Formelsammlung Statistik/ Druckversion

Formelsammlung Statistik

Uli Schell

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Grundlagen

Mengenlehre und DE MORGANsche Regeln

$P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A\cap B})$

und

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A\cup B})$

Kombinatorik

Fakultät

$n!=1\cdot 2\cdot \mathrm{...}\cdot (n-1)\cdot n$

$0!=1$

Binomialkoeffizient

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!},k,n\in N,k,n\ge 0.$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1.$

Zufallsstichproben

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

	Ohne Zurücklegen	Mit Zurücklegen
Mit	$\frac{N!}{(N-n)!}$	$N^n$
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n})$

Definition der Wahrscheinlichkeit

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)

Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):

Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

1. $P(A)\ge 0.$ Nichtnegativität
2. $P(\mathrm{\Omega })=1.$ Normiertheit
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B),$ falls A und B disjunkt sind.

Additionssatz

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

$\begin{array}{cc}P(A\cup B\cup C)=& P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)\\ & -P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).\end{array}$

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Unabhängigkeit von Ereignissen

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

$P(A|B)=P(A|\bar{B})=P(A)$

Totale Wahrscheinlichkeit

Sei A₁ ...A_k eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

$P(B)=\sum _{i=1}^{k}P(B|A_i)\cdot P(A_i)$.

BAYES Theorem

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(B)>0$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

$A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

$B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist:

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$.

Hierbei ist

$P(A\mid B)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist,

$P(B\mid A)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist,

$P(A)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ und

$P(B)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

Endlich viele Ereignisse:

Wenn $A_i,i=1,\dots ,N$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_i\mid B)$

$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{\sum _{j=1}^{N}P(B\mid A_j)\cdot P(A_j)}$.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis $A$ und sein Komplement $\bar{A}$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid \bar{A})\cdot P(\bar{A})}$.

Zufallsvariablen und Verteilungsmodelle

diskrete Zufallsvariablen

Ein Merkmal X, das aufgrund zufälliger Ereignisse eine (endliche) Menge

von Ausprägungen x₁, x₂ ... annehmen kann, nennt man diskrete

Zufallsvariable X.

Eindimensionale Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}P(X=x_i)=p_i,& x=x_i\in \{x_1,x_2,\mathrm{...},x_k\mathrm{..}\}\\ 0& sonst\end{array}$

Verteilungsfunktion:

$F(x)=P(X\le x)=\sum _{i:x_i\le x}f(x_i).$

Normiertheit:

$\sum _{i=1}^k{p}_i=1.$

Erwartungswert

$E(X)=\mu =\sum _{i=1}^k{x}_i\cdot p_i=\sum _{i=1}^k{x}_i\cdot f(x_i),$

Varianz

$Var(X)=\sum _{i=1}^k(x_i-E(X){)}^2\cdot f(x_i).$

bzw. mit dem Verschiebungssatz

$Var(X)=(\sum _{i=1}^k{x}_i^2\cdot f(x_i))-E(X^2)=$

Standardabweichung

$\sigma =+\sqrt{Var(X)}.$

Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen

$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).$

Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Einzelwahrscheinlichkeit

$P(X=x_1)=f_X(x_1)=\sum _{j=1}^m{f}_{X,Y}(x_1;y_j)$

Kovarianz

$covXY=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(x_i-E(X))(y_j-E(Y))f_{X,Y}(x_i;y_j)$

bzw. mit dem Verschiebungssatz

$covXY=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{x}_i\cdot y_j\cdot f_{X,Y}(x_i;y_j)-E(X)\cdot E(Y)$

Korrelationskoeffizient r_xy nach Bravais-Pearson

für metrisch skalierte Merkmale zweier statistischer Variablen x und y

$r=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\cdot \sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2}},$

mit $\overline{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i$ als dem arithmetischen Mittel des Merkmals x. Mit Hilfe des Verschiebungssatzes:

$r=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot y_i-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}}{\sqrt{(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\cdot (\overline{x}{)}^2)\cdot (\sum _{i=1}^n{y}_i^2-n\cdot (\overline{y}{)}^2)}}$

Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman

• für Variablen, die stark von der Normalverteilung abweichen

• sowie ordinalskalierte Variablen

Nach Ordnung der einzelnen Beobachtungen von x bzw. y der Größe nach wird

jedem Wert wird seine Rangzahl rg(x_i) und rg(y_i) zugewiesen. Damit:

$r_{SP}=\frac{\sum _i(rg(x_i)-\overline{rg(x)})(rg(y_i)-\overline{rg(y)})}{\sqrt{\sum _i(rg(x_i)-\overline{rg(x)}{)}^2}\sqrt{\sum _i(rg(y_i)-\overline{rg(y)}{)}^2}}$.

diskrete Verteilungsmodelle

Binomialverteilung

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n und θ (0 ≤ θ ≤ 1) lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$P(X=x)=b(x|n;\theta )=\{\begin{array}{cc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}){\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x}& \text{falls }x=0,1,\dots ,n\\ 0& \text{sonst.}\end{array}$

Erwartungswert

$E(X)=n\cdot \theta$

Varianz

$Var(X)=n\cdot \theta \cdot (1-\theta )$

Hypergeometrische Verteilung

Eine Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern

N (Grundgesamtheit), M ("Kugeln der ersten Sorte") und n (Stichprobenumfang),

wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet

$P(X=x)=h(x|N;M;n)=\{\begin{array}{cc}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{x})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-x})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}& \text{ für x = 0, 1, ... , n}\\ 0& \text{ sonst}\end{array}$

Erwartungswert

$E(X)=n\cdot \frac{M}{N}=n\cdot \mathrm{\Theta }$

Varianz

$Var(X)=n\cdot \frac{M}{N}\cdot (1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}.$

Der Bruch $\frac{N-n}{N-1}$ wird Korrekturfaktor genannt.

Poissonverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion ($\lambda >0$)

$P(X=x)=p(x|\lambda )=\{\begin{array}{cc}\frac{e^{-\lambda }\cdot {\lambda }^x}{x!}& \text{ für x = 0, 1, ... }\\ 0& \text{ sonst}\end{array}$

Erwartungswert und Varianz

$E(X)=Var(X)=\lambda$

stetige Zufallsvariablen

Eine stetige Zufallsvariable kann in jedem beschränkten Intervall unendlich viele Ausprägungen annehmen.

Ihre Verteilung lässt sich durch eine Dichtefunktion f(x) beschreiben.

(f(x) ist hier keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Dichte !)

Verteilungsfunktion

$P(X\le a)=F(a)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

• Es gilt: P(X = a) = 0.

• Wegen P(X = a) = 0 ist P(X ≤ a) = P(X < a) und P(X > a) = P(X ≥ a)

Die Dichtefunktion f(x) ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, falls diese an der Stelle x differenzierbar ist.

• Die Dichtefunktion f(a) kann auch größer als 1 werden.

• Ausgehend von $P(X\le x)=p$ ist das p-Quantil x(p) der Wert x, der zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p gehört. Speziell x(0,5) ist der Median.

Erwartungswert

$E(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)dx,$

falls E(X) existiert, d.h. nicht unendlich wird.

Varianz

$Var(X)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-E(X){)}^2\cdot f(x)dx$

wobei auch hier der Verschiebungssatz angewendet werden kann:

$Var(X)=(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2}f(x)dx)-(E(X){)}^2$

stetige Verteilungsmodelle

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung)

Dichtefunktion der Gleichverteilung im Intervall [a,b]

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{für }a\le x\le b\\ 0& \text{sonst.}\end{array}$

Erwartungswert

$E(X)=\frac{a+b}{2}$

Varianz

$Var(X)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^2\cdot \frac{1}{b-a}dx=\frac{(b-a{)}^2}{12}$

Exponentialverteilung

Dichtefunktion der Exponentialverteilung

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda \cdot e^{-\lambda x}& \text{für }x\ge 0\\ 0& \text{für }x<0\end{array}$

Verteilungsfunktion

$P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}$

Erwartungswert

$E(X)=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$

Varianz

$Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$ .

Normalverteilung

Für eine Zufallsvariable $X\propto N(\mu ,{\sigma }^2)$ lautet die Dichtefunktion der NV

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\cdot \sigma }\cdot e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$ für $x\in ℝ$

Normierung mit $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ ergibt die Standardnormalverteilung mit der Dichtefunktion ${\varphi }_x(z)\propto N(0,1)$:

${\varphi }_x(z)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot \pi }}\cdot e^{-\frac{1}{2}{z}^2}$

Anm.:Es wird auch die Schreibweise ${\varphi }_x(z|\mu ,{\sigma }^2)$ anstelle $N(\mu ,{\sigma }^2)$ verwendet

Erwartungswert

$E(X)=\mu$

Varianz

$Var(X)={\sigma }^2$

p-Quantil

Der zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p zugehörige z-Wert z(p)

$P(Z\le z(p))=p$ .

Beispielsweise ist z(0,975) = 1,96.

Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen

Für n normalverteilte Zufallsvariablen $X_i(i=1,\mathrm{...},n),\text{ mit }{X}_i\propto N({\mu }_i;{\sigma }_i^2)$

ist die Linearkombination

$Y=a_0+a_1{X}_1+a_2{X}_2+\mathrm{...}+a_n{X}_n=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i$

ebenfalls normalverteilt mit dem Erwartungswert

$E(Y)=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_{i}E(X_i)=a_0+\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i$ .

Falls die $X_i(i=1,\mathrm{...},n)$ stochastisch unabhängig sind, gilt für die Varianz

$Var(Y)=\sum _{i=1}^n{a}_i^2\cdot (X_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2$ .

