Punktsymmetrie
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Achsensymmetrie
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Definition der Winkel- und Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion
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![{\displaystyle \sin(z)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4211bde99af92fd1da517fb96b6002cfc563198)
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![{\displaystyle \sinh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0d7868acba71fe820739a1b9fa024ee85f202d)
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![{\displaystyle \sin(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sinh(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c03210c6f5f8b7120f8b7f28f31513d308eba23)
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![{\displaystyle \sinh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \sin(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a242b0f45f2ff836942461365f2125b2f541a830)
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![{\displaystyle \cos(z)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984d57ec0814d6f82c114df232fb5907d5498585)
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![{\displaystyle \cosh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b46892fe23482eee4528c6baa27712feca20ecc)
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![{\displaystyle \cos(\mathrm {i} z)=\cosh(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14ca00fade107171b49f91cb1ae572e85b86a683)
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![{\displaystyle \cosh(\mathrm {i} z)=\cos(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff9a5be7dfc61613ebdb2e03f2e1e63388effd1)
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![{\displaystyle \tan(z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c300498e28db72c57297b9f1aca85003c233a4ff)
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![{\displaystyle \tanh(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e5400829f7081d721f18b83161229112f87540)
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![{\displaystyle \tan(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tanh(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e452677d542776f01e21ed53cac2e0a0a1fb3d35)
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![{\displaystyle \tanh(\mathrm {i} z)=\mathrm {i} \tan(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bbc33853f080fcc1be68c00a72ce414138202a)
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![{\displaystyle \cot(z)=\mathrm {i} \,{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b2fc19c807355ce8cf072715aca5685de9d1c6)
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![{\displaystyle \coth(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}{\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d948586ace08c9d8b5edd2954eed969b33faa674)
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![{\displaystyle \cot(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\coth(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3399442931100b6713757d8bd3495a8c4a34bdad)
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![{\displaystyle \coth(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\cot(z)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a50056419edae384143f419c09edb8b33f7ab4)
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![{\displaystyle \sec(z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d003b2a3f77768155fd6614bf972de8e9bddc098)
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![{\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{z}+\mathrm {e} ^{-z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876267f17143183fc56a709640ee0d72d9c36379)
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![{\displaystyle \sec(\mathrm {i} z)=\operatorname {sech} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13920d2a9ea98c5a9449afcdda2bb8cf5ddd0f)
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![{\displaystyle \operatorname {sech} (\mathrm {i} z)=\sec(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f8b216c59750fee5d0453cfac0c57945bb1191)
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![{\displaystyle \csc(z)={\frac {2\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6802338507469434a88d3d28d0f0e7277df83a)
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![{\displaystyle \operatorname {csch} (z)={\frac {2}{\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c8cfdb478face6da2b44fc065e6922e7fb8ba6)
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![{\displaystyle \csc(\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\operatorname {csch} (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27719c5acb071a93c728a1509200a5dba4e7e6e)
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![{\displaystyle \operatorname {csch} (\mathrm {i} z)={\frac {1}{\mathrm {i} }}\,\csc(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3076979033db608bbba2101b00236c2f0e1a8083)
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Gegenseitige Darstellbarkeit von Winkelfunktionen
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sin
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cos
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tan
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cot
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sec
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csc
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sin2(x)
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cos2(x)
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tan2(x)
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cot2(x)
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sec2(x)
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csc2(x)
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Die Gleichungen gelten für alle
mit Ausnahme der Polstellen. Stetig hebbare Definitionslücken können entsprechend ergänzt werden.
Man beachte, dass die Gleichungen nach dem Wurzelziehen nur betragsmäßig gültig sind, da beim Quadrieren die Vorzeichen verloren gehen.
Winkelfunktionen mit verschobenem Argument
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Winkelfunktionen für weitere Vielfache
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Rekursionsformeln mit
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=2\cos(x)\cos((n-1)x)+\cos((n-2)x),\\\sin(nx)&=2\cos(x)\sin((n-1)x)+\sin((n-2)x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abf49574b5860e13d37493f4456f9eabc59f04c)
für
für
für
für
Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten: