Himmelsgesetze der Bewegung/ Druck in Fluiden

Einführung

(aus Wikipedia)

Mit der Wassertiefe steigt der Druck. Zum Hydrostatischen Druck hinzu kommt noch der w:Luftdruck an der Wasseroberfläche. Zu beachten sind die verschiedenen Maßstäbe an der y-Achse: In der Wassersäule steigt der Druck viel schneller an als in der Luftsäule.

Der Hydrostatische Druck am Boden ist trotz unterschiedlicher Füllmengen in allen drei Gefäßen gleich groß.

Der Hydrostatische Druck für Fluide mit konstanter Dichte im homogenen Schwerefeld (also, wenn konstante Dichte und Fallbeschleunigung angenommen wird), insbesondere Flüssigkeiten) berechnet sich nach dem pascalschen Gesetz (benannt nach Blaise Pascal):

$p(h)=\rho \cdot g\cdot h+p_{0}$

wobei:

$\rho$ = Dichte [für Wasser: $\rho$ ≈ 1.000 kg/m³]

$g$ = Fallbeschleunigung [in der nähe der Erdoberfläche: $g$ ≈ 9,81 m/s²]

$h$ = Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem betrachteten Punkt

$p_{0}$ = Luftdruck auf Flüssigkeitsoberfläche

$p(h)$ = hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels

Das (aus Griechisch stammende) Wort "statisch" (im "hydrostatischer") bedeutet, dass das Fluid sich in Ruhe befindet und sich nicht bewegt!

Erzeugung der Formel

Man fängt mit der Formel für den Druck an:

$p={\frac {F}{A}}$

Wir haben schon gelernt, dass

• $F=m\cdot a$
• $\rho ={\frac {m}{V}}$    daher   $m=\rho \cdot V$
• Die Beschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche (Fallbeschleunigung g) ist ungefähr konstant und ca. 9,81 m/s²

Daher gilt:

$F=m\cdot a=\rho \cdot V\cdot g$

Setzten wir letzteres in die Formel für den Druck ein, ergibt sich:

$p={\frac {F_{G}}{A}}={\frac {\rho \cdot V\cdot g}{A}}=\rho \cdot g\cdot {\frac {V}{A}}$  Formel I

F_G ist die Gewichtskraft. Der Bruch am Ende ist (z.B. bei einem Prisma) nichts anderes als die Höhe h. Also:

$p=\rho \cdot g\cdot h$

Hier haben wir aber angenommen, dass es keine Kraft auf der Oberfläche ausgeübt wird. Im Gegenfall kann man auch zeigen, dass zum Druck in einer gewissen Tiefe des Fluides der Druck auf der Oberfläche p_O addiert werden muss. Tatsächlich bei gleichbleibender Fläche der Säule des Fluides ist die Kraft am unteren Teil des Fluides F_U gleich der Gewichtskraft des Fluides F_G plus Kraft auf der Oberfläche F_O:

$F_{U}=F_{O}+F_{G}$    und daher     ${\frac {F_{U}}{A}}={\frac {F_{O}}{A}}+{\frac {F_{G}}{A}}$

Den letzten Bruch haben wir schon in der Formel I berechnet, ${\frac {F_{U}}{A}}$ ist der Druck in einer Tiefe h (h ist die Höhe der Säule des Fluides, also grundsätzlich eine Tiefe!), daher:

$p(h)=\rho \cdot g\cdot h+p_{0}$