Gödel

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Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘

לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)

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Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL (1906-1978) hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die „Rede von GOTT“ auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, »rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)«. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, (als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang), dass es GOTT gibt : d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, (im Möglichkeitsbeweis), überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein „Existenz-Beweis" für den GOTT der Bibel. GÖDEL beweist aber mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, »die theologische Weltanschauung«, (d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS), mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar« (d.h. logisch ,richtig‘) ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. (Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)

Entsprechend der »theologischen Weltanschauung« ist GOTT der Größte, »über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann« (ANSELM); bzw. »GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt« (LEIBNIZ), und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen seine Axiomen und Definitionen, dass es zu Widersprüchen führt, falls ,angenommen‘ wird, dass es keinen „GOTT“, — ‚G‘ —, und nichts „Vollkommenes“ | „Perfektes“ | „Positives“, — ‚P‘ —, für die Welt gibt. Das heißt : die „Existenz GOTTES“ wird theoretisch vorausgesetzt, und sie wird dann, (wie auch schon in der Argumentation ANSELMS), aus dem Widerspruch des Gegenteils : im [ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ], im GÖDEL-System als logisch korrekt ,bewiesen‘ ( ╞ ), und ist somit mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar«.

Der Schlüsselbegriff im Kalkül

Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist „positive Eigenschaft“, bzw. „Perfektion“, „Vollkommenheit“ : — ‚P‘ — . Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. (Das heißt : — ‚P‘ — bezeichnet ein System von Objekten, hier konkret ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘ genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten.) Ein cleverer ‚Kunstgriff‘ des Ausnahme-Logiker Kurt GÖDEL ! In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt er jedoch — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes (und auch für das Kalkül selbst) — eine richtungsweisende Erklärung :

»Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...«

Und er fügt in Klammer hinzu :

»...(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr.«

GÖDEL-Axiom-1 : — ‚(PX ${\color {Blue}{\dot {\lor }}}$ P¬X)‘ ↔ ‚(¬PX ↔ P¬X)‘ — :  »Entweder die Eigenschaft ‚X‘ oder ihre Negation ‚¬X‘ ist positiv«. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären : ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Einschätzung. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der »zufälligen Struktur der Welt« entnommen und treffen nicht den »moralisch ästhetischen Sinn« von »positiv« bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert :

»Vollkommenheit [ GOTTES ] nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt.«

Die Seins-Eigentümlichkeiten (Daseinsmodi, Perfektionen) wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem »moralisch ästhetischen Sinn« von »positiv« bei GÖDEL. Das sind die ‚absolut‘ positiven Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie : ‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘, usw., die an sich ohne jede Begrenzung gelten; zu finden in der ‚Via quarta‘ bei THOMAS von Aquin über die analoge Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese analoge ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit (d.h. Unvollkommenheit) im »zufälligen« ‚Sein‘ der Dinge —.

Das GÖDEL-Axiom-5 : — ‚PE_not‘ — : »Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der »zufälligen Struktur der Welt« angewendet wird, wie z. B. auf einen „Tornado“, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Das gilt für alles, was „existiert“. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn „Dasein“ (Existenz) und „Wesenseigenschaften“ (Essenz) in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind : zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition seit ARISTOTELES wird die ontologische Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem selbst ‚unbewegten‘ „Erstbewegenden“ zugeschrieben, dem „πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον“ | „prôton kinoûn akinêton“, von dem ARISTOTELES etwas später sagt : »denn dies ist der Gott« und dann hinzufügt: »so sagen wir ja«; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ benutzt; (und auch für Axiom-3 : — ‚PG‘ — : »Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES«). Die ontologische Identität von Sein und Wesen gilt nur in der unverursachten ‚Letztursache‘, auf die ARISTOTELES bei seinen Prinzipienforschungen gestoßen ist.

Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber »sind die Axiome nur dann [ in unserer ,realen‘ Welt ] wahr [ und annehmbar ]«, wenn sie »unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt [ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ] sind«. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin ,theologische‘ Interpretation seines Kalküls, mit der „Theologie“ zum Begriff GOTT als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Alle Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die ,theologische‘, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ ( ╞ ) werden muss. Das bedeutet : die Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. »unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt«.

Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuumvariable, sondern auch Eigenschaftsvariable (als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen) binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und drei Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ (├ ) abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Seine Prämisse ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle drei Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über „GOTT“, — ‚G‘ —. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem sind auch Aussagen über die Eigenschaft „Vollkommenheit“, — ‚P‘ —, die in der »theologischen Weltanschauung« als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt : — ‚PG‘ —, »GOTT ist vollkommen« bzw. »GOTT ist ,der‘ Vollkommenste«. Zwei Definitionen sind allgemeine Aussagen über Wesenseigenschaften, die GOTT zugeordnet werden. Aus dieser Aufzählung ergibt sich die Folgerung, dass die ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin ,theologisch‘ erfolgen kann. Die Evaluierung der ,mathematischen Evidenz‘ des GÖDEL-Systems muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden.

Die Genese des Kalküls

Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül ? Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ, (1704) : ‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘. Viertes Buch, Kapitel X : ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘, Seite 475f.

Hier der [ kommentierte ] Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘:

»Folgendes etwa ist der Gang seines [ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury ] Beweises : GOTT ist das Größte [ ANSELM : »das, über dem ,Größeres‘ | ‚maius‘ nicht mehr gedacht werden kann.« ] oder, wie DESCARTES es ausdrückt : das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit : [ GÖDEL : ‚P‘ := ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ], das alle Grade derselben in sich schließt. [ GÖDEL-Definition-1 : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ — : » — ,x‘ — ist genau dann GOTT, — ,G‘ —, wenn — ,x‘ — alle Vollkommenheiten, — ,P‘ —, in sich schließt.« Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ] Dies also ist der Begriff GOTTES. [ Das — ,G‘ — steht hier für den ‚Begriff‘ „GOTT“ als ,Individuumname‘ ! ] Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt. [ GÖDEL : — ‚□∃xGx‘ — : »GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘.« ] Es ist etwas mehr, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit [ GOTTES ] einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.«

(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 :  »notwendige Existenz [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] ist eine positive Eigenschaft [ alias Vollkommenheit ]«. Dem widerspricht KANT : „Existenz ist keine Eigenschaft“, bzw. „Sein ist kein reales Prädikat“. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | „ἐνέργεια οὖσα“ | ‚enérgeia ūsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | „οὐσία“ | ‚usía‘ | — genauer : ‚Wesenseigenschaften’ — ontologisch identisch sind, d.h. wenn „Existieren“ immer schon eine „Wesenseigenschaft“ ist. Was nach ARISTOTELES nur im „unbewegten Erstbeweger“ der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ : »was das Privilegium der Gottheit allein ist« ! Aus der methodologischen ,Annahme‘ — ‚Gx‘ — : »x steht für den GOTT der Christen«, und mit Hilfe von Axiom-3 : »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, bzw. »GOTT ist perfekt«, mit Axiom-4 : »Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv«, mit Definition-2 : »Zum Wesen gehören auch alle notwendigen Konsequenzen aus einer positiven Wesenseigenschaft«, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ — : »Dasein | GOTT-Sein | absolute Existenz ist das Wesen GOTTES.« Mit diesem, im Kalkül ohne Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall ‚G‘ := „GOTT“. Nachprüfbar im Anhang : im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘.)

»Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren doctor angelicus [ := THOMAS von Aquin ] auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet, [ wie später auch Immanuel KANT ], und ihn als einen Paralogismus [ := Fehlschluss ] betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis, [ den GÖDEL vervollständigt hat ], der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch [ := ◇ : ,möglich‘, ,konsistent‘; GÖDEL, aus Theorem-1 : — ‚PX→◇∃xXx‘ — : »positive Eigenschaften sind widerspruchsfrei«, mit Axiom-3 : — ‚PG‘ —, folgt Korollar-1 : — ‚◇∃xGx‘ — : »GOTT ist möglich« ]. Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist : gesetzt, dass GOTT ‚möglich‘ ist, so ‚ist‘ er [ ,notwendig‘ := □, d.h. in jeder möglichen Welt wirklich aus sich ‚da‘ ], was das Privilegium der Gottheit allein ist. [ Theorem-3 : — ‚◇∃xGx→□∃xGx‘ — := ‚ANSELMS Prinzip‘ : »Weil GOTT möglich ist, darum gibt es GOTT wirklich«; mit Korollar-3 : — ‚□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)‘ — : »Es gibt notwendig d.h. wirklich, nur einen einzigen GOTT«. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ] Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist. Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln. [ Aber nicht logisch zwingend ! Denn die Interpretation — ‚G‘ — mit dem GOTT der Bibel ist nicht zwingend, jedoch im christlichen Glaubenskontext sinnvoll und ,richtig‘; was mit einer stimmigen „theologischen“ Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit ist dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, d.h. als eine ,axiomatische‘ „Theologie“, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das — ‚G‘ — ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘.] Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer [ sic ! ] den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten, [ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen »mathematische Evidenz« man heute mit Computerprogrammen schon nachgewiesen hat ] ... «

Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer — ‚G‘ — z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die »zufällige Struktur der Welt« im ‚Urknall‘, (pantheistisch) zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte.

Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text :

»...ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig [ sic ! ], (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung, [ dass es GOTT gibt ], mit allen bekannten Tatsachen, [ d.h. mit den Maßstäben einer modernen Logik ], durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht.«

Die Interpretation des Kalküls

Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage: „Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT (als eine ‚Rede von GOTT’ := ,Theologie’) und seiner Eigenschaften verstehen ? “ — „Ist hier eine genuin ,theologische’ Interpretation möglich ? “ Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die „mathematische Evidenz“ des GÖDEL-Formalismus, (im Anhang nachgestellt), ist allgemein anerkannt, (Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome, wie GÖDEL sie konzipiert hat, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind). Die „theologische Evidenz“ des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den ,theologisch’-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie — die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT »unabhängig« von der »zufälligen« Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich in der Axiom-Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN : ‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘ in ‚Logik in der Philosophie‘ Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. (Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. : — ‚G_essx‘ — , angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS : — ,G Ess. x’ —.) Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, (besonders im Möglichkeitsbeweis), stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING : ,Der Gödelsche Gottesbeweis‘, im Web . (Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.) Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des sog. ontologischen Gottesbeweises, befinden sich in Franz SCHUPP, ,Geschichte der Philosophie im Überblick‘, Band 2 ‚Christliche Antike, Mittelalter‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170.

Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer „theologischen“ Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 : — ‚PE_not‘ —, »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«.

‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ :

»… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge [ kann man ] von einer Menge ihrer Prädikate [ d.h. Eigenschaften ] sagen … : sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung [ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten, Erscheinung ] keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen, bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es, [ das Ding ], wie es ‚an sich selbst‘ sei, [ d.h. existiert ], durch Sinne gar nicht erkennen können; [ seine Prädikate/Eigenschaften jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten, Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft, eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V. KANTS ].« (Hervorhebung durch KANT)

Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, (das ‚Ding an sich’ bei KANT), nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. (‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.) Dafür haben wir andere Fähigkeiten : Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich, auf Postkarten dargestellt, kaufen. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann.

In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen „Cogito, ergo sum“ :

»Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen : ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens, [ eine essentielle Eigenschaft ], alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen [ d.h. notwendig existierenden ] Wesen machen. [ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator : »GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz [ ‚Wesenseigenschaften‘ ] und Existenz [ ‚Dasein‘ ] nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist«, — konform mit GÖDEL :  »notwendige Existenz ist eine positive [ essentielle ] Eigenschaft« ]. Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als [ logisch ] gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch; [ und als einfache Schlussfolgerung : meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘ ].« (Aus der Anmerkung 41 zu den ‚Paralogismen der reinen Vernunft‘, in ‚Kritik der reinen Vernunft‘, Kant-Werke Band 4, Seite 355, mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.)

Mit anderen Worten : „Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“, sondern, „Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“ Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet : „Was bist du ? “/„Wer bist Du ? “ Antwort, Exodus 3,14 : »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ [ für euch und für immer ]«. Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ — hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. (In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so : GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus.)

Wie gesagt, das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen „theologischen“ Interpretation der GÖDEL-Axiomatik.

Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT

Die »mathematische Evidenz« des GÖDEL-Kalküls, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten schon festgestellt worden, (im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe). Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘„Existenz-Beweis“ für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt (theoretisch methodisch) den „Glauben an GOTTES Existenz“ schon voraus. Das „Dasein“ bzw. die „Existenz“ GOTTES wird mit der Definition-1 für — ‚Gx‘ —, bzw. mit dem Axiom-3 : — ‚PG‘ — , im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ ‚G‘ := „Göttlichkeit“ (Essenz) und das „Dasein GOTTES“, — ‚G‘ — (Existenz), ontologisch ‚identisch‘ sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt : — ‚PE_not‘ — : »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«. Das „Dasein GOTTES“ ist faktisch äquivalent zur „notwendigen Existenz als GOTT“; und „Göttlichkeit“ ist die „positive Eigenschaft in GOTT“. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe. Beides, (Essenz und Existenz GOTTES), wird daher mit demselben Term : — ‚G‘ — im Kalkül auch dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ ist zugleich mit diesem Term ‚G‘ := „GOTT“ | „göttlich“, als ,methodologische‘ Prämisse :01: — ‚Gx‘ —, im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, als ,Annahme‘ regulär ( ├ ) und explizit eingeführt, und wird dann mit Definition-1 genauer bestimmt : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ — :  » — ,x‘ — steht genau dann für ‚GOTT‘ | ‚göttlich‘ — ‚G‘ —, wenn — ,x‘ — alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten — ‚PX‘ — hat«, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. (Das ,postulierte‘ Axiom-3 : — ‚PG‘ —, wird standardmäßig gelesen als »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, hat aber auch die alternative Leseart : »GOTT ist perfekt d.h. vollkommen«, was „theologisch“ auch richtig ist; mit ‚P‘  := „Perfektion“/„Vollkommenheit“ ist dann die Summe aller „positiven Eigenschaften“.) Mit Axiom-3 — in dieser „theologischen“ Leseart — ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ : »GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist«.

In Definition-3 wird die ,für uns‘ „notwendige Existenz“ durch die ,aus sich‘ „notwendig“ — □ — instanziierten „Wesenseigenschaften“ — ‚X_ess‘ — bestimmt : — ‚E_notx ↔ ∀X(X_essx →□∃yXy)‘ —. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das Theorem des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘ von „Dasein“ (Existenz) und „Wesenseigenschaften“ (Essenz) im prinzipiell „unbewegten Erstbewegenden“ voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 : — ‚Gx→G_essx‘ — kann unter dieser Voraussetzung dann, „theologisch“ richtig und eindeutig, so gelesen werden : „Wenn — ‚x‘ — für GOTT — ‚G‘ — als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein, Dasein — ‚G‘ — (,Existenz‘) das Wesen GOTTES — _ess‚x‘ — (,Essenz‘) ”, statt der „theologisch“ unrichtigen Lesearten in der Wikipedia : »Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens«, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ : »Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität«, mit der suggestiven Annahme, es gäbe mehrere göttliche Entitäten, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem „theologischen“ Theorem der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. (Die Interpretation ‚G‘ := „GOTT“, als ,Individuumname‘, ist synonym zum „Dasein (Existenz) GOTTES“, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ „Göttlichkeit“, alias „göttlich zu sein“ = „GOTT zu sein“ = „GOTT-Sein“; und mit dem GÖDEL-Term : ‚G_ess‘ := „das Wesen (Essenz) GOTTES“.)

