Formelsammlung Statistik/ Hypothesentests

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Vorgehen beim Hypothesentest[Bearbeiten]

I. Feststellung der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit

II. Aufstellen der Nullhypothese

III. Festlegen der Testfunktion T

IV. Festlegen des Annahmebereichs ("Nichtablehnungsbereichs") (für ein zu bestimmendes Signifikanzniveau)


Fällt die Prüfgröße in den Bereich [u; o],

wird H0 nicht abgelehnt. Es soll sein

(beachte: ein- oder zweiseitig)

α : Signifikanzniveau oder α-Fehler


V. Stichprobe erheben

VI. Entscheidung treffen


H0 ist wirklich wahr H1 ist wirklich wahr
H0 wird beibehalten richtige Entscheidung (1-α) Fehler 2. Art (β-Fehler)
H1 wird angenommen Fehler 1. Art (α-Fehler) richtige Entscheidung (1-β)

Tests auf Lageparameter (Erwartungswert, Median, Anteilswert)[Bearbeiten]

Test auf Erwartungswert[Bearbeiten]

Test
zweiseitig μ = μ0 μ ≠ μ0
rechtsseitig μ ≤ μ0 μ > μ0
linksseitig μ ≥ μ0 μ < μ0


1. X ist normalverteilt, σ ist bekannt bei beliebigem n bzw. näherungsweise normalverteilt bei n > 30

Testfunktion
(Gauß-Test):
Ablehnungsbereich
zweiseitig  
rechtsseitig  
linksseitig  

2. X ist normalverteilt, σ ist unbekannt bei beliebigem n

Testfunktion
(t-Test).
Ablehnungsbereich
zweiseitig  
rechtsseitig  
linksseitig  

3. X ist näherungsweise normalverteilt, σ ist unbekannt bei n > 30

Testfunktion
(Gauß-Test) .
Ablehnungsbereich
zweiseitig  
rechtsseitig  
linksseitig  

Vorzeichentest[Bearbeiten]

Einstichprobenproblem[Bearbeiten]

Einseitig Zweiseitig

Die Stichprobenwerte, die größer als der hypothetische Median sind, bekommen ein "+" zugeordnet;

Werte, die kleiner sind, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt und dient als Teststatistik.

Zweistichprobenproblem[Bearbeiten]

Die Beobachtungspaare dürfen nicht voneinander abhängen, d.h. das Wertepaar muss unabhängig

vom Wertepaar sein.

Besitzen beide Grundgesamtheiten den gleichen Median, gilt .

Folgende Hypothesen können mit dem Vorzeichentest geprüft werden:

Einseitig Zweiseitig

Die Wertepaare der Stichproben, bei denen gilt, bekommen ein "+" zugeordnet;


Wertepaare, für die gilt, ein "-". Die Anzahl der positiven Vorzeichen wird gezählt

und dient als Teststatistik. Die Teststatistik entspricht der Anzahl der positiven Vergleiche (Differenzen der Werte bzw. Ränge):

mit

Für das Einstichprobenproblem sind die Werte der zweiten Stichprobe durch den hypothetischen Median zu ersetzen.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist die Summe der positiven Differenzen binomialverteilt mit ,

da der Median dem 50 %-Quantil entspricht. n' bezeichnet den nach Behandlung von Ties (Nulldifferenzen, Rangbindungen, s.u.)

verbleibenden Stichprobenumfang. Bei Gültigkeit der Nullyhypothese ist die Verteilung der Prüfgröße symmetrisch.

Approximation durch die Normalverteilung

Mit nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung mit ,

als Faustregel ().

Mit bzw. ist die z-standardisierte Größe

näherungsweise standardnormalverteilt.

Bindungen (Nulldifferenzen) Sind im Zweistichprobenproblem die Werte von Beobachtungen von der ersten zur zweiten Stichprobe unverändert

oder im Einstichprobenproblem einige Werte gleich dem Median, ergeben sich Nulldifferenzen bzw. Bindungen (Ties),

die man so behandeln kann:

  • Beobachtungen mit Rangbindungen werden eliminiert, d.h. der Stichprobenumfang wird reduziert.
  • Die Beobachtungen werden zu gleichen Teilen den Gruppen zugeordnet. Bei ungerader Anzahl von Bindungen wird ein Beobachtungspaar eliminiert.
  • Die Beobachtungen werden jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 einer der beiden Gruppen (+ oder -) zugeordnet.


Test auf Anteilswert (Binomialtest)[Bearbeiten]

Der Anteilswert θ wird geschätzt durch

.

Mit dem Binomialtest können folgende Hypothesenpaare für θ getestet werden:

Test
zweiseitig
rechtsseitig
linksseitig


für n > 30 , nθ0 ≥ 10 n(1-θ0) ≥ 10
kann man durch die Gauß-Verteilung approximieren:
Testfunktion
(Gauß-Test) .
Ablehnungsbereich
zweiseitig  
rechtsseitig  
linksseitig  
für n < 30 oder nθ0 < 10 oder n(1-θ0) < 10
ist der exakte Binomialtest anzuwenden:
Testfunktion

Die Teststatistik gibt an, wie oft das Merkmal in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang aufgetreten ist.

