cot \left({\frac {n\pi }{\alpha }}\right)}{(n\pi )^{2m-1}}}$ und ${\text{res}}(f,\pm n)=\alpha \,{\frac {\cot(n\pi \alpha )}{(n\pi )^{2m-1}}}$.

Und es ist ${\text{res}}(f,0)=4\sum _{k=0}^{m}{\frac {\zeta (2k)}{\pi ^{2k}}}\,{\frac {\zeta (2m-2k)}{\pi ^{2m-2k}}}\,\alpha ^{2k}=:-2\cdot G_{m}(\alpha )\in \mathbb {Z} [\alpha ]$ mit $\deg G_{m}=2m\,$.

Also gilt $\alpha ^{2m-1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot \left({\frac {n\pi }{\alpha }}\right)}{(n\pi )^{2m-1}}}+\alpha \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha )}{(n\pi )^{2m-1}}}=G_{m}(\alpha )\quad (\star )$.


Es gibt eine Kettenbruchdarstellung $\alpha _{0}=[a_{0},a_{1},...,a_{\nu -1},{\overline {a_{\nu },...,a_{\nu +\ell -1}}}]$ mit Vorperiodenlänge $\nu \geq 0\,$ und Peridenlänge $\ell >0$.

Die Zahlen $a_{k}\,$ lassen sich mit dem Kettenbruchalgorithmus $a_{k}=\lfloor \alpha _{k}\rfloor \,,\;\alpha _{k+1}={\frac {1}{\alpha _{k}-a_{k}}}$ rekursiv berechnen.

Aus ${\frac {1}{\alpha _{k+1}}}=\alpha _{k}-a_{k}$ folgt $\cot \left({\frac {n\pi }{\alpha _{k+1}}}\right)=\cot \left(n\pi (\alpha _{k}-a_{k})\right)=\cot(n\pi \alpha _{k})$.

Also ist nach $(\star )\quad \alpha _{k+1}^{2m-1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha _{k})}{(n\pi )^{2m-1}}}+\alpha _{k+1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha _{k+1})}{(n\pi )^{2m-1}}}=G_{m}(\alpha _{k+1})$.

Das ist gleichbedeutend mit $\beta _{k+1}\,X_{k}+\alpha _{k+1}X_{k+1}=G_{m}(\alpha _{k+1})$ wenn man

$\beta _{k}:=\alpha _{k}^{2m-1}\,$ und $X_{k}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha _{k})}{(n\pi )^{2m-1}}}$ setzt. Dabei ist wegen $\alpha _{\nu +\ell }=\alpha _{\nu }$ auch $X_{\nu +\ell }=X_{\nu }$.

Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

$\left({\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}\beta _{1}&\alpha _{1}\\&\beta _{2}&\alpha _{2}\\&&\ddots &\ddots \\&&&\beta _{\nu -1}&\alpha _{\nu -1}\\&&&&\beta _{\nu }\end{matrix}}&{\begin{matrix}\\\\\\\\\alpha _{\nu }\,\,&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \end{matrix}}\\\hline &{\begin{matrix}\beta _{\nu +1}&\alpha _{\nu +1}&\\&\beta _{\nu +2}&\alpha _{\nu +2}\\&&\ddots &\ddots \\&&&\beta _{\nu +\ell -1}&\alpha _{\nu +\ell -1}\\\alpha _{\nu }&&&&\beta _{\nu }\end{matrix}}\end{array}}\right)\,\left({\begin{array}{c}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{\nu -2}\\X_{\nu -1}\\\hline X_{\nu }\\X_{\nu +1}\\\vdots \\X_{\nu +\ell -2}\\X_{\nu +\ell -1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}G_{m}(\alpha _{1})\\G_{m}(\alpha _{2})\\\vdots \\G_{m}(\alpha _{\nu -1})\\G_{m}(\alpha _{\nu })\\\hline G_{m}(\alpha _{\nu +1})\\G_{m}(\alpha _{\nu +2})\\\vdots \\G_{m}(\alpha _{\nu +\ell -1})\\G_{m}(\alpha _{\nu })\end{array}}\right)$

Im Fall $\nu =0\,$ bleibt nur der Matrixblock rechts unten übrig und im Fall $\ell =1\,$ ist der Matrixblock rechts unten,

wegen $\alpha _{\nu +1}=\alpha _{\nu }\,$ und $X_{\nu +1}=X_{\nu }\,$, gleich der $1\times 1\,$ Matrix $\left(\beta _{\nu }+\alpha _{\nu }\right)$.

Die Koeffizientenmatrix hat also die Form $\left({\begin{array}{c|c}{\begin{matrix}\\&T_{\nu }&\\\end{matrix}}&{\begin{matrix}\\\\a_{\nu }&&\\\end{matrix}}\\\hline &{\begin{matrix}\\&S_{\ell }&\\&&\end{matrix}}\end{array}}\right)$ mit $T_{\nu }\in {\text{Gl}}_{\nu }\left(\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})\right)$ und $S_{\ell }\in {\text{Gl}}_{\ell }\left(\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})\right)$.

Dabei ist $T_{1}=(\beta _{1})\,,\,T_{2}={\begin{pmatrix}\beta _{1}&\alpha _{1}\\&\beta _{2}\end{pmatrix}}\,,\,T_{3}={\begin{pmatrix}\beta _{1}&\alpha _{1}\\&\beta _{2}&\alpha _{2}\\&&\beta _{3}\end{pmatrix}}\,,\,T_{4}={\begin{pmatrix}\beta _{1}&\alpha _{1}&&\\&\beta _{2}&\alpha _{2}&&\\&&\beta _{3}&\alpha _{3}\\&&&\beta _{4}\end{pmatrix}}\,,\,...$

und $S_{1}=(\beta _{\nu }+\alpha _{\nu })\,,\,S_{2}={\begin{pmatrix}\beta _{\nu +1}&\alpha _{\nu +1}\\\alpha _{\nu }&\beta _{\nu }\end{pmatrix}}\,,\,S_{3}={\begin{pmatrix}\beta _{\nu +1}&\alpha _{\nu +1}&\\&\beta _{\nu +2}&\alpha _{\nu +2}\\\alpha _{\nu }&&\beta _{\nu }\end{pmatrix}}\,,\,S_{4}={\begin{pmatrix}\beta _{\nu +1}&\alpha _{\nu +1}&&\\&\beta _{\nu +2}&\alpha _{\nu +2}\\&&\beta _{\nu +3}&\alpha _{\nu +3}\\\alpha _{\nu }&&&\beta _{\nu }\end{pmatrix}}\,,\,...$

Löst man das Gleichungssystem $A\cdot {\vec {X}}={\vec {G}}$, so erhält man $X_{0}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \alpha _{0})}{(n\pi )^{2m-1}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$.

 

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\csc(n\pi {\sqrt {2}})}{(n\pi )^{3}}}=-{\frac {13}{360{\sqrt {2}}}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cot(n\pi \phi )}{(n\pi )^{3}}}=-{\frac {1}{45{\sqrt {5}}}}$

Beweis

$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ besitzt die Kettenbruchentwicklung $\phi ={\big [}\;{\overline {1}}\;{\big ]}$. Also ist $\nu =0\,$ und $\ell =1$.

Im Fall $m=2\,$ ist $G_{2m-1}(\alpha )={\frac {1-5\alpha ^{2}+\alpha ^{4}}{90}}$ und man erhält die Gleichung $(\phi ^{3}+\phi )X_{0}=G_{3}(\phi )\,$.

Gleichbedeutend mit ${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{2}}X_{0}=-{\frac {3+{\sqrt {5}}}{90}}$. Und daraus folgt $X_{0}=-{\frac {1}{45{\sqrt {5}}}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$.