‚G‘ := „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“

Die Rechtfertigung für diese „theologische“ Dreifach-Äquivalenz für — ‚G‘ — im GÖDEL-Kalkül gibt Axiom-5 : — ‚PE_not‘ — : die »für uns notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft« in GOTT. Hier hat GÖDEL explizit „Eigenschaft“ mit „Existenz“ bzw. „Sein“ gleichgesetzt; (was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur »zufälligen Struktur der Welt« gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist : „Existenz ist keine Eigenschaft“, bzw. „Sein ist kein reales Prädikat“). Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelischen Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ (Essenz) „Göttlichkeit“ (ontologisch korrekt) gelesen werden als „das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“, nämlich zu seinem „GOTT-Sein“ (Existenz), zu seinem „Dasein als GOTT“; zur Tatsache, dass „GOTT GOTT ist“, d.h. dass „GOTT als GOTT ‚da‘ ist“. Das ist, (und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO), nach traditioneller Auslegung, die übliche Funktion des ‚Wesens‘ | „οὐσία“ | ‚usía‘ | eines Seienden : es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; (es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘). (ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)

Da aber in ‚Gott‘ (dem „unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“) Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von „οὐσία“ | ‚usía‘ | ,Wesen‘ im „Erstbewegenden“ nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘ — „ἐν-έργεια οὖσα“ | ‚en-érgeia ūsa‘ — ‚ins-Werk‘ gesetzt; („τὸ ἔργον“ | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; „ἐνέργεια“ | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und „οὖσα“ | ,ūsa‘ | feminin Nominativ Singular von „ὤν“ | ‚ón‘ | ‚seiend‘). Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, „actus purus“ : sein Wesen ist ‚reiner Akt‘, ,reine Gegenwärtigkeit‘, d.h. ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur unserer Welt« ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT : Der zeitlos ewige GOTT ist »notwendig aus sich immer schon da«, m.a.W. ist „zeitlos-ursprungslos“. Insofern ist „Göttlichkeit“ die „Wesenseigenschaft“, die im „Dasein GOTTES“ d.h. in „GOTT“, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung — „Perfektion“, Axiom-3 : — ‚PG‘ —, erreicht hat. GOTT ist »vollkommen« und darum auch »notwendig für uns immer schon ‚da‘« : — ‚PE_not‘ — . GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ „unverursacht“, da er »notwendig aus sich vollkommen« ist : — ‚□PG‘ —, (eine Instanz von Axiom-4). „Vollkommenheit“, — ‚P‘ —, ist die „Wesenseigenschaft“, bzw. das „Wesen GOTTES“ : — ‚G_ess‘ —. »GOTT ist ,der‘ Vollkommenste« : — ‚PG‘ —. Und zur absoluten „Vollkommenheit“ gehört „notwendig“ auch das „Existieren“ : — ‚PE_not‘ — .

Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist : nur unter der Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von „Sein“ und „Wesen“, — ‚Gx↔G_essx‘ — , bzw. der ‚Gleichsetzung‘ von ‚notwendiger‘ „Existenz“ — ‚E_not‘ — mit den ‚positiven (wesentlichen) Eigenschaften‘/„Essenz“, — ‚P‘ —, in GOTT, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik ! Diese ‚Identität‘ wird in ARISTOTELES, ‚Metaphysik‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt :

» … es muss [ notwendig ] etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘ [ worden ] zu sein, [ ‚unentstanden‘ ], alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘ [ ‚entstehen lässt‘ ]«, das ‚zugleich‘ „αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα“ | »[ zeitlich-]ewig, sowohl Wesen als auch seiende Aktualität [ „actus purus“ ] wirkliches Sein ist«, bzw. „ὀρεκτόν καί νοητόν“ | ,orektón kai noêtón‘ |  »ersehnt und erkennbar ist.« (vgl. ,Metaphysik‘ XII 7, 1072a,23–1072b,4)

Diese ontologische ‚Identität‘ von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, (Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens), »ist das Privilegium der Gottheit allein« : mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten philosophischen Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; (vgl. 3. Beweisgang).

Angenommen, die Variable — ‚x‘ — steht für den „GOTT“ — ‚G‘ — der Christen, (siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang), dann ist — auf Grund von diesem Beweisgang — in unserer Welt ,wahr‘ und evident : die ‚positive Eigenschaft‘ »Göttlichkeit« — ‚G‘ — und das faktische »‚Da‘-Sein (Existenz) GOTTES« — ‚G‘ — ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt : nämlich das, was wir das »Wesen (Essenz) GOTTES« — ‚G_ess‘ — nennen. »Göttlichkeit | GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES« bzw. »Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT | seine Göttlichkeit«, m.a.W. : »GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘ (d.h. notwendig aus sich) ‚da‘«. Das ist das Einzigartige im »Wesen GOTTES« : GOTT ist, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein »Wesen«. (Der schon von GÖDEL indizierte Term — ‚G_ess‘ — ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term — ‚G‘ — „theologisch“ ,impliziert‘.) Theorem-2 :

— ‚Gx↔G_essx‘ —

Damit kann GOTT ‚explizit‘ (mit Hilfe eines logischen Kalküls) genuin „theologisch“ ‚bestimmt‘ werden : »GOTT ist genau deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘ (aber für uns notwendiges) Dasein (Existenz) als GOTT, ontologisch — dem Sein nach — identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen (Essenz) als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.« Die philosophische Frage nach dem „Wesen GOTTES“ lautet (auf die Person bezogen) : „Was bist du ? “ Sie ist äquivalent zur ,theologisch’-biblischen Frage ABRAHAMS : „Wer bist Du ? “ Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘ thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige „Dasein GOTTES“ : ‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚ | ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ | »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ [ für euch und für immer ]«. Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, „theologisch“ ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden GOTT-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist : „,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“, — (das mit Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist : die Beweisgrundlage für das Theorem AMSELMS), — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt : GOTT ist für uns immer schon „da“, weil er uns liebt. Das ist das, „was“ GOTT für uns als GOTT ausmacht — sein Wesen.

Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, „unverursacht“ | „grundlos“, für uns immer schon ‚da‘ ist, — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ —, vorausgesetzt (‚angenommen‘), man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT. (Der Glaube an den zeitlos-ewigen GOTT ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 : — ‚PG‘ — : »GOTT ist perfekt«, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für ‚Gx‘ := den „GOTT“ der Christen, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen — nach GÖDEL — nur dann »wahr« sind, wenn sie »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls »unabhängig« von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist ! ) Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL »rein verstandesmäßig«, überzeugen. (Das war auch die Absicht ANSEMS ! ) Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt : — ‚¬◇∃xGx‘ —, (dezidierter Atheismus), führt im GÖDEL-Kalkül außerdem formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚Gödels Möglichkeitsbeweis‘, in ‚Der Gödelsche Gottesbeweis‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik »durchaus vereinbar« und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest : das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, »rein verstandesmäßig«, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines ewigen GOTTES voraus, der — »unabhängig von der zufälligen Struktur unserer [ vergänglichen ] Welt« — für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, (als Prämisse), dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch und deshalb auch ,unvernünftig‘; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des (nicht umkehrbaren) ‚Möglichkeitsbeweises‘ vorexerziert hat. (Siehe Anhang : GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 : »Der [ ,unvernünftige‘ ] Tor sagt in seinem Herzen : Es gibt keinen Gott«.) Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ anscheinend auch keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ (Agnostizismus) feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten.

Das GÖDEL-Theorem-3 von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES — ‚□∃xGx‘ —, (mit seinem ‚Antezedens’, der ‚Widerspruchsfreiheit‘ GOTTES, — ‚◇∃xGx‘ —) : ‚ANSELMS Prinzip‘ : ist (im 3. Beweisgang) dann nur noch eine weitere Explikation des ‚Basistheorems‘ des Kalküls : — ‚Gx↔G_essx‘ — , über die ‚ontologische Identität‘ von dem faktischen „Dasein GOTTES“ : — ‚Gx‘ —, (d.i. nach GÖDEL, von seiner — für uns — ‚notwendigen Existenz‘ : — ‚E_notx‘ —) mit seinem „Wesen“ : — ‚G_essx‘ — , (d.i. nach Axiom-3, mit der „Perfektion Göttlichkeit“ : — ‚PG‘ —, welche im ersten Teil von Beweis für Theorem-2, mit Term :13:, als „positive Eigenschaft“ | „Perfektion“ in GOTT schon ‚definitiv‘ bestätigt ( ╞ ) worden ist : — ‚PY‘ —; siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2). Im ‚ontologischen‘ 3. Beweisgang für Theorem-3 : — ‚◇∃xGx→□∃xGx‘ —, ist das Basis-Theorem-2 sowohl für dieses ‚Prinzip ANSELMS‘, wie auch für Axiom-5 und Definition-3, die ,verifizierende’, modal notwendige Voraussetzung; (vgl. Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4). Dieses ‚Basistheorem‘ ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES : GOTT ist „unverursacht“ | „ursprungslos“ ‚da‘, von „Ewigkeit zu Ewigkeit“, denn es ‚ist‘ sein „Wesen“, (überzeitlich-ewig) für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die „Theologie“.

