Formelsammlung Mathematik: Zahlenbereiche und Rechenoperationen

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Zahlenbereiche[Bearbeiten]

Übersicht[Bearbeiten]

Es ist Dabei sind die natürlichen, die ganzen, die rationalen, die reellen, und die komplexen Zahlen. sind die Quaternionen und die Oktaven.

enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man bzw. schreiben.

Rationale Zahlen[Bearbeiten]

Jede rationale Zahl lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: heißt Zähler, Nenner.

heißt echt (eigentlich) für
unecht (uneigentlich) für
reduziert für
Stammbruch für
Zweigbruch für

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Komplexezahlen-02.PNG

Komplexe Zahlen werden nicht, wie reelle Zahlen, auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene mit der reellen und der imaginären Achse abgetragen. Es sind drei äquivalente Darstellungsformen gebräuchlich:

geometrische Darstellung
trigonometrische Darstellung
Exponentialdarstellung
Definitionen[Bearbeiten]
heißt imaginäre Einheit,wobei hier eine komplexe Wurzel gezogen wird, da die Wurzel negativer Zahlen nicht definiert ist.
heißt Betrag von z
heißt Realteil von z
heißt Imaginärteil von z
heißt konjugiert komplexe Zahl von z.
eulersche Identität:
speziell für
Rechenregeln[Bearbeiten]

Rechenoperationen erster bis dritter Stufe[Bearbeiten]

Übersicht[Bearbeiten]

Rechenart Gerade oder direkte Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten 1.Stufe Addition

(addieren; zusammenzählen)

Subtraktion

(subtrahieren; abziehen)

Summand plus Summand gleich Summe Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
2.Stufe Multiplikation

(multiplizieren; malnehmen)

Division

(dividieren; teilen)

b gleiche Summanden

1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt Dividend durch Divisor gleich Quotient
. 3.Stufe Potenzieren Radizieren

(Wurzelziehen)

b gleiche Faktoren

Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
Logarithmieren
Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Addieren oder Zusammenzählen

Summand + Summand = Summe
     3  +  4      =   7

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz


Subtraktion[Bearbeiten]

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

Multiplikation[Bearbeiten]

Faktor x Faktor = Produkt
  8    x   8    =  64

Division[Bearbeiten]

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

oder

Beispiel:

Dezimalbruch[Bearbeiten]


Gemischter Bruch[Bearbeiten]


ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige Brüche[Bearbeiten]


alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige Brüche[Bearbeiten]


alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche[Bearbeiten]


Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche[Bearbeiten]


Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von Brüchen[Bearbeiten]


Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von Brüchen[Bearbeiten]


Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors