Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Reihen zur Lambert W-Funktion

Zurück zu Unendliche Reihen

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^k}{k!}{z}^k=\frac{1}{1+W(-z)}|z|\le \frac{1}{e},z\ne \frac{1}{e}$

Beweis

Es sei $f:ℂ\to ℂ$ definiert durch $z\mapsto z{e}^z$.

Auf dem abgeschlossenen Einheitskreis $\overline{B_1(0)}$ ist $f(z)$ genau dann reell, wenn $z$ reell ist.

Denn ist $(x+iy)e^{x+iy}$ reell für ein $y\in ]-1,1[\setminus \{0\}$,

dann muss $\text{Im}[e^x(x+iy)(\cos y+i\sin y)]=e^x(x\sin y+y\cos y)$ verschwinden.

Das heißt, es muss gelten $x=y\cot y\Rightarrow x^2=y^2{\cot }^{2}y$, und somit $x^2+y^2=y^2(1+{\cot }^{2}y)=\frac{y^2}{{\sin }^{2}y}>1$.

Die stetige Funktion $f{|}_{]-1,1[}$ wächst monoton und bildet daher $]-1,1[$ bijektiv auf $]-\frac{1}{e},e[$ ab.

Für jedes $a\in ]-\frac{1}{e},\frac{1}{e}[$ gibt es daher in ganz $B_1(0)$ genau ein $z\in ]-1,1[$ mit $z{e}^z=a$, nämlich $z=W(a)$.

$z-a{e}^z=0$ gilt genau dann wenn $-z{e}^{-z}=-a$ und somit $z=-W(-a)\in ]-1,1[$ ist.

Also ist $I=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{1}{z-a{e}^z}dz=\text{res}\frac{1}{z-a{e}^z}{|}_{z=-W(-a)}=\frac{1}{1-a{e}^{-W(-a)}}=\frac{1}{1+W(-a)}$.

Auf der anderen Seite ist wegen $\frac{1}{z-a{e}^z}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-a\frac{e^z}{z}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{kz}}{z^{k+1}}{a}^{k}I=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|z|=1}\frac{e^{kz}}{z^{k+1}}{a}^{k}dz$.

Wobei wegen $\frac{e^{kz}}{z^{k+1}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n{z}^n}{n!z^k}\frac{1}{z}I=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^k}{k!}{a}^k$ ist.

Daraus folgt $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^k}{k!}{a}^k=\frac{1}{1+W(-a)}$ für alle $a\in ]-\frac{1}{e},\frac{1}{e}[$.