Die Bedeutung des Kalküls

Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘

KANT sagt :

»Sein ist offenbar kein reales Prädikat. ... Es ist bloß die [ gedachte ] Position eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten [ d.h. Eigenschaften ] (worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage: ‚Gott ist‘, [ GOTT existiert ], oder ‚es ist ein Gott‘, so setze ich kein neues Prädikat [ keine neue Eigenschaft ] zum ‚Begriffe‘ von Gott : [ ‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT; ‚Existenz‘ ist keine ‚Eigenschaft‘ ], ... es kann daher zu dem Begriffe [ GOTT ], der bloß die [ gedachte ] Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : er ist [ wirklich ] ) denke, nichts weiter hinzukommen. [ Beides ist ,bloß gedacht‘. ] Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste mehr, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den [ gedachten ] ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen Position [ im Denken ] an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser, [ die 100 ‚wirklichen‘ Taler ], mehr enthielte als jener, [ als ihr bloß ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT argumentierte, …so würde ] mein ‚Begriff‘ [ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ] nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch nicht der angemessene Begriff von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist mehr bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, [ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ] ... « (‚Kritik der reinen Vernunft‘, KANT-Werke Band 4, Seite 533ff).

GÖDEL würde darauf (korrespondierend zur aristotelischen Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT) antworten :

»Die „100 Taler“ sind der »zufälligen Struktur der [ vergänglichen ] Welt« entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt, „über“ dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt : Der ,unvergleichbare‘ GOTT — ‚Gx‘ — „existiert notwendig für uns“ — ‚E_notx‘ —, und „Existieren, Sein“ ,ist‘ eine „positive Wesenseigenschaft“ in GOTT — ‚PE_not‘ —, weil GOTT aus sich „vollkommen“ | „perfekt“ ist — ‚PG‘ — : ‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘; (notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT), und nur bei GOTT ! Der zeitlos-ewige GOTT der Christen : — ‚Gx‘ —, (als methodologische Prämisse), ist das ‚einzige‘ „Wesen“ — ‚x‘ —, das „notwendig aus sich“ : — ‚□∃xGx‘ —, d.h. „grundlos“ | „unverursacht“ für uns immer schon ‚da’ ist und immer ,da’ sein wird; und es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ einen GOTT : — ‚□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)‘ — (Monotheïsmus).«

Eine Beobachtung : KANT sagt, gleichsam als ,krönender‘ Abschluss seiner Widerlegung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ : »Aber in meinem Vermögenszustande ist mehr bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben«. Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS : GOTT „esse et in re“, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, „quod maius est“, was mehr ist, als „esse solo in intellectu“, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen (gedachten) ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass in jedem Fall der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche »den ganzen Gegenstand ausdrückt«, und von diesem auch »der angemessene Begriff« ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt : Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält ,doch mehr‘ als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung, »das Wirkliche« enthalte »,nichts mehr‘ als das bloß Mögliche«. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Wiederspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS »Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern«, in dem in Wirklichkeit ,doch mehr‘ ist, »als bei dem bloßen Begriffe derselben«. (Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS, von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines Gegenstandes, als »dessen Position«, d.h. als seine ,Setzung‘ bloß im und durch den Verstand, falsch ist. Auf Grund dieser Konzeption ist das »Ding, wie es an sich selbst ist«, für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges als »dessen bloße Position« ist für KANT letztlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als »dessen Position«, d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im und durch den Verstand, d.h. als sein, als ,wirklich‘ bloß nur gedachter Begriff, dann »enthält« natürlich »das Wirkliche [ als die bloß gedachte Existenz ] nichts mehr als das bloß Mögliche [ als der gedachte Begriff ]«, was offensichtlich unhaltbar ist. [ Modus tollendo tollens ] : Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch die Voraussetzung ,falsch‘. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall : Das Wirkliche enthält ,doch mehr‘ als das bloß Mögliche.) Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht : das Sein eines jeden ,Gegenstandes‘ — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT — sei bloß dessen gedachte ,Position‘, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im und durch den Verstand. Damit macht er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter vielen Dingen, und verkennt so auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES, (oder will sie nicht ,wahr‘ haben).

Die „Rede von GOTT“ in der philosophischen Tradition

Wenn man die philosophische Tradition der „Rede von GOTT“ im Lichte der Ergebnisse der axiomatischen „Theologie“ GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES — AVICENNA — ANSELM und bei GÖDEL wie folgt dar :

»Das Erstbewegende, (,πρῶτον κινοῦν‘), das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein, [ unverursacht ], (,ἀκίνητον‘), alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘, [ verursacht ], (,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘), ist sowohl [ zeitlich-]ewiges ‚Wesen‘ (,ἀΐδιον καί οὐσία‘ | ‚Substanz‘ ) als auch [ zeitlich-]ewiges ‚wirkliches Sein‘ (‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘) … ersehnt (,ὀρεκτόν‘) und erkennbar (,νοητόν‘) ... Denn dies ist der ‚Gott‘ (,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘), — ‚Gx‘ —, der [ zeitlich-]ewige (,ἀΐδιον‘) Unvergleichliche (,ἄριστον‘ | ‚Beste‘ ), Lebendige (,ζῷον‘ | ,das Leben selbst‘ ), ... so sagen wir ja (,φαμὲν δὴ‘).« : (ARISTOTELES — Grieche).

Der ‚Begriff’ „GOTT“ — ‚G‘ —, als ,Individuumname‘, ist synonym mit „göttliches ‚Da-Sein’“, das sowohl „aus sich vollkommen“ ist, (das ist das vollkommene ‚Wesen‘ GOTTES : — ‚PG‘ — ), als auch zugleich „notwendig für uns“ ‚da‘ ist, (das ist das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES : — ‚E_notx‘ — ), „von Ewigkeit zu Ewigkeit“. Das ist der angemessene Begriff von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT „vollkommen“ ist, ist „Da-Sein“ | „GOTT-Sein“ | „Göttlichkeit“ das „Wesen“ GOTTES : — ‚Gx↔G_essx‘ —. In GOTT sind „Essenz“ und „Existenz“ untrennbar, (sind ‚identisch‘ immer dasselbe), und »darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist« : (ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim).

Der (gedachte) ‚Eigenschafts-Begriff‘ „Vollkommenheit GOTTES“ — ‚PG‘ —, (‚Perfektion‘, die Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘) schließt die ‚Eigenschaft’ „notwendige Existenz für uns“ mit ein : — ‚PE_not‘ —. GOTT wäre nicht „vollkommen“, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ „existierte“. ‚Sein’ ist mehr als ‚Nicht-Sein’. GOTT ist daher das »vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres mehr ‚gedacht‘ werden kann« : (ANSELM von Canterbury — Christ).

Der ‚Begriff’ „Perfektion“ in GOTT — ‚PG‘ — schließt auch ein „Dasein“ ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende mit ein. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, „für uns notwendige Existenz GOTTES“ : — ‚Gx→E_notx‘ —, (nach Term :16: im 2. Beweisgang : — ‚Gy→Yy‘ — mit der [ Instanz(Y:=E_not) ], und der [ FUB(y:=x) ], in Worten : »Angenommen, wenn — ‚x‘ — für den GOTT der Christen steht, dann existiert — ‚x‘ — für uns notwendig«). GOTT ist »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer ‚vergänglichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. GOTT ist »unabhängig« von dieser „vergehenden Raum-Zeit“ — »jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas« (GÖDEL) —. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, (beides ist zeitlos ,eins‘), und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der »notwendig aus sich ,existiert‘ « : — ‚□∃xGx‘ — , „unverursacht“ | „ursprungslos“ immer schon ‚da‘ : (GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)

Resümee :

Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit ‚mathematischer Evidenz‘, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, (die Axiome bilden formal-syntaktisch »die theologische Weltanschauung« ab), unter der Voraussetzung, dass die Axiome »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-] Struktur« unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheit gelingt GÖDEL — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung — durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit : sie sind somit ,wahr‘ und ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt : (siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2 : Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils). Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird : GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT (»ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen«) hat eine mehr als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der „100-Taler-Gott“ des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren.