Unter der Nullhypothese ist die Teststatistik -verteilt, das heißt

.
Ablehnungsbereich

Teststatistik für den Binomialtest, die roten Balken gehören zum kritischen Bereich.

Da die Teststatistik diskret verteilt ist, kann das vorgegebene Signifikanzniveau in der Regel nicht eingehalten werden.

Daher wird gefordert, die kritischen Werte so zu wählen, dass für ein möglichst großes exaktes Signifikanzniveau gilt .

Für den zweiseitigen Test werden daher als kritische Werte das größte und das kleinste bestimmt, für die gilt

  • und
  • .

Das exakte Signifikanzniveau ergibt sich als

.

Für die beiden einseitigen Tests wird analog verfahren.

Test Kritische Werte Kritischer Bereich Grenze(n)
zweiseitig   und
rechtsseitig   c = kleinster Wert, für den
linksseitig c = größter Wert, für den

Tests auf Streuung[Bearbeiten]

Test auf Varianz[Bearbeiten]

Test
zweiseitig  
rechtsseitig    
linksseitig    


1. X ist normalverteilt, μ ist unbekannt, n beliebig

Testfunktion
Ablehnungsbereich
zweiseitig   oder
rechtsseitig  
linksseitig  

2. X ist normalverteilt, μ ist bekannt, n beliebig

Testfunktion
Ablehnungsbereich
zweiseitig   oder
rechtsseitig  
linksseitig  

Tests auf Zusammenhangs- und Assoziationsparameter[Bearbeiten]

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest[Bearbeiten]

Nullhypothese
: Die Merkmale und sind stochastisch unabhängig.

Die Beobachtungen der Merkmale und liegen paarweise in bzw. Klassen vor.

Es gibt insgesamt paarweise Beobachtungen von und , die sich auf Kategorien verteilen. Aufstellung z. B. in einer Häufigkeitstabelle:
Merkmal Summe Σ
Merkmal 1 2 k r nj.
1 n11 n12 ... n1k ... n1r n1.
2 n21 n22 n2k n2r n2.
j njk nj.
m nm1 nm2 nmk nmr nm.
Summe Σ n.1 n.2 n.k n.r n

Absolute Randhäufigkeiten bzw.

und


Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest:

Mit :

wird abgelehnt, wenn ist.

Anpassungs- oder Verteilungstests[Bearbeiten]

Chi-Quadrat-Anpassungs- oder Verteilungstest[Bearbeiten]

Die Wahrscheinlichkeiten eines Merkmals seien in der Grundgesamtheit unbekannt.

Nullhypothese: : Das Merkmal besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für unabhängige Beobachtungen des Merkmals wird die Zahl

der Beobachtungen in der -ten Klasse ist die beobachtete Häufigkeit .

Im Vergleich dazu wird die hypothetische Verteilung bestimmt aufgrund der Wahrscheinlichkeit ,

dass eine Ausprägung von in die Kategorie fällt. Die unter zu erwartende Häufigkeit ist:

Die Prüfgröße (Größe der Abweichung)

ist bei ausreichend großen annähernd chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden.

wird abgelehnt, wenn gilt.


Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest[Bearbeiten]

Test auf Übereinstimmung zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Man betrachtet ein statistisches Merkmal X, dessen Verteilung in der Grundgesamtheit unbekannt ist.

(Die Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung F0.)
(Die Zufallsvariable X besitzt eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung als F0.)

Der Kolmogorow-Smirnow-Test vergleicht die empirische Verteilungsfunktion mit mittels der Teststatistik

(sup: Supremum)

Die Teststatistik ist unabhängig von der hypothetischen Verteilung F0.

Ist der Wert der Teststatistik größer als der entsprechende tabellierte kritische Wert, so wird die Nullhypothese verworfen.

Einstichprobenproblem[Bearbeiten]

Von einer reellen Zufallsvariablen liegen aufsteigend sortierte Beobachtungswerte () vor.

Von diesen Beobachtungen wird die relative Summenhäufigkeit mit der entsprechenden hypothetischen

Verteilung der Grundgesamtheit F0(xi) verglichen. Voraussetzung: ist stetig.

Für jedes werden die absoluten Differenzen

und :

berechnet, wobei gesetzt wird. Wenn die größte Differenz aus allen Differenzen ,

einen kritischen Wert übersteigt, wird die Hypothese abgelehnt.

Bis n=40 greift man auf Tabellen zurück (s. Anhang). Für größere werden sie über angenähert.


Zweistichprobenproblem[Bearbeiten]

Liegt nun zusätzlich zur Zufallsvariablen eine entsprechende Zufallsvariable vor (mit geordneten Werten ),

so kann durch den Zweistichprobentest überprüft werden, ob und derselben Verteilungsfunktion folgen.

Von beiden Beobachtungen werden die die Differenzen der relativen Summenfunktionen bzw. ermittelt:

und  : .


Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls den kritischen Wert überschreitet.

Für kleine Werte von und greift man auf Tabellen zurück.

Für große Werte von n und m wird die Nullhypothese abgelehnt, falls

,

wobei für große und näherungsweise als berechnet werden kann.