Zurück zu Unendliche Reihen
Man werte die Doppelreihe ∑ n , m = 1 ∞ 1 n m ( n + m ) {\displaystyle \sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {1}{n\,m\,(n+m)}}} auf zwei Arten aus. Einerseits als ∑ n , m = 1 ∞ 1 n m ∫ 0 1 t n + m − 1 d t = ∫ 0 1 ∑ n , m = 1 ∞ t n n t m m d t t = ∫ 0 1 [ − log ( 1 − t ) ] 2 d t t {\displaystyle \sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {1}{n\,m}}\int _{0}^{1}t^{n+m-1}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\,{\frac {t^{m}}{m}}\,{\frac {dt}{t}}=\int _{0}^{1}\left[-\log(1-t)\right]^{2}{\frac {dt}{t}}} = ∫ 0 1 ( log t ) 2 1 − t d t = ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 1 ( log t ) 2 t k d t = ∑ k = 0 ∞ 2 ( k + 1 ) 2 = ζ ( 3 ) ⋅ 2 {\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {(\log t)^{2}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{1}(\log t)^{2}\,t^{k}\,dt=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{(k+1)^{2}}}=\zeta (3)\cdot 2} , und andererseits als ∑ d = 1 ∞ ∑ ( n , m ) = d 1 n m ( n + m ) = ∑ d = 1 ∞ 1 d 3 ∑ ( n , m ) = 1 1 n m ( n + m ) {\displaystyle \sum _{d=1}^{\infty }\sum _{(n,m)=d}{\frac {1}{n\,m\,(n+m)}}=\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {1}{d^{3}}}\sum _{(n,m)=1}{\frac {1}{n\,m\,(n+m)}}} .
Man werte die Doppelreihe ∑ n , m = 1 1 n s m s − 1 ( n + m ) {\displaystyle \sum _{n,m=1}{\frac {1}{n^{s}\,m^{s-1}\,(n+m)}}} auf zwei Arten aus. Einerseits als ∑ n , m = 1 ∞ 1 n s m s − 1 ∫ 0 1 t n + m − 1 d t = ∫ 0 1 ∑ n , m = 1 ∞ t n n s t m − 1 m s − 1 d t {\displaystyle \sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\,m^{s-1}}}\int _{0}^{1}t^{n+m-1}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n^{s}}}\,{\frac {t^{m-1}}{m^{s-1}}}\,dt} = ∫ 0 1 ( ∑ n = 1 ∞ t n n s ) ⋅ ( ∑ m = 1 ∞ t m m s ) ′ d t = [ 1 2 ( ∑ n = 1 ∞ t n n s ) 2 ] 0 1 = ζ 2 ( s ) 2 {\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n^{s}}}\right)\cdot \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {t^{m}}{m^{s}}}\right)'dt=\left[{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n^{s}}}\right)^{2}\right]_{0}^{1}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{2}}} , und andererseits als ∑ d = 1 ∞ ∑ ( n , m ) = d 1 n s m s − 1 ( n + m ) = ∑ d = 1 ∞ 1 d 2 s ∑ ( n , m ) = 1 1 n s m s − 1 ( n + m ) {\displaystyle \sum _{d=1}^{\infty }\sum _{(n,m)=d}{\frac {1}{n^{s}\,m^{s-1}\,(n+m)}}=\sum _{d=1}^{\infty }{\frac {1}{d^{2s}}}\sum _{(n,m)=1}{\frac {1}{n^{s}\,m^{s-1}\,(n+m)}}} .
auf zwei Arten aus.
![{\displaystyle \sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {1}{n\,m}}\int _{0}^{1}t^{n+m-1}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{n,m=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\,{\frac {t^{m}}{m}}\,{\frac {dt}{t}}=\int _{0}^{1}\left[-\log(1-t)\right]^{2}{\frac {dt}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da46f536084c92a5fd9d0fb70f367ab28124e02c)
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![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n^{s}}}\right)\cdot \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {t^{m}}{m^{s}}}\right)'dt=\left[{\frac {1}{2}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n^{s}}}\right)^{2}\right]_{0}^{1}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff31951ee373952a0ab31f00a37123a5367513e3)