Kurt GÖDEL :

»Die theologische Weltanschauung [ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ] ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar;« [ d.h. sie ist das Ergebnis der — vom Glauben geleiteten — ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘ ]. »Der [ christliche ] Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.« (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas )

Für KANT, für die Scholastiker, (und auch für uns), ist es ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. (Aus dem möglichen Begriff ,goldene Berge‘ folgt nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.) In der philosophischen Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff »GOTT« jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘.

Dazu der Kommentar von HEGEL :

»Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff [ ‚GOTT‘ ] die Realität nicht herausklauben, so ist da der Begriff als endlich gefasst.« [ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT : »Sein ist kein reales Prädikat«. Somit ist ] »...der Begriff ohne [ reales ] Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist, [ ist ] das begrifflose Sein, [ d.i. das relative ,Noch-Nicht‘ ]. Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt [ im Endlichen zutrifft ], kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben; [ denn ,Begriff‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ GOTT selbst die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem „Schöpfer der Welt“, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ : »Gott sprach : Es werde Licht. Und es wurde Licht«.]«

Das Entscheidende bei der „theologischen“ Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass (der Begriff) GOTT, — ‚Gx‘ —, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe gestellt wird, (d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tornado‘, die ,Dinge der Welt‘ etc.), und damit verglichen wird, sondern in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als »der Unendliche« belassen und als »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer vergänglichen Welt — als der ,Unvergleichliche‘ — verstanden wird. (Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des »Unendlichen«, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.) Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS — in seiner Kritik an dessen Theorem — irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘ : „esse in rerum natura“, und verkennt somit — wie nach ihm auch KANT — die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES; (vgl. STh I q.2 a.1 ad 2). Dagegen spricht ANSELM im ,Proslogion‘, Seite 85f, nur von einem „esse et in re“ GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, „quod maius est“, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als „esse solo in intellectu“, als nur ,im Verstand zu sein‘. Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit GOTTES ist jedoch »unabhängig von der zufälligen« Wirklichkeit (die ,Natur‘) unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt, und daher nicht mit ihr vergleichbar.

Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ ( ╞ ). Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. (Das „theologische“ Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. die exklusive Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, ist — nach HEGEL — die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie : »Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen«; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel : »Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein«, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird : $\Box \;(\exists x\ G\ x\wedge \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y)))$ .)

Anhang : das GÖDEL-Kalkül

Legende zum GÖDEL-Kalkül

${\begin{aligned}{\text{ ◇ ↔ konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, }}&{\text{ □ ↔ notwendig ↔ in jeder möglichen Welt verwirklicht}}\\{\text{ A ├ B ::}}&{\text{ aus A ist B im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar}}\\{\text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine }}&{\text{Eigenschaft); und :10: ist der Term in der Kalkül-Zeile 10}}\\{\text{ AE ::}}&{\text{ Argument Einführung, Prämisse, Postulat }}\\{\text{ Xx ::}}&{\text{ die Variable x hat die Eigenschaft X }}\\{\text{ ¬PX ::}}&{\text{ X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion }}\\{\text{ Instanz(X := Y) ::}}&{\text{ Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y }}\\{\text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;}}&{\text{ hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) }}\\{\text{ FUB(x := y) ::}}&{\text{ Freie-Um-Benennung der Variable x in y }}\\{\text{ [G(y) ├ ⱯyG(y)] ::}}&{\text{ All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT }}\\{\text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann ist }}&{\text{,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}}\\{\text{[ⱯXA(X) ├ A(X)] ::}}&{\text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X }}\\{\text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder }}&{\text{wird, dann kann ihr All-Operator ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}}\\{\text{ KOMM(↔) ::}}&\;{\text{[(A↔ B) ↔ (B ↔ A)] :: Kommutativgesetz für ( ↔ )}}\\{\text{ DIST(□∧) ::}}&\;{\text{[(□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B)] :: Distributivgesetz für (□∧ )}}\\{\text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::}}&\;{\text{[A → B, A ├ B] :: (Modus ponendo ponens), Abtrennregel.}}\\{\text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist, }}&{\text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“}}\\{\text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::}}&\;{\text{[A → B, ¬B ├ ¬A] :: (Modus tollendo tollens)}}\\{\text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist, }}&{\text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“}}\\{\text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ A ├ B ╞ A → B] :: (logische Implikation)}}\\{\text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im }}&{\text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B.“}}\\{\text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ ¬A → F ╞ A] :: (Reductio ad absurdum)}}\\{\text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion }}&{\text{F folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“}}\\\end{aligned}}$

A. FUHRMANN : » Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke („Prädikate”) binden können. [ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]. Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz — ‚Xx‘ — bzw. — ‚PX‘ — um auszudrücken, dass das Individuum — ‚x‘ — die Eigenschaft — ‚X‘ — hat, bzw. dass die Eigenschaft — ‚X‘ — die höherstufige Eigenschaft — ‚P‘ — (für „positiv”) hat; [ wobei die Eigenschaft — ‚P‘ — als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]. «

Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable — ‚X‘ — ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang . (Im ersten Beweisgang gibt es keine Definition.) Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution : [ Instanz(X:= ..) ] mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie — (X:= G) —, bzw. — (X:= ¬Y) —, oder — (X:= E_not) — ,regulär‘ (├ ) beseitigt : [ ⱯXA(X) ├ A(X) ] , die im Kalkül als spezielle Voraussetzungen schon ,angenommen‘, bzw. mit einer Definition ,bestimmt‘ worden sind.

Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier in der formalen Syntax der Prädikatenlogik zweiter Stufe als eine tiefer gestellte Abkürzung (als Index) an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch — _ess — , oder ‚notwendig‘ durch — _not — . Der schon von GÖDEL indizierte Term : —‚G_essx‘ — kann gelesen werden als : „Das Individuum — ‚x‘ — hat die Wesenseigenschaft, — _ess — : GOTT zu sein, — ‚G‘ — ”, statt der ,an sich‘ konformen, aber „theologisch“ etwas ,unbeholfenen‘ Formulierung, : „ — ‚x‘ — ist wesentlich göttlich”; oder mit der Voraussetzung : — ‚Gx→G_essx‘ — deutlicher und „theologisch“ korrekt : „Wenn — ‚x‘ — für GOTT — ‚G‘ — steht, dann ist GOTT-Sein — ‚G‘ — (,Existenz‘) das Wesen GOTTES — _ess‚x‘ — (,Essenz‘) ”; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls (— ‚Gx‘ — : der GOTT der Christen) —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die „christliche Theologie” für den Begriff „GOTT”, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von — ‚G‘ — berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von — ‚G‘ — bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss „theologisch” überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten „theologisch” zulässig sein.

1. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.1)}}&\quad P\neg X\;\Longrightarrow \;\ \neg P\ X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 2)}}&\quad (P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Longrightarrow \ Y\ x))\Longrightarrow \ P\ Y&\ &{\text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X }}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\quad P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) }}\\{\text{ }}&{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad P\ X\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“}}\\{\text{02}}&\quad P\ X\;\Rightarrow \;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“}}\\{\text{03}}&\quad (\neg x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“}}\\{\text{04}}&\quad (\ x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“}}\\{\text{05}}&\quad {\text{ ├ }}\;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:02:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] :AE:}}\\{\text{06}}&\quad \neg \neg \Box \neg \exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)}}\\{\text{07}}&\quad \neg \neg \Box \neg \neg \forall x\neg X\ x\ &\ &{\text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)}}\\{\text{08}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall x\neg X\ x\ &\ &{\text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)}}\\{\text{09}}&\quad \Box \;\forall x\neg X\ x\Leftrightarrow \ W&\ &{\text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)}}\\{\text{10}}&\quad \Box \;\forall x\ X\ x\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)}}\\{\text{11}}&\quad \ (\neg x=x)\Leftrightarrow \ F\;\ &{\text{ }}&{\text{Xx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{12}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&{\text{ }}&{\text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“}}\\{\text{13}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&\ &{\text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]}}\\{\text{14}}&\quad \ (P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x)))\Rightarrow \;P(\neg x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{15}}&\quad \ P(\neg x=..)&\ &{\text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{16}}&\quad \ P(\neg x=..)\;\Rightarrow \ \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}}\\{\text{17}}&\quad \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{:15:16:[Modus ponens]}}\\{\text{18}}&\quad \ (x=x)\Leftrightarrow \ W\;\ &\ &{\text{Xx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !}}\\{\text{19}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))&{\text{ }}&{\text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“}}\\{\text{20}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{:01:19:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]}}\\{\text{21}}&\quad \ (P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x)))\Rightarrow \ P(x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{22}}&\quad \ P(\ x=..)\ &\ &{\text{:20:21:[Modus ponens]}}\\{\text{23}}&\quad {\text{ ├ }}\;(\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{24}}&\quad \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\Rightarrow (\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))&\ &{\text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{25}}&\quad \neg \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}}\\{\text{26}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\;{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G) }}\\{\text{29}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\;{\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv möglich“}}&\ &{\text{„Es ist denkbar, dass es GOTT gibt“}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-1 : (Der Term — ‚PX‘ —, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich sogar um zwei Schritte : Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.) Mit der Prämisse :01: (hier im 1. Beweisgang) postuliert GÖDEL vorerst, dass es »Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften« gibt : — ‚PX‘ —, ohne im Kalkül zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird nur (im 2. Beweisgang), was eine »wesentliche Eigenschaft« ist; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL (im 3. Beweisgang), was eine »notwendige Existenz« sein soll, die er (im selben Beweisgang) axiomatisch mit den »positiven Eigenschaften in GOTT« gleich setzt : Axiom-5 : —‚PE_not‘ —. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer ,Reductio ad absurdum‘, definitiv bewiesen ( ╞ ), dass die von GÖDEL postulierten Wesenseigenschaften in GOTT tatsächlich »positiv, perfekt, vollkommen« sind. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden : Ob, mit ,mathematischer Evidenz‘, »GOTT« ,möglich‘ ist, der nach traditioneller Auffassung, »ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit [ ist ], das alle Grade derselben in sich schließt«, (nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘). Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen »GOTTES« ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der »positiven Eigenschaften in GOTT« formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, (,Erster Satz‘), fasst A. FUHRMANN zusammen als : »Positive Eigenschaften sind konsistent«. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, (Term :24:). Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, (das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt), sichern hier die Konsistenz »aller positiven Eigenschaften in GOTT«. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, erklärt GÖDEL : »◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist, [ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ]. Das ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2, [ weil alle positiven Eigenschaften gleichwertig sind ].« Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der »alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt« und »über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann«, und, in weiterer Konsequenz, ist es sogar ,notwendig‘, nach Theorem-3 : Wenn es »möglich, bzw. denkbar« ist, dass es »GOTT« gibt, dann folgt daraus »notwendig«, dass es »GOTT« wirklich gibt. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen ( ╞ ).

Da die Variable — ‚x‘ — für GOTT steht, — ‚G‘ —, (im Korollar-1), ist die Eigenschaft : „nicht mit x identisch zu sein“ : (¬x=..), d.h. „Ungleichheit“, „Anderssein“, (Prämisse :03:), die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT : um der „Unvergleichlichkeit“ GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der »zufälligen Struktur der Welt« verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: (x=x) ↔ W erinnert dagegen an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 : »Ich bin der ‚Ich-Bin‘«.

Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN : » Die Notation (¬x=..) für die Eigenschaft : „nicht mit x identisch zu sein“ [ d.h. „Ungleichheit“, „Anderssein“, bzw. die Notation (x=..) für den Existenzmodus-Perfektion : „Gleichheit“, „Idendität“ ] ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie λy.(¬x=y), [ bzw. λy.(x=y) ]. Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck λy.(¬x=y) gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck ¬λy.(x=y). Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion : λy.Xy.x ↔ Xx [ mit der Instanz(X:=(¬x=..)) ] so schließen dürfen : λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ ¬λy.(x=y).x. «

2. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.2)}}&\quad \neg P\ X\;\Longrightarrow \;\ P\neg X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad \ P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Axiom 4)}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Box \;\ P\ X\ &\ &{\text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“}}\\{\text{(Definition 2)}}&\quad \ X_{ess}\ x\;\Leftrightarrow X\ x\wedge \forall Y\left(\ Y\ x\Rightarrow \Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y)\right)&\ &{\text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und}}\\{\text{ }}&\quad &{\text{ }}&\;\;{\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“}}\\{\text{[RM]}}&\quad \ A\;\Longrightarrow \;\ B\;{\text{ ├ }}\;\Box \;A\Longrightarrow \;\Box \;\ B\ &\ &{\text{( :: Modales Prinzip)}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)}}\\{\text{ }}&\;{\text{„Das Wesen GOTTES ist Dasein“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“}}\\{\text{02}}&\quad \ Y\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x hat die Eigenschaften Y“}}\\{\text{03}}&\quad \neg P\ Y&\ &{\text{ AE: „Angenommen, die Eigensch. Y von x sind nicht positiv“}}\\{\text{04}}&\quad \neg P\ Y\Rightarrow \ P\neg Y\ &\ &{\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) }}\\{\text{05}}&\quad \ P\neg Y\ &\ &{\text{:03:04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] }}\\{\text{06}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{07}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{08}}&\quad \ P\neg Y\Rightarrow \neg Y\ x\ &\ &{\text{:07:Instanz(X:=¬Y)}}\\{\text{09}}&\quad \neg Y\ x\ &\ &{\text{:05:08:[Modus ponens]}}\\{\text{10}}&\quad {\text{ ├ }}\;(Y\ x\wedge \neg Y\ x)\;\Leftrightarrow \;\ F\ &\ &{\text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{11}}&\quad \neg P\ Y\;\Rightarrow \;(Y\ x\wedge \neg Y\ x)\ &\ &{\text{:03:10:[├A├B ╞ A → B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{12}}&\quad \neg \neg P\ Y\ &\ &{\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A → B,¬B├ ¬A]}}\\{\text{13}}&\quad {\text{ ├ }}\;P\ Y\ &\ &{\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:}}\\{\text{14}}&\quad \ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{(A4):Instanz(X:=Y)}}\\{\text{15}}&\quad \Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{:13:14:[Modus ponens]}}\\{\text{16}}&\quad \ G\ y\Rightarrow \ Y\ y\ &\ &{\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)}}\\{\text{17}}&\quad {\text{ ├ }}\;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]}}\\{\text{18}}&\quad \Box \;\ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]}}\\{\text{19}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:15:18:[Modus ponens]}}\\{\text{20}}&\quad \ Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{21}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x&\ &{\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A, B├ A ∧ B]}}\\{\text{22}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ X\ x\;\Leftrightarrow \;X_{ess}\ x\ &\ &{\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:}}\\{\text{23}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x\;\Leftrightarrow \;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:22:Instanz(X:=G)}}\\{\text{24}}&\quad {\text{ ├ }}\;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:}}\\{\text{25}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1}}\\{\text{26}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] }}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G)}}\\{\text{29}}&\quad {\text{ ├ }}\;G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{30}}&\quad \ G_{ess}\ x\;\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 }}\\{\text{31}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] }}\\{\text{(Theorem 2)}}&\;{\text{„Dasein, GOTT-Sein, ist das Wesen GOTTES“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war ! }}\\{\text{32}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:19:Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{33}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“}}&\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 22 und 31 mussten zwei-, und einmal drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)