Die Varianz muss größer Null sein, deshalb muss zudem $a_j\ne 0$ für mindestens ein $j\in \{1,\dots ,n\}$ gelten.

Verteilung des Stichprobendurchschnitts

Sind die n Zufallsvariablen $X_i$ (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt

mit gleichem μ und gleichem σ², ist die Linearkombination

X mit a₀ = 0, a₁ = a₂ = ... = a_n = 1/n, also :$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

normalverteilt dem Erwartungswert

$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mu =\mu$

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

$Var(\overline{X})=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n}$ .

CHI-Quadrat-verteilung

Die $X_1,X_2,\mathrm{...}{X}_n$ seien unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen.

Dann ist die Verteilung der Zufallsvariablen $Z=X_1^2+X_2^2+\mathrm{...}+X_n^2$

chi-quadrat verteilt mit n Freiheitsgraden $Z\propto {\chi }^2(n)$

Erwartungswert:

$E(Z)=n$

Varianz

$Var(Z)=2n$ .

Anm.: Die Gruppe der Hypothesentests mit ${\chi }^2$-Verteilung bezeichnet man als ${\chi }^2$-Test.

Hierunter sind mehrere Tests zu verstehen:

Verteilungstest oder Anpassungstest: Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten auf eine bestimmte Weise verteilt sind.

Unabhängigkeitstest: Hier wird geprüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind.

Homogenitätstest: Hier wird geprüft, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Verteilung bzw. einer homogenen Grundgesamtheit entstammen.

t- (Student-) Verteilung

Für die unabhängigen Variablen $X$ (standardnormalverteilt) und $Z(Z\propto {\chi }^2(n))$ ist die Variable

$T=\frac{X}{\sqrt{Z/n}}$

t-verteilt $(T\propto t(n))$ mit n Freiheitsgraden.

Erwartungswert

$E(T)=0$ für $(m\ge 2)$

Varianz

$Var(T)=\frac{n}{n-2}$ für $(n\ge 3)$

Fisher- Verteilung

Für die unabhängigen Variablen $X\propto {\chi }^2(m)$ und $Y\propto {\chi }^2(n)$ ist die Verteilung der Variablen

$Z=\frac{X/m}{Y/n}$

Fisher- oder F-verteilt $(Z\propto F(m,n))$ mit den Freiheitsgraden m und n.

Erwartungswert

$E(T)=\frac{n}{n-2}$ für $(n\ge 3)$

Varianz

$Var(Z)=\frac{2n^2(n+m-2)}{m(n-4)(n-2{)}^2}$ für $(n\ge 3)$

Approximation von Verteilungen

Gesuchte Verteilung	Approximation durch
$P(X\le x)$	Binomial	Poisson	Normal
Binomial $B(x|n\theta )\approx$	---	$P(x|n\theta )$ $\text{ falls }n\ge 50$ $\text{ und }\theta \le 0,05$	$\mathrm{\Phi }(x+0,5|n\cdot \theta ;n\cdot \theta \cdot (1-\theta ))$ $\text{ falls }n>\frac{9}{\theta (1-\theta )}$
Hypergeometrische $H(x|N;M;n)\approx$	$B(x|n\frac{M}{N})$ $\text{ falls }\frac{n}{N}<0,05$	über Binomialverteilung	$\mathrm{\Phi }(x+0,5|n\cdot \stackrel{}{\frac{M}{N}};n\cdot \frac{M}{N}\cdot (1-\frac{M}{N})\cdot \frac{N-n}{N-1}$ $\text{ falls }n>\frac{9}{\frac{M}{N}\cdot (1-\frac{M}{N})}$ $\text{ und }\underset{}{\frac{n}{N}}<0,05$
Poisson $P(x|\lambda )\approx$	---	---	$\mathrm{\Phi }(x+0,5|\lambda ;\lambda )\text{ falls }\lambda >9$
χ2-Verteilung ${\chi }^2(x|n)$→ $P(\sqrt{2X}\le \sqrt{2x})\approx$	---	---	$\mathrm{\Phi }(\stackrel{}{\sqrt{2x}}|\sqrt{2n-1};1)$ $\text{ falls }n>30$
t-Verteilung $t(x|n)\approx$	---	---	$\mathrm{\Phi }(x|0;1)\text{ falls }n>30$
F-Verteilung $F(x|m;n)\approx$	---	---	$\mathrm{\Phi }(x|0;1)\text{ falls }$ $m>30\text{ und }n>30$

Grenzwertsatz

Gesetz der großen Zahlen

Für ein beliebig kleines c > 0 gilt

$P(|{\overline{X}}_n-\mu |\le c)\to 1$ für $(n\to \mathrm{\infty })$

Theorem von Bernoulli

Die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis A bei n unabhängigen Wiederholungen

eines Zufallsereignisses eintritt, konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen P(A)

Hauptsatz der Statistik

Für eine Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F(x) gilt für die Verteilungsfunktion F_n(x)

für die unabhängigen wie identisch wie X verteilten X₁…X_n (x∈ R)

$P(sup|F_n(x)-F(x)|\le c)\to 1\text{ für }(n\to \mathrm{\infty })$

(sup: Maximale Abweichung zwischen ${\hat{F}}_n(x)$ und $\hat{F}(x)$).

Zentraler Grenzwertsatz

Für unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen X₁…X_n mit E(X_i ) = μ

und Var(X_i ) =σ² > 0 konvergiert die Verteilungsfunktion F_n(z) = P(Z_n≤z)

der standardisierten Summe

$Z_n=\frac{X_1+\mathrm{..}+X_n-n\cdot \mu }{\sqrt{n}\sigma }=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^n\frac{X_i-\mu }{\sigma }$

für n → ∞ an jeder Stelle $z\in ℝ$ gegen die Verteilungsfunktion ${\varphi }_x(z)$ der Standardnormalverteilung

$F_n(z)\Rightarrow {\varphi }_x(z)$

Grenzwertsatz von De Moivre

Die Verteilung der standardisierten absoluten Häufigkeit $\frac{H_n-n\cdot \pi }{\sqrt{n\pi (1-\pi )}}$ der Standardnormalverteilung

konvergiert für n → ∞ gegen eine Standardnormalverteilung.

Deskriptive Statistik

Skalenniveaus

Nominalskala

Die Ausprägungen des nominalskalierten Merkmals können nicht geordnet werden,

man kann sie nur vergleichen und abzählen.

Es handelt sich um qualitative Merkmale. Erhalten die Ausprägungen Ziffern zugeordnet,

handelt es sich nur um eine Verschlüsselung (Codierung): 1 = männlich, 2 = weiblich.

Ordinalskala

Zwischen den Ausprägungen des ordinalskalierten (rangskalierten) Merkmals existiert eine Beziehung

der Form mehr oder weniger, < oder >, besser oder schlechter.

Eine Quotientenbildung macht wenig Sinn (Beispiel Noten: 1, 2, 3, 4, 5).

Intervallskala

Die Abstände zwischen den Ausprägungen des (quantitativen) Merkmals der Intervallskala

können gemessen werden. Es handelt sich bei den Ausprägungen um (reelle) Zahlen.

Beispiel: Kinderzahl, Temperatur.

Verhältnissskala

Sowohl die Abstände als auch Verhältnisse zwischen den Ausprägungen des (quantitativen) Merkmals

können gemessen werden. Es handelt sich bei den Ausprägungen um (reelle) Zahlen. Beispiel: Einkommen.

Zweig-Blätter-(stem-leaf-) Diagramm

Die linke Spalte enthält als „Stämme“ die Äquivalenzklassen, in die die auf der rechten Seite als „Blätter“

dargestellten Merkmale eingeteilt werden. Beispiel: Gegeben sind die Werte 0,3 0,4 2,5 2,5 2,6 2,7 2,8 3,5 3,7.

Wählt man die natürlichen Zahlen als Klasseneinteilung, ergibt sich folgendes Stamm-Blatt-Diagramm:

3	5	7
2	5	5	6	7	8
1
0	3	4

Lageparameter

Arithmetisches Mittel

$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Median (Zentralwert)

Sind die Beobachtungswerte der Größe nach geordnet, ist der Median z die Stelle, die die Teilgesamtheit in zwei gleiche Hälften teilt.

$z=\{\begin{array}{cc}{x}_{[\frac{n+1}{2}]}& \text{n ungerade }\\ \frac{1}{2}(x_{[\frac{n}{2}]}+x_{[\frac{n}{2}+1]})& \text{n gerade}\end{array}$

geometrisches Mittel

${\overline{X}}_{geom}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$

harmonisches Mittel

${\overline{X}}_{harm}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{{}^1}{x_i}}$

Modalwert

Der am häufigsten auftretende Wert

Varianz

Grundgesamtheit:

${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$

Stichprobe:

${\overline{s}}^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{X}{)}^2$

Verschiebungssatz

Für jedes $c\in ℝ$ gilt

$\sum _{i=1}^n(x_i-c{)}^2=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{X}{)}^2+n(\overline{X}-c{)}^2$

Damit erhält man als Varianz

$s^2=\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\cdot {\overline{X}}^2)$

Variationskoeffizient

$v=\frac{\overline{s}}{\overline{X}},\overline{X}>0$

Konzentrationsmasse

Konzentrationsrate

Die Konzentrationsrate CRn ist die Summe der Marktanteile der n größten Unternehmen eines relevanten Marktes. Im GWB werden die Raten CR₁, CR₃ und CR₅ herangezogen.

