Formelsammlung Mathematik: Zahlenbereiche und Rechenoperationen
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Zahlenbereiche
[Bearbeiten]Übersicht
[Bearbeiten]Es ist Dabei sind die natürlichen, die ganzen, die rationalen, die reellen, und die komplexen Zahlen. sind die Quaternionen die Oktonionen und die Sedenionen.
enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man bzw. schreiben.
Rationale Zahlen
[Bearbeiten]Jede rationale Zahl lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: heißt Zähler, Nenner.
heißt | echt (eigentlich) | für |
unecht (uneigentlich) | für | |
reduziert | für | |
Stammbruch | für | |
Zweigbruch | für |
Rechenoperationen erster bis dritter Stufe
[Bearbeiten]Übersicht
[Bearbeiten]Rechenart | Gerade oder direkte | Umgekehrte oder indirekte | |||
Grundrechenarten | 1.Stufe | Addition
(addieren; zusammenzählen) |
Subtraktion
(subtrahieren; abziehen) | ||
|
| ||||
Summand plus Summand gleich Summe | Minuend minus Subtrahend gleich Differenz | ||||
2.Stufe | Multiplikation
(multiplizieren; malnehmen) |
Division
(dividieren; teilen) | |||
b gleiche Summanden |
|||||
1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt | Dividend durch Divisor gleich Quotient | ||||
. | 3.Stufe | Potenzieren | Radizieren
(Wurzelziehen) | ||
b gleiche Faktoren |
|||||
Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c | b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent) | ||||
Logarithmieren | |||||
Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b |
Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen
[Bearbeiten]Addition
[Bearbeiten]Addieren oder Zusammenzählen
Summand* + Summand* = Summe 3 + 4 = 7
*Früher wurde für den ersten Summanden auch der Begriff Augend und für die anderen Summanden auch der Begriff Addend verwendet.
Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz
Subtraktion
[Bearbeiten]Subtrahieren oder Abziehen
Minuend - Subtrahend = Differenz 8 - 2 = 6
Multiplikation
[Bearbeiten]Faktor* x Faktor* = Produkt 8 x 8 = 64
* Früher wurde für den ersten Faktor auch der Begriff Multiplikator und für die anderen Faktoren auch der Begriff Multiplikand verwendet.
Satz: Die Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz
Division
[Bearbeiten]Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen
oder
Beispiel:
Dezimalbruch
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Gemischter Bruch
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ganze Zahl und ein Bruch
Gleichnamige Brüche
[Bearbeiten]
alle Nenner sind gleichnamig
Ungleichnamige Brüche
[Bearbeiten]
alle Nenner sind ungleichnamig
Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche
[Bearbeiten]
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und
== der Nenner wird beibehalten.
==
Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche
[Bearbeiten]
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen
Multiplizieren von Brüchen
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Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.
Dividieren von Brüchen
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Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors
Vorrangregeln
[Bearbeiten]Folgende Vorrangregeln sind in der Mathematik üblich. Die Assoziativität ist nur bei Verletzung des Assoziativgesetzes von Bedeutung. Im Zweifelsfall können Klammern gesetzt werden.
Operationen | Bedeutung | Assoziativität |
---|---|---|
Indizierung | rechts | |
Funktionsapplikation | links | |
Potenzierung | rechts | |
Negation | rechts | |
Multiplikation, Division, Schnitt |
links | |
Addition, Subtraktion, Vereinigung |
links | |
Gleichheitsrelationen, Ordnungsrelationen, Teilmengenrelation, Elementrelation, |
keine | |
logische Negation | rechts | |
Konjunktion | links | |
Disjunktion, Kontravalenz | links | |
Implikation | keine | |
Äquivalenz | keine | |
syntaktische und semantische Implikation |
keine | |
metasprachliche Implikation | keine | |
metasprachliche Äquivalenz | keine |