Anmerkung-2 : (Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt — ‚Xx‘ — in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt. Zeile 21 entfällt, und [ KOMM(∧) ] ist unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: — ‚Gx‘ — als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der [ Instanz(X:=G) ]. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, diesen Term weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war.) Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ »positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen in GOTT konsistent«, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang hinterfragt, — ‚PX‘ — : Gibt es überhaupt so Etwas, wie »Vollkommenheit, absolut Positives, Perfektes« ? Die ,Annahme‘ jedoch, dass es »keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes« (für die Welt) gibt, (Prämisse Term :03:), — ‚¬PY‘ —, d.h. dass die wesentlichen Eigenschaften in GOTT keine „Vollkommenheiten“ seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch (Term :10:). Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit — als ,neue‘ Prämisse — definitiv ,bewiesen‘ ( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘), dass alle Eigenschaften, die hier mit — ‚Y‘ — symbolisiert werden, „positive Eigenschaften“, d.h. „Perfektionen“ sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, (Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:), dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle Wesenseigenschaften in GOTT, die durch den Term :13:, — ‚PY‘ —, dargestellt werden, sind somit „Vollkommenheiten“. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, ( ╞ , es ist ,wahr‘), was mit Axiom-3 : — ‚PG‘ — schon ‚angenommen‘ worden ist : „GOTT ist vollkommen; er hat alle positiven Eigenschaften“; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ : „GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er alle positiven Eigenschaften in sich schließt“; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ : »GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt«. (Der ,Schlüsselbegriff‘ — ‚P‘ — ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.) Hier, (im 2. Beweisgang), hat Axiom-1, (im Term :04:), sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, (Definition-1; Term :06:), tatsächlich „positiv, perfekt und vollkommen“ sind : — ‚PY‘ —. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch : eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein !

Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ — : schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der [ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ] ohne Weiteres ,regulär‘ ableiten. (Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13: — ‚PY‘ —.) Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, (Term :06:, Term :16: und Term :26:). Das ,bewiesene‘ ( ╞ ) 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: — ‚PY‘ —, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 : — ‚PG‘ —, als auch die Definition-1 für die Annahme : den ,GOTT der Christen‘, der als GOTT alle Grade der Vollkommenheit in sich hat : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ —. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ ( ╞ ) 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ —, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 : — ‚PE_not‘ —, als auch die Definition-3 für die Wesenseigenschaft : ,notwendige Existenz‘ : — ‚E_notx‘ —, und widerlegt den Einwand KANTS. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, (genauer als ,widerspruchsfrei‘), und damit als ,annehmbar‘ bestätigt.

Zusammengefasst heißt das : die ,strittige‘ Formulierung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls : — ‚Gx‘ — (Term :01:), weil — ‚◇∃xGx‘ — (Korollar-1) : »Es gibt den GOTT der Christen, weil es denkbar ist, dass es ihn gibt«, (ANSELMS Prinzip) ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert : der GOTT der Christen (Term :01:) ,existiert‘ für uns ,notwendig‘ : — ‚Gx→E_notx‘ —, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ : — ‚PG‘ —, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ — ‚P‘ — gehört auch das ,Existieren‘ : — ‚PE_not‘ —. (Jeder dieser Terme ist als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen.) Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch die ,strittige‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar«, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse : — ‚¬◇∃xGx‘ — : »Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt«, führt außerdem zu einem Widerspruch — und ist daher logisch ,falsch‘, (siehe Anhang : Widerlegung). Eine ,formale Unentscheidbarkeit‘, (d.h. der ,methodologische‘ Agnostizismus), zu den Annahmen ist gegen jede ,Logik‘.

Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 : »,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES«, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der Überzeugung von Menschen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon »da« ist, wirksam in und durch seine Kirche, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, »was« GOTT eigentlich für uns ausmacht — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens : ‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚ | ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ | »Ich bin da für euch und für immer, als der ich [ immer schon gewesen ] bin«; (d.i. das ,theologisch‘-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und die ,theologisch‘ korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01:, jeweils im 2. und 3. Beweisgang). Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, (,hat‘ er auch nicht), oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen ,mathematische Evidenz‘ anerkennt.

3. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 5)}}&\quad P\ E_{not}\;\ &{\text{ }}&{\text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“}}\\{\text{ }}&{\text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ }}&\ &{\text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,}}\\{\text{ }}&\;\;{\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}}\ &\ &\;\;{\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, keine ,reales Prädikat‘ ! )}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“}}\\{\text{(Definition 3)}}&\quad \ E_{not}\ x\;\Longleftrightarrow \;\ \forall X\left(\ X_{ess}\ x\Longrightarrow \Box \;\exists y\ X\ y\right)&\ &{\text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn}}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig aus sich verwirklicht sind“}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{„Es ist definitiv möglich, dass es GOTT gibt“}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{„Dasein, GOTT-Sein, ist das Wesen GOTTES“}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{( :: ANSELMS Prinzip)}}\\{\text{ }}&{\text{„Weil GOTT möglich ist, darum gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“}}\\{\text{02}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{03}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{04}}&\quad \ P\ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ &\ &{\text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{05}}&\quad \ E_{not}\ x\ &\ &{\text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B]}}\\{\text{06}}&\quad \forall X\left(\ X_{ess}\ x\Rightarrow \Box \;\exists y\ X\ y\right)&\ &{\text{(D3):05:[Modus ponens]}}\\{\text{07}}&\quad \ X_{ess}\ x\Rightarrow \Box \;\exists y\ X\ y&\ &{\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{08}}&\quad \ G_{ess}\ x\Rightarrow \Box \;\exists y\ G\ y&\ &{\text{:07:Instanz(X:= G)}}\\{\text{09}}&\quad \ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{(Th2):01:[Modus ponens]}}\\{\text{10}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)}}\\{\text{11}}&\quad \Diamond \exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\;{\text{„Weil GOTT möglich ist, darum gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{12}}&\quad \Box \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{(K2):01:[Modus ponens]}}\\{\text{13}}&\quad \Box \;(\exists x\ G\ x\wedge \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y)))\ &\ &{\text{:10:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B] :DIST(□∧)}}\\{\text{(Korollar 3)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“}}&\ &{\text{„Es gibt für alle mögliche Welten nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-3 : Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ : Denn mit der Prämisse, — ‚Gx‘ —, (Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT), wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; (hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über das modale Axiom-BECKER : — ‚◇□A→□A‘ —, das André FUHRMANN recherchiert hat). GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ (Axiome, Definitionen, Prämissen) etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen Voraussetzungen für den 3. Beweisgang, die in den beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als ,modal‘ wahr, bzw. als annehmbar verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ (Theorem-3 und Korollar-3) ,modal‘ wahr, bzw. annehmbar ! Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann »mathematisch evident«, d.h. ,ist gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht vom Kalkül abhängen, wie hier : »(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr«, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten — ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass „GOTT“ ‚unabhängig‘ von der zufälligen (Raum-Zeit-)Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, (was „theologisch“ korrekt ist), begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, „unverursacht“ | „grundlos“, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann ,eins‘ : wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. ,Begriff‘ und ,Sein‘. (Man vergleiche damit auch die postulierte Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES : im »[ selbstbewussten ] Erkennen seiner Erkenntnis[-Tätigkeit ]« | „νοήσεως νόησις“ | „noêseôs noêsis“ (‚Metaphysik‘ XII 9, 1074b34), im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als „πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον“ | „prôton kinoûn akinêton“ der Welt.)