Lorenzkurve

Für eine geordnete Urliste x₁ ≤ x₂… ≤x_n trägt man die kumulierte relative Merkmalssumme

$q_i=\frac{\sum _{k=1}^j{x}_i}{\sum _{k=1}^n{x}_i}$

über den Anteil der Merkmalsträger $p_j=\frac{j}{n}$ auf.

Liegen die Merkmale in gruppierter Form vor, trägt man die kumulierte relative Merkmalssumme

$q_i=\frac{\sum _{k=1}^j{x}_i}{\sum _{k=1}^n{x}_i}$

über der Häufigkeit $p_i=\frac{1}{n}\cdot \sum _{j=1}^i{h}_j$ auf.

Zwischen (0;0) und (1;1) wird die Winkelhalbierende des Koordinatensystems eingetragen.

Gini-Koeffizient

Als Ginikoeffizient G bezeichnet man das Verhältnis der Fläche zwischen Winkelhalbierender und der Lorenzkurve

zur Gesamtfläche unter der Winkelhalbierenden (= 1/2).

Die Fläche unterhalb der Lorenzkurve kann man einfach aus Teil-Trapezflächen zusammensetzen:

$G=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{p}_i\cdot (q_{i-1}+q_i)):\frac{1}{2}=1-\sum _{i=1}^n(p_i-p_{i-1})\cdot (q_{i-1}+q_i)$

(p₀ = 0 ; q₀ = 0):

• 
  Ginikoeffizient: Ermittlung einer Trapezfläche für i=3
• 
  Ginikoeffizient

Herfindahl-Index

$H=\sum _{i=1}^n{p}_i^2,\text{wobei }{p}_i=\frac{x_i}{\sum _{j=1}^n{x}_j}$

Parameterschätzung

Konfidenzintervall für den Erwartungswert μ

Normalverteiltes Merkmal mit bekannter Varianz

Das Zufallsintervall enthält mit einer Wahrscheinlichkeit 1-α den Parameter:

$P(\overline{x}-z_{1-\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le -\mu \le \overline{x}+z_{1-\alpha /2}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$

(Quantil z aus Normalverteilungstabelle)

Normalverteiltes Merkmal mit unbekannter Varianz

Für normalverteilte Merkmale und unbekannter Varianz muss die Varianz durch s² geschätzt werden.

$P(\overline{x}-t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{x}+t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}})=1-\alpha .$.

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}].$

(Quantil $t(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array};n-1)$ aus der t-Verteilungstabelle bei Freiheitsgrad n-1).

Merkmal mit unbekannter Verteilung und bekannter Varianz

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$ für n > 30.

Merkmal mit unbekannter Verteilung und unbekannter Varianz

Konfidenzintervall

$[\overline{x}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{s}{\sqrt{n}};\overline{x}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\frac{s}{\sqrt{n}}].$ für n > 50

Konfidenzintervalle für den Anteilswert einer dichotomen Grundgesamtheit

Modell mit Zurücklegen

Beschreibung durch den geschätztem Anteilswert $\hat{p}=\frac{x}{n}$. Für n > 100 und $n\hat{p}(1-\hat{p})\ge 9$)

erhält man das 1-α-Konfidenzintervall für p durch eine Approximation der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung:

$[\hat{p}-z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+z(1-\begin{array}{c}\frac{\alpha }{2}\end{array})\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}].$

Modell ohne Zurücklegen

Für $n>\frac{9}{p(1-p)},n>100n/N\le 0,05$ kann die hypergeometrische Verteilung durch die Normalverteilung approximiert werden:

$(1-\alpha )$-Konfidenzintervall für $\theta$:

$[p-z(1-\frac{\alpha }{2})\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}};p+z(1-\frac{\alpha }{2})\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}].$

Hypothesentests

Vorgehen beim Hypothesentest

I. Feststellung der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit

II. Aufstellen der Nullhypothese

III. Festlegen der Testfunktion T

IV. Festlegen des Annahmebereichs ("Nichtablehnungsbereichs") (für ein zu bestimmendes Signifikanzniveau)

Fällt die Prüfgröße $\bar{x}$ in den Bereich [$\bar{x}$_u; $\bar{x}$_o],

wird H₀ nicht abgelehnt. Es soll sein

$P({\overline{x}}_u\le \overline{X}\le {\overline{x}}_o)=1-\alpha$

(beachte: ein- oder zweiseitig)

α : Signifikanzniveau oder α-Fehler

V. Stichprobe erheben

VI. Entscheidung treffen

	H0 ist wirklich wahr	H1 ist wirklich wahr
H0 wird beibehalten	richtige Entscheidung (1-α)	Fehler 2. Art (β-Fehler)
H1 wird angenommen	Fehler 1. Art (α-Fehler)	richtige Entscheidung (1-β)

Tests auf Lageparameter (Erwartungswert, Median, Anteilswert)

Test auf Erwartungswert

Test	$H_0$	$H_1$
zweiseitig	μ = μ0	μ ≠ μ0
rechtsseitig	μ ≤ μ0	μ > μ0
linksseitig	μ ≥ μ0	μ < μ0

• 
  Zweiseitiger Test für $\bar{x}$
• 
  linksseitiger Test für $\bar{x}$
• 
  Rechtsseitiger Test für $\bar{x}$

1. X ist normalverteilt, σ ist bekannt bei beliebigem n bzw. näherungsweise normalverteilt bei n > 30

Testfunktion

$T=\frac{{\overline{X}}_n-{\mu }_0}{\sigma }\cdot \sqrt{n}\sim N(0;1)$ (Gauß-Test):

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$|T|>z_{1-\alpha /2}$
rechtsseitig	$|T|>z_{1-\alpha }$
linksseitig	$|T|<-z_{1-\alpha }$

2. X ist normalverteilt, σ ist unbekannt bei beliebigem n

Testfunktion

$T=\frac{\overline{X_n}-{\mu }_0}{S}\cdot \sqrt{n}\sim t(n-1)$ (t-Test).

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$|T|>t_{1-n,1-\alpha /2}$
rechtsseitig	$|T|>t_{n-1,1-\alpha }$
linksseitig	$|T|<-t_{n-1,1-\alpha }$

3. X ist näherungsweise normalverteilt, σ ist unbekannt bei n > 30

Testfunktion

$T=\frac{\overline{X_n}-{\mu }_0}{S}\cdot \sqrt{n}\approx N(0;1)$ (Gauß-Test) .

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$|T|>t_{1-n,1-\alpha /2}$
rechtsseitig	$|T|>t_{n-1,1-\alpha }$
linksseitig	$|T|<-t_{n-1,1-\alpha }$

Vorzeichentest

Einstichprobenproblem

	Einseitig		Zweiseitig
$H_0$	$P(X\ge {\theta }_0)\ge 1/2$	$P(X\ge {\theta }_0)\le 1/2$	$P(X\ge {\theta }_0)=1/2$
$H_1$	$P(X\ge {\theta }_0)<1/2$	$P(X\ge {\theta }_0)>1/2$	$P(X\ge {\theta }_0)\ne 1/2$
$H_0$	$\theta \ge {\theta }_0$	$\theta \le {\theta }_0$	$\theta ={\theta }_0$
$H_1$	$\theta <{\theta }_0$	$\theta >{\theta }_0$	$\theta \ne {\theta }_0$

Die Stichprobenwerte, die größer als der hypothetische Median ${\theta }_0$ sind, bekommen ein "+" zugeordnet;

Werte, die kleiner sind, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt und dient als Teststatistik.

Zweistichprobenproblem

Die $n$ Beobachtungspaare dürfen nicht voneinander abhängen, d.h. das Wertepaar $(x_{1i},x_{2i})$ muss unabhängig

vom Wertepaar $(x_{1j},x_{2j}),\mathrm{\forall }i\ne j$ sein.

Besitzen beide Grundgesamtheiten den gleichen Median, gilt $P(X_{11}>X_{12})=P(X_{11}<X_{12})$.

Folgende Hypothesen können mit dem Vorzeichentest geprüft werden:

	Einseitig		Zweiseitig
$H_0$	$P(X_1\ge X_2)\ge 1/2$	$P(X_1\ge X_2)\le 1/2$	$P(X_1\ge X_2)=1/2$
$H_1:$	$P(X_1\ge X_2)<1/2$	$P(X_1\ge X_2)>1/2$	$P(X_1\ge X_2)\ne 1/2$

Die Wertepaare der Stichproben, bei denen $x_{i1}>x_{i2}$ gilt, bekommen ein "+" zugeordnet;

Wertepaare, für die $x_{i1}<x_{i2}$ gilt, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt

und dient als Teststatistik. Die Teststatistik entspricht der Anzahl der positiven Vergleiche (Differenzen der Werte bzw. Ränge):

$V=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\mathrm{I}(x_{i1}>x_{i2})\sim B(\pi =\mathrm{0,5},n^{\prime })$

mit

$\mathrm{I}(x_{i1}>x_{i2})=\{\begin{array}{c}1,\text{wenn}{x}_{i1}>x_{i2}\\ 0,\text{sonst}\end{array}$

Für das Einstichprobenproblem sind die Werte der zweiten Stichprobe durch den hypothetischen Median zu ersetzen.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_0$ ist die Summe der positiven Differenzen binomialverteilt mit $\pi =\mathrm{0,5}$,

da der Median dem 50 %-Quantil entspricht. n' bezeichnet den nach Behandlung von Ties (Nulldifferenzen, Rangbindungen, s.u.)

verbleibenden Stichprobenumfang. Bei Gültigkeit der Nullyhypothese ist die Verteilung der Prüfgröße symmetrisch.

