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![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }B(x+k,y+1)=B(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d34137b59aca7fdb1a714b6102a44609f1ec144)
Beweis
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{x-1 \choose k}\,{\frac {1}{k+y}}=B(x,y)\qquad {\text{Re}}(x)>0\,,\,y\notin \mathbb {Z} ^{\leq 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ed2da723a15d4ad8a1e8fa6df876c6669c3311)
Beweis
Zunächst seien
komplexe Zahlen mit positivem Realteil.
Multipliziere die binomische Reihe
mit
durch und integriere nach
von
bis
.
Wegen der analytischen Fortsetzbarkeit stimmt die Reihe
,
die für alle
mit
und
konvergiert, mit
überein.