Formelsammlung Mathematik: Vektorräume

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Lineare Abhängigkeit

Definition. Lineare Abhängigkeit.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K. Eine endliche Familie $(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es Skalare $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ aus K gibt, die nicht alle gleich null sind und trotzdem

$\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0}$

erfüllen. Eine Familie von Vektoren die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Äquivalente Charakterisierung.

Eine endliche Familie von Vektoren ist genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination aus den anderen darstellen lässt.

Äquivalente Charakterisierung über das äußere Produkt.

Eine endliche Familie $(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ von Vektoren aus V ist genau dann linear abhängig, wenn

$\mathbf {v} _{1}\wedge \ldots \wedge \mathbf {v} _{n}=0.$

Sei speziell n die Dimension von V, sei $(\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n})$ eine Basis von V und sei

$\mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{n}v_{ij}\mathbf {b} _{k}.$

Die Familie ist nun genau dann linear abhängig, wenn

$\det(v_{ij})=0.$

Jede Familie, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig.

In einem Vektorraum der Dimension n ist eine Familie von mehr als n Vektoren immer linear abhängig.