Zurück zu Unendliche Reihen
Verwende die Reihenentwicklung vom Arkussinus: arcsin z = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − 1 2 k ) z 2 k + 1 2 k + 1 | z | < 1 {\displaystyle \arcsin z=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\,{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}\qquad |z|<1} Ersetzt man z {\displaystyle z\,} durch sin x {\displaystyle \sin x\,} , so gilt x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − 1 2 k ) sin 2 k + 1 ( x ) 2 k + 1 {\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\,{\frac {\sin ^{2k+1}(x)}{2k+1}}} für − π 2 < x < π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}} . Integriere nun nach x {\displaystyle x\,} von 0 {\displaystyle 0\,} bis π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} : [ x 2 2 ] 0 π 2 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( − 1 2 k ) 1 2 k + 1 ∫ 0 π 2 sin 2 k + 1 ( x ) d x {\displaystyle \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\,{\frac {1}{2k+1}}\,\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2k+1}(x)\,dx} Dabei ist ∫ 0 π 2 sin 2 k + 1 ( x ) d x = 1 2 k + 1 [ 1 2 2 k ( 2 k k ) ] − 1 = 1 2 k + 1 [ ( − 1 ) k ( − 1 2 k ) ] − 1 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2k+1}(x)\,dx={\frac {1}{2k+1}}\,\left[{\frac {1}{2^{2k}}}{2k \choose k}\right]^{-1}={\frac {1}{2k+1}}\left[(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\right]^{-1}} . Daraus folgt π 2 8 = ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 2 = λ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{8}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}=\lambda (2)} . Wegen λ ( 2 ) = ( 1 − 1 2 2 ) ζ ( 2 ) {\displaystyle \lambda (2)=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\zeta (2)} ist somit ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}} .
Aus der Produktdarstellung sin z = z ∏ k = 1 ∞ ( 1 − z 2 ( k π ) 2 ) {\displaystyle \sin z=z\,\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)} ergibt sich log ( sin z ) = log z + ∑ k = 1 ∞ log ( 1 − z 2 ( k π ) 2 ) {\displaystyle \log(\sin z)=\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\log \left(1-{\frac {z^{2}}{(k\pi )^{2}}}\right)} . Differenziert man, so ist cot z = 1 z + ∑ k = 1 ∞ − 2 z ( k π ) 2 1 − z 2 ( k π ) 2 = 1 z − 2 z ∑ k = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ( z k π ) 2 n = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ∑ k = 1 ∞ − 2 ( k π ) 2 n z 2 n − 1 {\displaystyle \cot z={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-{\frac {2z}{(k\pi )^{2}}}}{1-{\frac {z^{2}}{(k\pi )^{2}}}}}={\frac {1}{z}}-{\frac {2}{z}}\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k\pi }}\right)^{2n}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-2}{(k\pi )^{2n}}}\,z^{2n-1}} . Ein Koeffizientenvergleich mit cot z = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n B 2 n 2 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 {\displaystyle \cot z={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\,{\frac {B_{2n}\,2^{2n}}{(2n)!}}\,z^{2n-1}} liefert ∑ k = 1 ∞ 1 ( k π ) 2 n = ( − 1 ) n − 1 B 2 n 2 2 n − 1 ( 2 n ) ! {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k\pi )^{2n}}}=(-1)^{n-1}\,{\frac {B_{2n}\,2^{2n-1}}{(2n)!}}} .
durch 
, so gilt
für 
.
von 
bis 
:
![{\displaystyle \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\,{\frac {1}{2k+1}}\,\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2k+1}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8d93bc6dd0feac5a662ccde06a289fd8401806)
![{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2k+1}(x)\,dx={\frac {1}{2k+1}}\,\left[{\frac {1}{2^{2k}}}{2k \choose k}\right]^{-1}={\frac {1}{2k+1}}\left[(-1)^{k}\,{-{\frac {1}{2}} \choose k}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d20190872b03732b4e936ba889f134c46a6aaa)
.
.
ist somit 
.
