Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Mengenlehre und DE MORGANsche Regeln[Bearbeiten]

und

Kombinatorik[Bearbeiten]

Fakultät[Bearbeiten]

Binomialkoeffizient[Bearbeiten]

Zufallsstichproben[Bearbeiten]

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

Ohne Zurücklegen Mit Zurücklegen
Mit      
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge      

Definition der Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)

Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):

Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

  1. Nichtnegativität
  2. Normiertheit
  3. falls A und B disjunkt sind.

Additionssatz[Bearbeiten]

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

Bedingte Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Unabhängigkeit von Ereignissen[Bearbeiten]

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

Totale Wahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Sei A1 ...Ak eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

.

BAYES Theorem[Bearbeiten]

Für zwei Ereignisse und mit lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

unter der Bedingung, dass eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

unter der Bedingung, dass eingetreten ist:

.

Hierbei ist

die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und
die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses .


Endlich viele Ereignisse:

Wenn eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit

.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.


Da ein Ereignis und sein Komplement stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

.