Approximation durch die Normalverteilung

Mit $n\to \mathrm{\infty }$ nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung mit $N(np,np(1-p))$,

als Faustregel $np(1-p)\ge 9$ ($H_0:p=1/2$).

Mit $\frac{1}{4}n\ge 9$ bzw. $n\ge 36$ ist die z-standardisierte Größe

$z_V=\frac{\sum _{i=1}^{n^{\prime }}-\frac{1}{2}\cdot n^{\prime }}{\frac{1}{2}\sqrt{n^{\prime }}}\approx N(0,1)$

näherungsweise standardnormalverteilt.

Bindungen (Nulldifferenzen) Sind im Zweistichprobenproblem die Werte von Beobachtungen von der ersten zur zweiten Stichprobe unverändert

oder im Einstichprobenproblem einige Werte gleich dem Median, ergeben sich Nulldifferenzen bzw. Bindungen (Ties),

die man so behandeln kann:

• Beobachtungen mit Rangbindungen werden eliminiert, d.h. der Stichprobenumfang wird reduziert.
• Die Beobachtungen werden zu gleichen Teilen den Gruppen zugeordnet. Bei ungerader Anzahl von Bindungen wird ein Beobachtungspaar eliminiert.
• Die Beobachtungen werden jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 einer der beiden Gruppen (+ oder -) zugeordnet.

Test auf Anteilswert (Binomialtest)

Der Anteilswert θ wird geschätzt durch

$\hat{\theta }=p=\frac{x}{n}$.

Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für θ getestet werden:

Test	$H_0$	$H_1$
zweiseitig	$\theta ={\theta }_0$	$\theta \ne {\theta }_0$
rechtsseitig	$\theta \le {\theta }_0$	$\theta >{\theta }_0$
linksseitig	$\theta \ge {\theta }_0$	$\theta <{\theta }_0$

für n > 30 , nθ₀ ≥ 10 n(1-θ₀) ≥ 10

kann man durch die Gauß-Verteilung approximieren:

Testfunktion

$T=\frac{\theta -{\theta }_0}{\sqrt{{\theta }_0(1-{\theta }_0)}}\cdot \sqrt{n}\approx N(0;1)$ (Gauß-Test) .

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$|T|>z_{1-\alpha /2}$
rechtsseitig	$|T|>z-1-\alpha$
linksseitig	$|T|<-z-1-\alpha$

für n < 30 oder nθ₀ < 10 oder n(1-θ₀) < 10

ist der exakte Binomialtest anzuwenden:

Testfunktion

Die Teststatistik $X$ gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang $n$ aufgetreten ist.

Unter der Nullhypothese $H_0:\theta ={\theta }_0$ ist die Teststatistik $B({\theta }_0,n)$-verteilt, das heißt

$P(X=i)=B(i|{\theta }_0,n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\theta }_0^i(1-{\theta }_0{)}^{n-i}$.

Ablehnungsbereich

Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ in der Regel nicht eingehalten werden.

Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes exaktes Signifikanzniveau ${\alpha }_{\text{ex}}$ gilt ${\alpha }_{\text{ex}}\le \alpha$.

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte $c_1$ und das kleinste $c_2$ bestimmt, für die gilt

• $\sum _{i=0}^{c_1}B(i|{\theta }_0,n)\le \alpha /2$ und
• $\sum _{i=c_2}^{n}B(i|{\theta }_0,n)\le \alpha /2$.

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als

${\alpha }_{\text{ex}}=\sum _{i=0}^{c_1}B(i|{\theta }_0,n)+\sum _{i=c_2}^{n}B(i|{\theta }_0,n)$.

Für die beiden einseitigen Tests wird analog verfahren.

Test	Kritische Werte	Kritischer Bereich	Grenze(n)
zweiseitig	$c_1+1$ und $c_2-1$	$\{0,\dots ,c_1\}\cup \{c_2,\dots ,n\}$
rechtsseitig	$c-1$	$\{c,\dots ,n\}$	c = kleinster Wert, für den $\sum _{i=c}^{n}B(i|{\theta }_0,n)={\alpha }_{\text{ex}}\le \alpha$
linksseitig	$c+1$	$\{0,\dots ,c\}$	c = größter Wert, für den $\sum _{i=0}^{c}B(i|{\theta }_0,n)={\alpha }_{\text{ex}}\le \alpha$

Tests auf Streuung

Test auf Varianz

Test	$H_0$	$H_1$
zweiseitig	${\sigma }^2={\sigma }_0^2$	${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$
rechtsseitig	${\sigma }^2\le {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$
linksseitig	${\sigma }^2\ge {\sigma }_0^2$	${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$

1. X ist normalverteilt, μ ist unbekannt, n beliebig

Testfunktion

$T=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}^2{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$T<{\chi }_{n-1,\alpha /2}^2$ oder $T>{\chi }_{n-1,1-\alpha /2}^2$
rechtsseitig	$T>{\chi }_{n-1,1-\alpha }^2$
linksseitig	$T<{\chi }_{n-1,\alpha }^2$

2. X ist normalverteilt, μ ist bekannt, n beliebig

Testfunktion

$T=\frac{(n-1){\tilde{S}}^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$

	Ablehnungsbereich
zweiseitig	$T<{\chi }_{n,\alpha /2}^2$ oder $T>{\chi }_{n,1-\alpha /2}^2$
rechtsseitig	$T>{\chi }_{n,1-\alpha }^2$
linksseitig	$T<{\chi }_{n,\alpha }^2$

Tests auf Zusammenhangs- und Assoziationsparameter

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Nullhypothese

$H_0$: Die Merkmale $X$ und $Y$ sind stochastisch unabhängig.

Die Beobachtungen der Merkmale $X$ und $Y$ liegen paarweise in $m$ bzw. $r$ Klassen vor.

Es gibt insgesamt $n$ paarweise Beobachtungen von $X$ und $Y$, die sich auf $m\cdot r$ Kategorien verteilen. Aufstellung z. B. in einer Häufigkeitstabelle:
Merkmal $Y$ Summe Σ Merkmal $X$ 1 2 … k … r nj. 1 n11 n12 ... n1k ... n1r n1. 2 n21 n22 … n2k … n2r n2. … … … … … … … … j … … … njk … … nj. … … … … … … … … m nm1 nm2 … nmk … nmr nm. Summe Σ n.1 n.2 … n.k … n.r n

Absolute Randhäufigkeiten $n_{j\cdot }$ bzw. $n_{\cdot k}$

$n_{j\cdot }=\sum _{k=1}^r{n}_{jk}$ und $n_{\cdot k}=\sum _{j=1}^m{n}_{jk}$

Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest:

${\chi }^2=\sum _{j=1}^m\sum _{k=1}^r\frac{(n_{jk}-n_{jk}^{\ast }{)}^2}{n_{jk}^{\ast }}.$

Mit :$n_{jk}^{\ast }=\frac{n_{j\cdot }\cdot n_{\cdot k}}{n},$

$H_0$ wird abgelehnt, wenn ${\chi }^2>{\chi }^2(1-\alpha ;(m-1)(r-1))$ ist.

 

Anpassungs- oder Verteilungstests

Chi-Quadrat-Anpassungs- oder Verteilungstest

Die Wahrscheinlichkeiten eines Merkmals $X$ seien in der Grundgesamtheit unbekannt.

Nullhypothese: $H_0$: Das Merkmal $X$ besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung $F_0(x)$

Für $n$ unabhängige Beobachtungen $x_1,\dots ,x_n$ des Merkmals $X$ wird die Zahl

der Beobachtungen in der $j$-ten Klasse ist die beobachtete Häufigkeit $N_j$.

Im Vergleich dazu wird die hypothetische Verteilung bestimmt aufgrund der Wahrscheinlichkeit $p_{0j}$,

dass eine Ausprägung von $X$ in die Kategorie $j$ fällt. Die unter $H_0$ zu erwartende Häufigkeit ist:

$n_{0j}=p_{0j}\cdot n$

Die Prüfgröße (Größe der Abweichung)

${\chi }^2=\sum _{j=1}^m\frac{(N_j-n_{0j}{)}^2}{n_{0j}}$

ist bei ausreichend großen $N_j$ annähernd chi-Quadrat-verteilt mit $m-1$ Freiheitsgraden.

$H_0$ wird abgelehnt, wenn ${\chi }^2>{\chi }_{(1-\alpha ;m-1)}^2$ gilt.

Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest

Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Man betrachtet ein statistisches Merkmal X, dessen Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt ist.

$H_0:F_X(x)=F_0(x)$ (Die Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung F₀.)

$H_1:F_X(x)\ne F_0(x)$ (Die Zufallsvariable X besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als F₀.)

Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirische Verteilungsfunktion $F_n$ mit $F_0$ mittels der Teststatistik

$d_n=\Vert F_n-F_0\Vert =\underset{x}{sup}|F_n(x)-F_0(x)|,$ (sup: Supremum)

Die Teststatistik ist unabhängig von der hypothetischen Verteilung F₀.

Ist der Wert der Teststatistik größer als der entsprechende tabellierte kritische Wert, so wird die Nullhypothese verworfen.

Einstichprobenproblem

Von einer reellen Zufallsvariablen $X$ liegen $n$ aufsteigend sortierte Beobachtungswerte $x_i$ ($i=1,\dots ,n$) vor.

