Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Reihen zur Lambert W-Funktion

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$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{k}}{k!}}\,z^{k}={\frac {1}{1+W(-z)}}\qquad |z|\leq {\frac {1}{e}}\;,\;z\neq {\frac {1}{e}}$

Beweis

Es sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ definiert durch $z\mapsto ze^{z}$.

Auf dem abgeschlossenen Einheitskreis ${\overline {B_{1}(0)}}$ ist $f(z)\,$ genau dann reell, wenn $z\,$ reell ist.

Denn ist $(x+iy)\,e^{x+iy}$ reell für ein $y\in ]-1,1[\setminus \{0\}$,

dann muss ${\text{Im}}{\big [}e^{x}\,(x+iy)\,(\cos y+i\sin y){\big ]}=e^{x}\,(x\sin y+y\cos y)$ verschwinden.

Das heißt, es muss gelten $x=y\cot y\,\Rightarrow \,x^{2}=y^{2}\cot ^{2}y$, und somit $x^{2}+y^{2}=y^{2}(1+\cot ^{2}y)={\frac {y^{2}}{\sin ^{2}y}}>1$.

Die stetige Funktion $f|_{]-1,1[}\,$ wächst monoton und bildet daher $]-1,1[\,$ bijektiv auf $\left]-{\frac {1}{e}},e\right[$ ab.

Für jedes $a\in \left]-{\frac {1}{e}},{\frac {1}{e}}\right[$ gibt es daher in ganz $B_{1}(0)\,$ genau ein $z\in ]-1,1[$ mit $ze^{z}=a\,$, nämlich $z=W(a)\,$.

$z-ae^{z}=0\,$ gilt genau dann wenn $-ze^{-z}=-a\,$ und somit $z=-W(-a)\in ]-1,1[$ ist.

Also ist $I={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}{\frac {1}{z-ae^{z}}}\,dz={\text{res}}{\frac {1}{z-ae^{z}}}{\big |}_{z=-W(-a)}={\frac {1}{1-ae^{-W(-a)}}}={\frac {1}{1+W(-a)}}$.

Auf der anderen Seite ist wegen ${\frac {1}{z-ae^{z}}}={\frac {1}{z}}\,{\frac {1}{1-a{\frac {e^{z}}{z}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {e^{kz}}{z^{k+1}}}\,a^{k}\quad I=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}{\frac {e^{kz}}{z^{k+1}}}\,a^{k}\,dz$.

Wobei wegen ${\frac {e^{kz}}{z^{k+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{n}\,z^{n}}{n!\,z^{k}}}\,{\frac {1}{z}}\quad I=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{k}}{k!}}\,a^{k}$ ist.

Daraus folgt $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{k}}{k!}}\,a^{k}={\frac {1}{1+W(-a)}}$ für alle $a\in \left]-{\frac {1}{e}},{\frac {1}{e}}\right[$.