Formelsammlung Statistik/ Zeitreihenanalyse

Komponentenunterteilung bei Zeitreihen

Mögliche Aufteilung einer Zeitreihe in Komponenten:

• Trend Q
• Konjunkturelle Schwankung K
• Saisonale Schwankung S
• Restschwankung r

Bei Unabhängigkeit dieser Komponenten kann man ein additives Modell annehmen:

$y=Q+K+S+r$

Nehmen beispielsweise zyklische Schwankungen mit steigendem Trend zu, könnte ein multiplikatives Modell

$y_{t}=Q_{t}\cdot K_{t}\cdot r_{t}$

angebracht sein. Variablentransformation durch Logarithmieren

$\log y_{t}=\log Q_{t}+\log S_{t}+\log r_{t}$

Schätzung des Trends durch Regression

‘‘‘Regressionsmodell‘‘‘

${\hat {y}}_{t}=a+bt$ bzw. $y_{t}=a+bt+d_{t}$ $(t=1,2,\dots ,T;y_{t}=y_{1},y_{2},\dots ,y_{T})$

mit den Lösungen

$b={\frac {\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})(y_{t}-{\overline {y}})}{\sum _{t=1}^{T}(t-{\overline {t}})^{2}}}$

$={\frac {\sum _{t=1}^{T}t\cdot y_{t}-T\cdot {\overline {t}}\cdot {\overline {y}}}{\sum _{t=1}^{T}t^{2}-T\cdot {\overline {t}}^{2}}}$

$={\frac {\sum _{t=1}^{T}ty_{t}-{\frac {T(T+1)}{2}}{\overline {y}}}{{\frac {1}{12}}(T^{3}-T)}}$

und

$a={\overline {y}}-b\cdot {\overline {t}}$

$={\overline {y}}-b\cdot {\frac {T+1}{2}}$ .

Die Trendwerte Q_t sind dann

$Q_{t}={\hat {y}}_{t}=a+bt$.

Nichtlinearer Trendverlauf: Lösung über Variablentransformation oder Anwendung eines nichtlinearen Regressionsansatzes

Schätzung der Saisonkomponente

Additives Modell

$y_{t}=Q_{t}+S_{t}+r_{t}$

Nach Schätzung der Trendkomponente Q_t bleibt noch die Abweichung

$d_{t}=y_{t}-Q_{t}$

und

$d_{t}=S_{t}+r_{t}$

d_t: trendbereinigter Zeitreihenwert

Bestimmung der saisonalen Komponente S_t über Fourieranalyse oder (einfacher)

Bildung des arithmetischen Durchschnitts aller Werte d_t, die die gleiche Saison betreffen,

als Schätzung für die saisonale Komponente. Dann bleibt die nichterklärte Restschwankung

$r_{t}=y_{t}-Q_{t}-S_{t}$

Prognose für den Zeitpunkt T+k (mit S_t als Wert in der Saison T+k)

${\hat {y}}_{T+k}=Q_{T+k}+S_{T+k},$

 

Schätzung der glatten Komponente mit gleitenden Mittelwerten

Lässt sich die Trendkomponente des Zeitreihenmodells offensichtlich durch keine funktionale lineare oder

nichtlineare Beziehung darstellen, kann man eine glatte Komponente mit Hilfe gleitender Mittelwerte bestimmen.

einfacher gleitender Mittelwert

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung:

$Y_{k}={\frac {1}{3}}\cdot (Y_{k-1}+Y_{k}+Y_{k+1})={\frac {1}{3}}\sum _{i=k-1}^{k+1}Y_{i}$

Die Ordnung des Mittelwerts sollte so gewählt werden, daß möglichst genau eine Periode umfasst wird.

Zur Prognose über den Beobachtungszeitraum hinaus sind gleitende Mittelwerte bedingt geeignet,

da die Randwerte der Zeitreihe nicht geschätzt werden.

gewichteter gleitender Mittelwert

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung mit z.B. $w_{1}={\frac {1}{4}},w_{2}={\frac {1}{2}},w_{1}={\frac {1}{2}},\sum _{i}w_{i}=1$

$Y_{k}=w_{1}\cdot Y_{k-1}+w_{2}\cdot Y_{k}+w_{3}\cdot Y_{k+1}$

Exponentielle Glättung

Gewichtung durch den Glättungsfaktor $\alpha$ mit $0\leq \alpha \leq 1$:

Geglätteter Schätzwert y*_t als gewichteter Durchschnitt aus dem aktuellen Zeitreihenwert y_t

und dem Schätzwert der Vorperiode y*_t-1 (y*₀ geeignet wählen):

$y_{t}^{*}=\alpha \cdot y_{t}+(1-\alpha )\cdot y_{t-1}^{*}\;.$

Auflösung der Rekursivität:

$y_{t}^{*}=\alpha y_{t}+\alpha (1-\alpha )y_{t-1}+\alpha (1-\alpha )^{2}y_{t-2}+...+\alpha (1-\alpha )^{t-1}y_{1}+(1-\alpha )^{t}y_{0}\;.$

Für die Wahl des Glättungsfaktors wird häufig 0,2 bis 0,3 empfohlen. Man kann aber auch mit Hilfe der Regressionsanalyse den Glättungsfaktor schätzen.

Exponentielle Glättung bei trendbehafteten Werten

Bei Trend werden die Zeitreihenwerte systematisch unter- bzw. überschätzt. Abhilfe bieten ggf. gleitende Durchschnitte zweiter Ordung.

Die bereits einmal geglätteten Werte erneut einer Glättung unterzogen. Man erhält den Schätzwert $y^{**}$, der sich analog zu oben berechnet aus

$y_{t}^{**}=\alpha \cdot y_{t}^{*}+(1-\alpha )\cdot y_{t-1}^{**}$

Für einen brauchbaren Prognosewert für Periode t+1 muss man dann bestimmen

${\widehat {y}}_{t+1}=2\cdot y_{t}^{*}-y_{t-1}^{**}$ .