Von diesen Beobachtungen wird die relative Summenhäufigkeit $S(x_i)$ mit der entsprechenden hypothetischen

Verteilung der Grundgesamtheit F₀(x_i) verglichen. Voraussetzung: $F_0$ ist stetig.

Für jedes $i=1,\dots ,n$ werden die absoluten Differenzen

$d_{oi}=|S(x_i)-F_0(x_i)|$ und :$d_{ui}=|S(x_{i-1})-F_0(x_i)|$

berechnet, wobei $S(x_0):=0$ gesetzt wird. Wenn die größte Differenz $d_{max}$ aus allen Differenzen $d_{oi}$, $d_{ui}$

einen kritischen Wert $d_{\alpha }$ übersteigt, wird die Hypothese abgelehnt.

Bis n=40 greift man auf Tabellen zurück (s. Anhang). Für größere $n$ werden sie über $d_{\alpha }=\frac{\sqrt{\ln \left(\frac{2}{\alpha }\right)}}{\sqrt{2n}}$ angenähert.

Zweistichprobenproblem

Liegt nun zusätzlich zur Zufallsvariablen $X$ eine entsprechende Zufallsvariable $Y$ vor (mit $m$ geordneten Werten $y_i$),

so kann durch den Zweistichprobentest überprüft werden, ob $X$ und $Y$ derselben Verteilungsfunktion folgen.

Von beiden Beobachtungen werden die die Differenzen der relativen Summenfunktionen $S_X(x_i)$ bzw. $S_Y(y_i)$ ermittelt:

$d(z)=|S_X(z)-S_Y(z)|$ und  :$d_{max}=\underset{z}{sup}d(z)$ .

Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls $d_{max}$ den kritischen Wert $d_{krit}(\alpha ,n,m)$ überschreitet.

Für kleine Werte von $n$ und $m$ greift man auf Tabellen zurück.

Für große Werte von n und m wird die Nullhypothese abgelehnt, falls

$\sqrt{\frac{nm}{n+m}}{d}_{max}>K_{\alpha }$ ,

wobei $K_{\alpha }$ für große $n$ und $m$ näherungsweise als $K_{\alpha }=\sqrt{\frac{\ln \left(\frac{2}{\alpha }\right)}{2}}$ berechnet werden kann.

Varianzanalyse

univariate Varianzanalyse (ANOVA)

Man untersucht man den Einfluss einer unabhängigen Variable (Faktor) mit k verschiedenen Stufen (Gruppen) auf die Ausprägungen einer Zufallsvariablen.

Dazu werden die k Mittelwerte der Ausprägungen für die Gruppen miteinander verglichen, und zwar vergleicht man die Varianz zwischen den Gruppen mit der Varianz innerhalb der Gruppen.

Weil sich die totale Varianz aus den zwei genannten Komponenten zusammensetzt, spricht man von Varianzanalyse.

Die einfaktorielle ANOVA ist die Verallgemeinerung des t-Tests bei mehr als zwei Gruppen. Für k=2 ist sie äquivalent mit dem t-Test.

Es sei ${\mu }_i$ der Erwartungswert der abhängigen Variable in der i. Gruppe.

$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\mathrm{...}={\mu }_k$ (Es besteht kein Unterschied zwischen den Erwartungswerten der Gruppen.)

$H_1:\mathrm{\exists }i,j:{\mu }_i\ne {\mu }_j$ (Es besteht zwischen mindestens zwei Erwartungswerten ein Unterschied.)

→ Wir wissen dann nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Ausprägungen einen bedeutsamen Unterschied aufweisen.

Effektdarstellung :

$X_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\epsilon }_{ij},i=1,\dots ,k,j=1,\dots ,n_i.$

Darin sind:
X_ij: Zielvariable; annahmegemäß in den Gruppen normalverteilt
  k: Anzahl der Faktorstufen des betrachteten Faktors
  n_i: Stichprobenumfänge für die einzelnen Faktorstufen
  μ: arithmetisches Mittel der Erwartungswerte in den Gruppen
 α_i: Effekt der i-ten Faktorstufe
ε_ij: Störvariablen, unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert 0 und gleicher (unbekannter) Varianz σ².

Erwartungswert in der i. Gruppe: ${\mu }_i=\mu +{\alpha }_i$

$\sum _{i=1}^k{n}_i{\alpha }_i=0.$

Betrachtung der Quadratsummen (Variabiliät)

Die gesamte Variabilität QST (gesamte quadratische Abweichung vom Mittelwert) lässt sich in zwei Teile zerlegen:

$QST=\sum (X_{ij}-\overline{\stackrel{‾}{X}}{)}^2=QSA+QSE$

Der erste Teil QSA (Gruppenzugehörigkeit) entspricht der ('Inter-')Variabilität zwischen den Gruppen.

$QSA=\sum _i{n}_i({\bar{X}}_i-\overline{\stackrel{‾}{X}}{)}^2,$

Der Rest QSE entspricht der Variabilität innerhalb der Gruppen (gesamte 'Intra'-Abweichung von den Mittelwerten in den Gruppen, der 'Zufall'):

$QSE=\sum _{i,j}(X_{ij}-\overline{X_i}{)}^2.$

Die zwei Quadratsummen QSA und QSE sind stochastisch unabhängig.

Im Fall von k Gruppen mit gleichem Umfang b=n/k gilt unter der Nullhypothese außerdem:

$QSA/{\sigma }^2$ folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k-1 Freiheitsgraden,

und

$QSE/{\sigma }^2$ folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n-k Freiheitsgraden.

mittlere Quadratsummen:

$MQSA=\frac{1}{k-1}QSA,$ und :$MQSE=\frac{1}{n-k}QSE.$

Prüfgröße:

$F=\frac{MQSA}{MQSE}.$

Gruppen gleicher Größe

Im Falle Gruppen gleicher Größe ist F unter der Nullhypothese F-verteilt

mit $k-1$ Freiheitsgraden im Zähler und $k\cdot (b-1)$ Freiheitsgraden im Nenner.

Wenn die Prüfgröße

$F=\frac{MQSA}{MQSE}=\frac{\frac{1}{k-1}\cdot b\cdot \sum _i({\bar{X}}_i-\overline{\stackrel{‾}{X}}{)}^2}{\frac{1}{k\cdot (b-1)}\cdot \sum _{i,j}(X_{ij}-\overline{X_i}{)}^2}.$

signifikant (d.h. $F>F_{krit}(\alpha ,k-1,k\cdot (b-1))$ wird, unterscheiden sich mindestens zwei Faktoren ('Gruppen') voneinander.

In Post-Hoc-Tests kann dann berechnet werden, zwischen welchen einzelnen Gruppen der Unterschied liegt.

Regressionsrechnung

Lineare Regression

Methode der kleinsten Quadrate

$RSS=\sum _{i=1}^n{d}_i^2=\sum _{i=1}^n(y_i-(a+b{x}_i){)}^2\to min!$

bezüglich a und b.

Nach Ausmultiplikation, Ableiten und Nullsetzen

$\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum _{i=1}^n{y}_i+2na+2b\sum _{i=1}^n{x}_i=0,$

$\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i+2a\sum _{i=1}^n{x}_i+2b\sum _{i=1}^n{x}_i^2=0,$

erhält man die gesuchten Regressionskoeffizienten als die Lösungen

$b=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2}$

und

$a=\overline{y}-b\overline{x},$

wobei $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$.

Mit dem Verschiebungssatz kann man $b$ auch so ermitteln:

$b=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}$

Schätzungen ŷ

${\hat{y}}_i=a+b{x}_i$

Residuen r_i :

$\begin{array}{cccccccc}& y_i& =& a+b{x}_i+d_i& =& {\hat{y}}_i+d_i& & \\ \Rightarrow & d_i& =& y_i-{\hat{y}}_i& \end{array}$

Stichprobenvarianz der Residuen:

$s^2=\frac{1}{n-2}\sum _i{d}_i^2$

Bestimmtheitsmaß

$r^2=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2}{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2}=\frac{(\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}){)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2},$

mit dem Verschiebungssatz :

$r^2=\frac{(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\cdot \overline{x}\cdot \overline{y}{)}^2}{(\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n\cdot {\overline{x}}^2)(\sum _{i=1}^n{y}_i^2-n\cdot {\overline{y}}^2)}.$

$0\le r^2\le 1$

Varianz der Residuen

$s^2=\frac{1}{n-2}(1-r^2)\cdot \sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$

Variablentransformation

Funktion	u	v
$y=a+b\cdot x^n$	$x^n$	$v=a+b\cdot u$
$y=\frac{a}{b+x}$	$x$	$v=\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{1}{b}\cdot u$
$y=a\cdot x^b$	$ln(x)$	$v=ln(y)=ln(a)+b\cdot ln(x)$
$y=a\cdot b^x$	$x$	$v=ln(y)=ln(a)+x\cdot ln(b)$
$y=a\cdot e^{b\cdot x}$	$x$	$v=ln(y)=ln(a)+b\cdot x$

Die Methode kann auf weitere Parameter erweitert werden.

Zeitreihenanalyse

Komponentenunterteilung bei Zeitreihen

Mögliche Aufteilung einer Zeitreihe in Komponenten:

• Trend Q
• Konjunkturelle Schwankung K
• Saisonale Schwankung S
• Restschwankung r

Bei Unabhängigkeit dieser Komponenten kann man ein additives Modell annehmen:

$y=Q+K+S+r$

Nehmen beispielsweise zyklische Schwankungen mit steigendem Trend zu, könnte ein multiplikatives Modell

$y_t=Q_t\cdot K_t\cdot r_t$

angebracht sein. Variablentransformation durch Logarithmieren

$\log y_t=\log Q_t+\log S_t+\log r_t$

Schätzung des Trends durch Regression

‘‘‘Regressionsmodell‘‘‘

${\hat{y}}_t=a+bt$ bzw. $y_t=a+bt+d_t$ $(t=1,2,\dots ,T;y_t=y_1,y_2,\dots ,y_T)$

mit den Lösungen

$b=\frac{\sum _{t=1}^T(t-\bar{t})(y_t-\bar{y})}{\sum _{t=1}^T(t-\bar{t}{)}^2}$

$=\frac{\sum _{t=1}^{T}t\cdot y_t-T\cdot \bar{t}\cdot \bar{y}}{\sum _{t=1}^T{t}^2-T\cdot {\bar{t}}^2}$

$=\frac{\sum _{t=1}^{T}t{y}_t-\frac{T(T+1)}{2}\bar{y}}{\frac{1}{12}(T^3-T)}$

und

$a=\bar{y}-b\cdot \bar{t}$

$=\bar{y}-b\cdot \frac{T+1}{2}$ .

Die Trendwerte Q_t sind dann

$Q_t={\hat{y}}_t=a+bt$.

Nichtlinearer Trendverlauf: Lösung über Variablentransformation oder Anwendung eines nichtlinearen Regressionsansatzes

Schätzung der Saisonkomponente

Additives Modell

$y_t=Q_t+S_t+r_t$

Nach Schätzung der Trendkomponente Q_t bleibt noch die Abweichung

$d_t=y_t-Q_t$

und

$d_t=S_t+r_t$

d_t: trendbereinigter Zeitreihenwert

Bestimmung der saisonalen Komponente S_t über Fourieranalyse oder (einfacher)

Bildung des arithmetischen Durchschnitts aller Werte d_t, die die gleiche Saison betreffen,

als Schätzung für die saisonale Komponente. Dann bleibt die nichterklärte Restschwankung

$r_t=y_t-Q_t-S_t$

Prognose für den Zeitpunkt T+k (mit S_t als Wert in der Saison T+k)

${\hat{y}}_{T+k}=Q_{T+k}+S_{T+k},$

 

Schätzung der glatten Komponente mit gleitenden Mittelwerten

Lässt sich die Trendkomponente des Zeitreihenmodells offensichtlich durch keine funktionale lineare oder

nichtlineare Beziehung darstellen, kann man eine glatte Komponente mit Hilfe gleitender Mittelwerte bestimmen.

einfacher gleitender Mittelwert

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung:

$Y_k=\frac{1}{3}\cdot (Y_{k-1}+Y_k+Y_{k+1})=\frac{1}{3}\sum _{i=k-1}^{k+1}{Y}_i$

Die Ordnung des Mittelwerts sollte so gewählt werden, daß möglichst genau eine Periode umfasst wird.

Zur Prognose über den Beobachtungszeitraum hinaus sind gleitende Mittelwerte bedingt geeignet,

da die Randwerte der Zeitreihe nicht geschätzt werden.

gewichteter gleitender Mittelwert

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung mit z.B. $w_1=\frac{1}{4},w_2=\frac{1}{2},w_1=\frac{1}{2},\sum _i{w}_i=1$

$Y_k=w_1\cdot Y_{k-1}+w_2\cdot Y_k+w_3\cdot Y_{k+1}$

Exponentielle Glättung

Gewichtung durch den Glättungsfaktor $\alpha$ mit $0\le \alpha \le 1$:

Geglätteter Schätzwert y*_t als gewichteter Durchschnitt aus dem aktuellen Zeitreihenwert y_t

und dem Schätzwert der Vorperiode y*_t-1 (y*₀ geeignet wählen):

$y_t^{\ast }=\alpha \cdot y_t+(1-\alpha )\cdot y_{t-1}^{\ast }.$

Auflösung der Rekursivität:

$y_t^{\ast }=\alpha y_t+\alpha (1-\alpha )y_{t-1}+\alpha (1-\alpha {)}^2{y}_{t-2}+\mathrm{...}+\alpha (1-\alpha {)}^{t-1}{y}_1+(1-\alpha {)}^t{y}_0.$

Für die Wahl des Glättungsfaktors wird häufig 0,2 bis 0,3 empfohlen. Man kann aber auch mit Hilfe der Regressionsanalyse den Glättungsfaktor schätzen.

Exponentielle Glättung bei trendbehafteten Werten

Bei Trend werden die Zeitreihenwerte systematisch unter- bzw. überschätzt. Abhilfe bieten ggf. gleitende Durchschnitte zweiter Ordung.

Die bereits einmal geglätteten Werte erneut einer Glättung unterzogen. Man erhält den Schätzwert $y^{\ast \ast }$, der sich analog zu oben berechnet aus

$y_t^{\ast \ast }=\alpha \cdot y_t^{\ast }+(1-\alpha )\cdot y_{t-1}^{\ast \ast }$

Für einen brauchbaren Prognosewert für Periode t+1 muss man dann bestimmen

${\hat{y}}_{t+1}=2\cdot y_t^{\ast }-y_{t-1}^{\ast \ast }$ .

Symbolverzeichnis

allgemein

Symbol	Verwendung
A,B	Ereignisse
Ω = {A,B,C...}	Ereignisraum
|A|	Anzahl der Ereignisse A
P(A)	Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A
∪ ∩	Und-Verknüpfung (Konjunktion) / Oder-Verknüpfung (Disjunktion)
P(A | B)	Bedingte Wahrscheinlichkeit (A wenn B)
E(X)	Erwartungswert von X
f(X)	Wahrscheinlichkeitsfunktion
F(X)	Verteilungsfunktion
N	Grundgesamtheit
n	Stichprobe
X	Zufallsvariable
$Var(X)$	Varianz von X
Θ	Anteilswert einer Grundgesamtheit

Verteilungsmodelle

Symbol	Verwendung
$b(x|n;\theta )$	Binomialverteilung
F(m,n)	Fisherverteilung
$h(x|N;M;n)$	Hypergeometrische Verteilung
$p(x|\lambda )$	Poissonverteilung
$N(\mu ,{\sigma }^2)$	Normalverteilung
t(n)	t- (Student-) Verteilung
${\varphi }_x(z)$	Standardnormalverteilung

Tabellen

Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion) n x p= 0,01 ... 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,5 2 0 0,9801 0,9025 0,81 0,64 0,5625 0,49 0,25 1 0,0198 0,095 0,18 0,32 0,375 0,42 0,5 2 0,0001 0,0025 0,01 0,04 0,0625 0,09 0,25 3 0 0,9703 0,8574 0,729 0,512 0,4219 0,343 0,125 1 0,0294 0,1354 0,243 0,384 0,4219 0,441 0,375 2 0,0003 0,0071 0,027 0,0960 0,1406 0,189 0,375 3 0 0,0001 0,001 0,008 0,0156 0,027 0,125 4 0 0,9606 0,8145 0,6561 0,4096 0,3164 0,2401 0,0625 1 0,0388 0,1715 0,2916 0,4096 0,4219 0,4116 0,25 2 0,0006 0,0135 0,0486 0,1536 0,2109 0,2646 0,375 3 0 0,0005 0,0036 0,0256 0,0469 0,0756 0,25 4 0 0 0,0001 0,0016 0,0039 0,0081 0,0625 5 0 0,951 0,7738 0,5905 0,3277 0,2373 0,1681 0,0313 1 0,048 0,2036 0,3281 0,4096 0,3955 0,3602 0,1563 2 0,001 0,0214 0,0729 0,2048 0,2637 0,3087 0,3125 3 0 0,0011 0,0081 0,0512 0,0879 0,1323 0,3125 4 0 0 0,0005 0,0064 0,0146 0,0284 0,1563 5 0 0 0 0,0003 0,001 0,0024 0,0313 6 0 0,9415 0,7351 0,5314 0,2621 0,178 0,1176 0,0156 1 0,0571 0,2321 0,3543 0,3932 0,356 0,3025 0,0938 2 0,0014 0,0305 0,0984 0,2458 0,2966 0,3241 0,2344 3 0 0,0021 0,0146 0,0819 0,1318 0,1852 0,3125 4 0 0,0001 0,0012 0,0154 0,033 0,0595 0,2344 5 0 0 0,0001 0,0015 0,0044 0,0102 0,0938 6 0 0 0 0,0001 0,0002 0,0007 0,0156 7 0 0,9321 0,6983 0,4783 0,2097 0,1335 0,0824 0,0078 1 0,0659 0,2573 0,372 0,367 0,3115 0,2471 0,0547 2 0,002 0,0406 0,124 0,2753 0,3115 0,3177 0,1641 3 0 0,0036 0,023 0,1147 0,173 0,2269 0,2734 4 0 0,0002 0,0026 0,0287 0,0577 0,0972 0,2734 5 0 0 0,0002 0,0043 0,0115 0,025 0,1641 6 0 0 0 0,0004 0,0013 0,0036 0,0547 7 0 0 0 0 0,0001 0,0002 0,0078

Binomialverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion) n x p= 0,01 ... 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,5 8 0 0,9227 0,6634 0,4305 0,1678 0,1001 0,0576 0,0039 1 0,0746 0,2793 0,3826 0,3355 0,267 0,1977 0,0313 2 0,0026 0,0515 0,1488 0,2936 0,3115 0,2965 0,1094 3 0,0001 0,0054 0,0331 0,1468 0,2076 0,2541 0,2188 4 0 0,0004 0,0046 0,0459 0,0865 0,1361 0,2734 5 0 0 0,0004 0,0092 0,0231 0,0467 0,2188 6 0 0 0 0,0011 0,0038 0,01 0,1094 7 0 0 0 0,0001 0,0004 0,0012 0,0313 8 0 0 0 0 0 0,0001 0,0039 9 0 0,9135 0,6302 0,3874 0,1342 0,0751 0,0404 0,002 1 0,083 0,2985 0,3874 0,302 0,2253 0,1556 0,0176 2 0,0034 0,0629 0,1722 0,302 0,3003 0,2668 0,0703 3 0,0001 0,0077 0,0446 0,1762 0,2336 0,2668 0,1641 4 0 0,0006 0,0074 0,0661 0,1168 0,1715 0,2461 5 0 0 0,0008 0,0165 0,0389 0,0735 0,2461 6 0 0 0,0001 0,0028 0,0087 0,021 0,1641 7 0 0 0 0,0003 0,0012 0,0039 0,0703 8 0 0 0 0 0,0001 0,0004 0,0176 9 0 0 0 0 0 0 0,002 10 0 0,9044 0,5987 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0,001 1 0,0914 0,3151 0,3874 0,2684 0,1877 0,1211 0,0098 2 0,0042 0,0746 0,1937 0,302 0,2816 0,2335 0,0439 3 0,0001 0,0105 0,0574 0,2013 0,2503 0,2668 0,1172 4 0 0,001 0,0112 0,0881 0,146 0,2001 0,2051 5 0 0,0001 0,0015 0,0264 0,0584 0,1029 0,2461 6 0 0 0,0001 0,0055 0,0162 0,0368 0,2051 7 0 0 0 0,0008 0,0031 0,009 0,1172 8 0 0 0 0,0001 0,0004 0,0014 0,0439 9 0 0 0 0 0 0,0001 0,0098 10 0 0 0 0 0 0 0,001

Weitere Werte können mittels =BINOMVERT(x;n;p;0) bei Tabellenkalkulationsprogrammen

oder der R-Funktion dbinom(x, n , p) bestimmt werden

Standard-Normalverteilung (Verteilungsfunktion) ${\varphi }_x(z)$ z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5 0,504 0,508 0,512 0,516 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,591 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,648 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,67 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,695 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,719 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,758 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,791 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,834 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,877 0,879 0,881 0,883 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,898 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,937 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,975 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,983 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,985 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,989 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,992 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,994 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,996 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,997 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,998 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,999 0,999 3,1 0,999 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

Zur Bildung von z ist der Wert von linker Spalte und oberer Zeile zu addieren.

Ablesebeispiel: ${\varphi }_x(1,75)=0,9599$

weitere Werte: =NORM.S.VERT(z;WAHR) bzw. (R-Aufruf): pnorm(z)

${\chi }^2$-Verteilung (Quantile) n p= 0,005 ... 0,01 ... 0,025 0,05 0,1 0,5 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,455 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 1,386 4,605 5,991 7,378 9,21 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 2,366 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 3,357 7,779 9,488 11,143 13,277 14,86 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,61 4,351 9,236 11,07 12,833 15,086 16,75 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 5,348 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,69 2,167 2,833 6,346 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,18 2,733 3,49 7,344 13,362 15,507 17,535 20,09 21,955 9 1,735 2,088 2,7 3,325 4,168 8,343 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,94 4,865 9,342 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 10,341 17,275 19,675 21,92 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 11,34 18,549 21,026 23,337 26,217 28,3 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 12,34 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,66 5,629 6,571 7,79 13,339 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 14,339 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 15,338 23,542 26,296 28,845 32 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 16,338 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,39 10,865 17,338 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 18,338 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,26 9,591 10,851 12,443 19,337 28,412 31,41 34,17 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,24 20,337 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 21,337 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,26 10,196 11,689 13,091 14,848 22,337 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 23,337 33,196 36,415 39,364 42,98 45,559 25 10,52 11,524 13,12 14,611 16,473 24,337 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,16 12,198 13,844 15,379 17,292 25,336 35,563 38,885 41,923 45,642 48,29 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 26,336 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 27,336 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 28,336 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 29,336 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 31 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 30,336 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003 32 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 31,336 42,585 46,194 49,48 53,486 56,328 33 15,815 17,074 19,047 20,867 23,11 32,336 43,745 47,4 50,725 54,776 57,648 34 16,501 17,789 19,806 21,664 23,952 33,336 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964 35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 34,336 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 35,336 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581 37 18,586 19,96 22,106 24,075 26,492 36,336 48,363 52,192 55,668 59,893 62,883 38 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 37,335 49,513 53,384 56,896 61,162 64,181 39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 38,335 50,66 54,572 58,12 62,428 65,476 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 39,335 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766

p = 1−α

weitere Werte: =CHIQU.INV(n;p) bzw. (R-Aufruf): qchisq(p,n)

Kritische Werte für den Kolmogorov-Smirnov- (KS-) Anpassungstest n D0,20 D0,10 D0,05 D0,02 D0,01 D0,005 1 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,9975 2 0,68377 0,77638 0,84187 0,89998 0,92925 0,94995 3 0,56481 0,63604 0,70758 0,78452 0,82895 0,86419 4 0,49265 0,56521 0,62392 0,68884 0,73417 0,77628 5 0,44697 0,50944 0,56326 0,62715 0,66848 0,70533 6 0,41035 0,46799 0,51925 0,57738 0,61655 0,65277 7 0,38145 0,43606 0,48341 0,53841 0,57576 0,60966 8 0,35828 0,40962 0,45426 0,50652 0,54174 0,5742 9 0,33907 0,38746 0,43 0,47957 0,51327 0,54435 10 0,32257 0,36866 0,40924 0,4566 0,48889 0,51864 11 0,30825 0,35241 0,39121 0,43668 0,46766 0,49631 12 0,29573 0,33814 0,37542 0,41916 0,449 0,47664 13 0,28466 0,32548 0,36142 0,4036 0,43243 0,45914 14 0,27477 0,31416 0,34889 0,38968 0,41758 0,44345 15 0,26585 0,30397 0,33759 0,37711 0,40416 0,42927 16 0,25774 0,29471 0,32733 0,36569 0,39197 0,41637 17 0,25035 0,28626 0,31796 0,35526 0,38083 0,40458 18 0,24356 0,2785 0,30935 0,34568 0,37059 0,39374 19 0,23731 0,27135 0,30142 0,33684 0,36114 0,38373 20 0,23152 0,26473 0,29407 0,32864 0,35238 0,37445 21 0,22614 0,25857 0,28724 0,32103 0,34423 0,36582 22 0,22111 0,25283 0,28086 0,31392 0,33663 0,35776 23 0,21642 0,24746 0,2749 0,30727 0,32951 0,35021 24 0,21201 0,24241 0,2693 0,30102 0,32283 0,34313 25 0,20786 0,23767 0,26404 0,29515 0,31654 0,33646 26 0,20396 0,2332 0,25907 0,28961 0,3106 0,33016 27 0,20026 0,22897 0,25437 0,28437 0,30499 0,32421 28 0,19676 0,22497 0,24993 0,2794 0,29968 0,31857 29 0,19344 0,22117 0,24571 0,27469 0,29463 0,31322 30 0,19029 0,21756 0,2417 0,27021 0,28984 0,30813 31 0,18728 0,21412 0,23788 0,26595 0,28527 0,30328 32 0,18442 0,21084 0,23424 0,26188 0,28091 0,29865 33 0,18168 0,20771 0,23076 0,25799 0,27675 0,29423 34 0,17906 0,20471 0,22743 0,25428 0,27276 0,29 35 0,17655 0,20184 0,22424 0,25072 0,26895 0,28595

Für $n>35$ kann näherungsweise die Formel $d_{\alpha }=\frac{\sqrt{\ln \left(\frac{2}{\alpha }\right)}}{\sqrt{2n}}$ verwendet werden.

Werte berechnet nach George Marsaglia et al. “Evaluating Kolmogorov’s Distribution”. Journal of Statistical Software, 8(18):1-4, Nov 2003.