Anmerkung-4 : Das (im 2. Beweisgang) schon bewiesene Theorem-2, d.h. die Gleichsetzung von „Sein“ und „Wesen“ in GOTT, (‚Existenz‘ und ‚Essenz‘), rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung (hier, im 3. Beweisgang) korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. sie sind ,wahr‘ und annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, (als Voraussetzung dafür), das Axiom-4 : — ‚PX → □PX‘ — : „Eine positive Eigenschaft ist notwendig aus sich positiv“, erklärbar, in dem die ‚Positivität‘ einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘ — □ — charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5, in dem die ‚Notwendigkeit‘ — _not — (der Existenz — ‚E‘ —) dann als ‚positive‘ Eigenschaft, — ‚P‘ —, ‚bestimmt‘ wird, (unter der speziellen Voraussetzung, dass „Existieren“ definitiv eine „Wesenseigenschaft“ in GOTT ist; vgl. Definition-3). Zum Axiom-4, (bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang), erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül : »da es [ das Notwendigsein — □ — ] aus der Natur der [ positiven ] Eigenschaft folgt, [ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]«. GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ : — ‚Gx→E_notx‘ —, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität : — ‚PG‘ —; (was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde). Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ : — ‚PG → □PG‘ — :: ( Axiom-4 mit der [ Instanz(X:=G) ]), d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht : sein ,Wesen‘, bzw. seine „Natur“. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, (und der Definition-2 : Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig zusammen), ist dieser, aus der „Natur“ GOTTES, sich ergebende Zusammenhang von ‚Notwendigkeit‘ und ‚Positivität‘ bzw. ,Vollkommenheit‘ im Axiom-4, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL (im 2. Beweisgang) auch der logische Zusammenhang vom „Dasein“ GOTTES mit seinem „Wesen“ : — ‚Gx↔G_essx‘ — im Basis-Theorem-2 ergibt, d.i. die Beweisgrundlage für das Theorem ANSELMS, (Term :09: hier im 3. Beweisgang). „Positive Eigenschaften“ | „Vollkommenheiten“ sind ,immer‘ auch „notwendige Eigenschaften“, daher : — ‚PE_not‘ —. Das ,Dasein‘, die „Existenz“ ist ,immer‘ etwas „Positives“, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, und ,verankert‘ dieses Theorem damit zugleich in der ,theologisch‘-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES — AVICENNA — ANSELM — DESCARTES — LEIBNIZ — HEGEL, und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit.

Anmerkung-5 : Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül : „positive Eigenschaft“, bzw. „Vollkommenheit“ | „Perfektion“, — ‚P‘ — , dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für — ‚P‘ — gibt es keine explizite Definition ! (Das Theorem-1 besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-2. Axiom-2 besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘ — □ — aus sich, alle mit- und voneinander, impliziert sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für positive Eigenschaften : — ‚P‘ — . Definition-2 besagt, weil positive Eigenschaften impliziert voneinander abhängen, sind sie auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften in GOTT.) In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, — ‚G‘ —, die Rede : Korollar-1, „Es ist denkbar, dass es GOTT gibt“, Theorem-2, „Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES“, Theorem-3, „Weil GOTT denkbar, d.h. möglich ist, darum gibt es GOTT wirklich“, (wie ANSELM von Canterbury sagt, und was das »Privilegium der Gottheit allein« ist, nach LEIBNIZ), und Korollar-3, „Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT“. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, (was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist); außer im Theorem-2, in dem das „Dasein“ GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste „Wesenseigenschaft“ in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt (,angenommen‘), man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit »unabhängige« GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, (wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS), kann jedoch — bei aller ‚Coolness‘ — keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist zumindest, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, »die theologische Weltanschauung«, mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar«, d.h. logisch ,richtig‘ ist, während der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, »die atheistische Weltanschauung«, im Möglichkeitsbeweis zu unlösbaren Widersprüchen führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. (Die ,Logik‘ hat aber — bekanntlich — bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle ! )

Widerlegung

GÖDELS ,Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ des Nicht-GOTT-Glaubens
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.1)}}&\quad P\neg X\;\Longrightarrow \;\ \neg P\ X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 2)}}&\quad (P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Longrightarrow \ Y\ x))\Longrightarrow \ P\ Y&\ &{\text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X }}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) }}\\{\text{ }}&{\text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \;\neg \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)}}\\{\text{02}}&\quad (\neg x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“}}\\{\text{03}}&\quad (\ x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“}}\\{\text{04}}&\quad \neg \neg \Box \neg \exists x\ G\ x\ &\ &{\text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A] }}\\{\text{05}}&\quad \neg \neg \Box \neg \neg \forall x\neg \ G\ x\ &\ &{\text{:04:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] }}\\{\text{06}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall x\neg G\ x\ &\ &{\text{:05:NEG :: [¬¬A↔A] }}\\{\text{07}}&\quad \Box \;\forall x\neg G\ x\Leftrightarrow \ W&\ &{\text{:01:06:[(:01:↔W) → (├:06:↔W)] }}\\{\text{08}}&\quad \Box \;\forall x\ G\ x\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:07:[(¬A↔W)↔(A↔F)] }}\\{\text{ }}&{\text{„Jeder GOTT-Glaube ist ganz sicher falsch ! “}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{(die logische Konsequenz aus der Prämisse :01:)}}\\{\text{09}}&\quad \ (\neg x=x)\Leftrightarrow \ F\;\ &{\text{ }}&{\text{Xx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{10}}&\quad \Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&{\text{ }}&{\text{:08:09:[(:08:↔F) → (:09:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“}}\\{\text{11}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&\ &{\text{(A3):10:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]}}\\{\text{12}}&\quad \ (P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x)))\Rightarrow \;P(\neg x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) }}\\{\text{13}}&\quad \ P(\neg x=..)&\ &{\text{:11:12:[Modus ponens] }}\\{\text{14}}&\quad \ P(\neg x=..)\;\Rightarrow \ \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}}\\{\text{15}}&\quad \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{:13:14:[Modus ponens]}}\\{\text{16}}&\quad \ (x=x)\Leftrightarrow \ W\;\ &\ &{\text{Xx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !}}\\{\text{17}}&\quad \Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{:08:16:[(:08:↔F) → (:16:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“}}\\{\text{18}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{(A3):17:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]}}\\{\text{19}}&\quad \ (P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(x=x)))\Rightarrow \ P(x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))}}\\{\text{20}}&\quad \ P(\ x=..)\ &\ &{\text{:18:19:[Modus ponens]}}\\{\text{21}}&\quad {\text{ ├ }}\;(\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:15:20:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{22}}&\quad \neg \Diamond \;\exists x\ G\ x\Rightarrow (\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))&\ &{\text{:01:21:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{ }}&{\color {RedOrange}{\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was mit Term :22: bewiesen ist !}}\\{\text{23}}&\quad \neg \neg \Diamond \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:22:21:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}}\\{\text{24}}&\quad \;\Diamond \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:23:NEG; bzw. :01:21:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\;{\text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-6 : (Wenn man auch hier den Term — PX — im Axiom-2 weg lässt, dann braucht man auch Axiom-3 nicht. Der Beweisgang wird dadurch ,schlanker‘, ohne seine ,Stringenz‘ einzubüßen.) Dieser Beweisgang, (analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert), setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas „Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“, — P —, für die Welt voraus, (das im Axiom-3 GOTT zugeordnet wird : GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen); was im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, (als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ in unserer Welt), schon ,bewiesen‘ worden ist. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich vollkommen und nicht vollkommen sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass alle Vollkommenheiten gleichwertig sind. Die Eigenschaft — (¬x=..) — ,besagt‘, dass GOTT ,unvergleichlich‘ ist, wenn — x — für GOTT steht. Mit — G — wird der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition bezeichnet : der „GOTT“ der Christen, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit »mathematischer Evidenz« den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für GOTT.

Die Logik-Regel „ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“, (‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘), ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ (Folgerung) von Aussagen, die nur dann falsch, — F — ist, wenn das Antezedens wahr, — W —, und die Konsequenz falsch, — F — ist. Andernfalls ist sie immer wahr, — W —, auch wenn die Voraussetzung falsch, — F — ist : ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, — ,(A → B)‘ — „wenn A, dann B“. Damit ist auch der [ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] verstehbar; (vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘). Der positive hypothetische Syllogismus : [ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] ist aus der ersten Zeile ablesbar.

Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen $A$ und $B$ das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an :

Belegung		Konjunktion	Disjunktion	materiale Implikation	Äquivalenz Bikonditional	kopulative Konjunktion
$A$	$B$	$A$ und $B$	$A$ oder $B$	wenn $A$ dann $B$	sow. $A$ als auch $B$	entw. $A$ oder $B$
W	W	W	W	W	W	F
W	F	F	W	F	F	W
F	W	F	W	W	F	W
F	F	F	F	W	W	F

(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)

Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften nicht konsistent seien, (im 1. Beweisgang), bzw. der ,Annahme‘, es sei unmöglich, dass es einen GOTT gibt, (hier, in der Widerlegung), verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel für die ,materiale Implikation‘, entsprechend der Regel „ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“. Kurt GÖDEL war ein Ausnahme-Logiker.

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Fußnoten