F-Verteilung (rechtsseitige Quantile) n1 p n2= 1 n2= 2 ... 3 4 5 6 7 8 9 1 0,950 0,975 0,990 0,995 161,45 647,79 4052,2 16211 18,513 38,506 98,503 198,5 10,128 17,443 34,116 55,552 7,709 12,218 21,198 31,333 6,608 10,007 16,258 22,785 5,987 8,813 13,745 18,635 5,591 8,073 12,246 16,236 5,318 7,571 11,259 14,688 5,117 7,209 10,561 13,614 2 0,950 0,975 0,990 0,995 199,5 799,5 4999,5 20000 19 39 99 199 9,552 16,044 30,817 49,8 6,944 10,649 18 26,284 5,786 8,434 13,274 18,314 5,143 7,26 10,925 14,544 4,737 6,542 9,547 12,404 4,459 6,059 8,649 11,042 4,256 5,715 8,022 10,107 3 0,950 0,975 0,990 0,995 215,71 864,16 5403,4 21615 19,164 39,165 99,166 199,17 9,277 15,439 29,457 47,467 6,591 9,979 16,694 24,259 5,409 7,764 12,06 16,53 4,757 6,599 9,78 12,917 4,347 5,89 8,451 10,882 4,066 5,416 7,591 9,596 3,863 5,078 6,992 8,717 4 0,950 0,975 0,990 0,995 224,58 899,58 5624,6 22500 19,296 39,298 99,299 199,3 8,941 14,735 27,911 44,838 6,094 9,074 14,976 21,622 4,818 6,757 10,289 13,961 4,099 5,523 7,976 10,391 3,637 4,761 6,62 8,38 3,313 4,243 5,734 7,104 3,073 3,868 5,111 6,227 5 0,950 0,975 0,990 0,995 230,16 921,85 5763,6 23056 19,296 39,298 99,299 199,3 9,013 14,885 28,237 45,392 6,256 9,364 15,522 22,456 5,05 7,146 10,967 14,94 4,387 5,988 8,746 11,464 3,972 5,285 7,46 9,522 3,687 4,817 6,632 8,302 3,482 4,484 6,057 7,471 6 0,950 0,975 0,990 0,995 233,99 937,11 5859 23437 19,33 39,331 99,333 199,33 8,941 14,735 27,911 44,838 6,163 9,197 15,207 21,975 4,95 6,978 10,672 14,513 4,284 5,82 8,466 11,073 3,866 5,119 7,191 9,155 3,581 4,652 6,371 7,952 3,374 4,32 5,802 7,134 7 0,950 0,975 0,990 0,995 236,77 948,22 5928,4 23715 19,353 39,355 99,356 199,36 8,887 14,624 27,672 44,434 6,094 9,074 14,976 21,622 4,876 6,853 10,456 14,2 4,207 5,695 8,26 10,786 3,787 4,995 6,993 8,885 3,5 4,529 6,178 7,694 3,293 4,197 5,613 6,885 8 0,950 0,975 0,990 0,995 238,88 956,66 5981,1 23925 19,371 39,373 99,374 199,37 8,845 14,54 27,489 44,126 6,041 8,98 14,799 21,352 4,818 6,757 10,289 13,961 4,147 5,6 8,102 10,566 3,726 4,899 6,84 8,678 3,438 4,433 6,029 7,496 3,23 4,102 5,467 6,693 9 0,950 0,975 0,990 0,995 240,54 963,28 6022,5 24091 19,385 39,387 99,388 199,39 8,812 14,473 27,345 43,882 5,999 8,905 14,659 21,139 4,772 6,681 10,158 13,772 4,099 5,523 7,976 10,391 3,677 4,823 6,719 8,514 3,388 4,357 5,911 7,339 3,179 4,026 5,351 6,541 10 0,950 0,975 0,990 0,995 241,88 968,63 6055,8 24224 19,396 39,398 99,399 199,4 8,786 14,419 27,229 43,686 5,964 8,844 14,546 20,967 4,735 6,619 10,051 13,618 4,06 5,461 7,874 10,25 3,637 4,761 6,62 8,38 3,347 4,295 5,814 7,211 3,137 3,964 5,257 6,417 11 0,950 0,975 0,990 0,995 242,98 973,03 6083,3 24334 19,405 39,407 99,408 199,41 8,763 14,374 27,133 43,524 5,936 8,794 14,452 20,824 4,704 6,568 9,963 13,491 4,027 5,41 7,79 10,133 3,603 4,709 6,538 8,27 3,313 4,243 5,734 7,104 3,102 3,912 5,178 6,314

F-Verteilung (rechtsseitige Quantile) n1 p n2= 1 n2= 2 ... 3 4 5 6 7 8 9 12 0,950 0,975 0,990 0,995 243,91 976,71 6106,3 24426 19,413 39,415 99,416 199,42 8,745 14,337 27,052 43,387 5,912 8,751 14,374 20,705 4,678 6,525 9,888 13,384 4 5,366 7,718 10,034 3,575 4,666 6,469 8,176 3,284 4,2 5,667 7,015 3,073 3,868 5,111 6,227 13 0,950 0,975 0,990 0,995 244,69 979,84 6125,9 24505 19,419 39,421 99,422 199,42 8,729 14,304 26,983 43,271 5,891 8,715 14,307 20,603 4,655 6,488 9,825 13,293 3,976 5,329 7,657 9,95 3,55 4,628 6,41 8,097 3,259 4,162 5,609 6,938 3,048 3,831 5,055 6,153 14 0,950 0,975 0,990 0,995 245,36 982,53 6142,7 24572 19,424 39,427 99,428 199,43 8,715 14,277 26,924 43,172 5,873 8,684 14,249 20,515 4,636 6,456 9,77 13,215 3,956 5,297 7,605 9,877 3,529 4,596 6,359 8,028 3,237 4,13 5,559 6,872 3,025 3,798 5,005 6,089 15 0,950 0,975 0,990 0,995 245,95 984,87 6157,3 24630 19,429 39,431 99,433 199,43 8,703 14,253 26,872 43,085 5,858 8,657 14,198 20,438 4,619 6,428 9,722 13,146 3,938 5,269 7,559 9,814 3,511 4,568 6,314 7,968 3,218 4,101 5,515 6,814 3,006 3,769 4,962 6,032 20 0,950 0,975 0,990 0,995 248,01 993,1 6208,7 24836 19,446 39,448 99,449 199,45 8,66 14,167 26,69 42,778 5,803 8,56 14,02 20,167 4,558 6,329 9,553 12,903 3,874 5,168 7,396 9,589 3,445 4,467 6,155 7,754 3,15 3,999 5,359 6,608 2,936 3,667 4,808 5,832 40 0,950 0,975 0,990 0,995 251,14 1005,6 6286,8 25148 19,471 39,473 99,474 199,47 8,594 14,037 26,411 42,308 5,717 8,411 13,745 19,752 4,464 6,175 9,291 12,53 3,774 5,012 7,143 9,241 3,34 4,309 5,908 7,422 3,043 3,84 5,116 6,288 2,826 3,505 4,567 5,519 50 0,950 0,975 0,990 0,995 251,77 1008,1 6302,5 25211 19,476 39,478 99,479 199,48 8,581 14,01 26,354 42,213 5,699 8,381 13,69 19,667 4,444 6,144 9,238 12,454 3,754 4,98 7,091 9,17 3,319 4,276 5,858 7,354 3,02 3,807 5,065 6,222 2,803 3,472 4,517 5,454 75 0,950 0,975 0,990 0,995 252,62 1011,5 6323,6 25295 19,482 39,485 99,486 199,49 8,563 13,974 26,278 42,086 5,676 8,34 13,615 19,554 4,418 6,101 9,166 12,351 3,726 4,937 7,022 9,074 3,29 4,232 5,789 7,263 2,99 3,762 4,998 6,133 2,771 3,426 4,449 5,367 100 0,950 0,975 0,990 0,995 253,04 1013,2 6334,1 25337 19,486 39,488 99,489 199,49 8,554 13,956 26,24 42,022 5,664 8,319 13,577 19,497 4,405 6,08 9,13 12,3 3,712 4,915 6,987 9,026 3,275 4,21 5,755 7,217 2,975 3,739 4,963 6,088 2,756 3,403 4,415 5,322 150 0,950 0,975 0,990 0,995 253,46 1014,9 6344,7 25380 19,489 39,491 99,492 199,49 8,545 13,938 26,202 41,957 5,652 8,299 13,539 19,44 4,392 6,059 9,094 12,248 3,698 4,893 6,951 8,977 3,26 4,188 5,72 7,17 2,959 3,716 4,929 6,042 2,739 3,38 4,38 5,278

p = 1−α

weitere Werte: =F.INV(p;n1;n2) bzw. (R-Aufruf): qf(p,n1,n2)

t-(Student-)Verteilung (Quantile) n p= 0,75 ... 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 0,9999 1 1,00 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,31 636,62 3183,1 2 0,816 1,886 2,92 4,303 6,965 9,925 22,327 31,599 70,700 3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12,924 22,204 4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8,61 13,034 5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,869 9,678 6 0,718 1,44 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,959 8,025 7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5,408 7,063 8 0,706 1,397 1,86 2,306 2,896 3,355 4,501 5,041 6,442 9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,25 4,297 4,781 6,01 10 0,7 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,587 5,694 11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,437 5,453 12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,93 4,318 5,263 13 0,694 1,35 1,771 2,16 2,65 3,012 3,852 4,221 5,111 14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,14 4,985 15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,073 4,88 16 0,69 1,337 1,746 2,12 2,583 2,921 3,686 4,015 4,791 17 0,689 1,333 1,74 2,11 2,567 2,898 3,646 3,965 4,714 18 0,688 1,33 1,734 2,101 2,552 2,878 3,61 3,922 4,648 19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,883 4,59 20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,85 4,539 21 0,686 1,323 1,721 2,08 2,518 2,831 3,527 3,819 4,493 22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,792 4,452 23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,5 2,807 3,485 3,768 4,415 24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,745 4,382 25 0,684 1,316 1,708 2,06 2,485 2,787 3,45 3,725 4,352 26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,707 4,324 27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,69 4,299 28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,674 4,275 29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,659 4,254 30 0,683 1,31 1,697 2,042 2,457 2,75 3,385 3,646 4,234 31 0,682 1,309 1,696 2,04 2,453 2,744 3,375 3,633 4,216 32 0,682 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,365 3,622 4,198 33 0,682 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,356 3,611 4,182 34 0,682 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,348 3,601 4,167 35 0,682 1,306 1,69 2,03 2,438 2,724 3,34 3,591 4,153 37 0,681 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,326 3,574 4,127 38 0,681 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,319 3,566 4,116 39 0,681 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,313 3,558 4,105 40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,551 4,094

p = 1−α

weitere Werte: =T.INV(p ;n) bzw. (R-Aufruf): qt(p ,n)