Ing Mathematik: Funktionen

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Definiton[Bearbeiten]

Funktion
A und B seien Mengen. Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element dabei genau ein Element zuordnet (eindeutige Abbildung).

A heißt Definitionsbereich von f, B ist der Zielbereich und W der Wertebereich von f. nennt man Argument von f. mit bezeichnet man als "Bild von x unter f" oder "Funktionswert von f an der Stelle x".


Eine Funktion kann auch in Form eines Pfeildiagramms visualisiert werden


Mengenlehre pfeildiagramm.png


Verschiedene Schreibweisen[Bearbeiten]

  • Exakte Darstellung:
  • Abgekürzte Schreibweisen:
    • Funktion f von A nach B:
    • Funktionsgleichung in expliziter Form:
    • Funktionsgleichung in impliziter Form:
    • Funktionsgleichung in Parameterform:


Zwei Funktionen f und g sind dann gleich, wenn folgender Zusammenhang gilt:


Komposition von Funktionen[Bearbeiten]

Beispiel: Die Schallgeschwindigkeit c ist bei gleichbleibendem Druck und Dichte des Mediums abhängig vom Isentropenkoeffizienten . Das bedeutet . Gleichzeitig ist aber abhängig von der Temperatur T, also .

Die Zusammensetzung (Komposition) ergibt


Man schreibt für auch . Es ist auch zu beachten, dass


Formal kann eine Komposition von Funktionen folgendermaßen angeschrieben werden:

.


Bijektivität und Umkehrung[Bearbeiten]

Injektive Funktionen[Bearbeiten]

Mengenlehre injektiv.png


Injektive Funktion
Eine Funktion heißt injektiv (eineindeutig), wenn


Ist eine Funktion f injektiv und , so läßt sich eine Gleichung prinzipiell eindeutig nach x auflösen.


Beispiel: ist nicht injektiv, da

Surjektive Funktionen[Bearbeiten]

Gilt, dass der Wertebereich W einer Funktion f gleich dem Zielbereich B ist, so nennt man die Funktion surjektiv. Eine surjektive Funktion muss nicht unbedingt injektiv sein.


Bijektive Funktionen[Bearbeiten]

Ist eine Funktion f sowohl injektiv als auch surjektiv, so nennt man sie bijektiv. Zu jeder bijektiven Funktion existiert die Umkehrfunktion .

Umkehrfunktionen[Bearbeiten]

Mengenlehre umkehrfunktion.png


Umkehrfunktion
Ist eine injektive Funktion, so ist die Umkehrfunktion zu f. .

Monotonie und Beschränktheit[Bearbeiten]

Monotone Funktionen
Eine Funktion y=f(x) ist genau dann monoton steigend (fallend), wenn , bzw. für alle ist.
Eine weitere Unterscheidung ist "streng monoton steigend/fallend", wenn , bzw. für alle gilt.
Monoton steigende Funktion
Wird x größer, so wird auch y=f(x) größer oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

Monoton steigend.png

Monoton fallende Funktion
Wird x größer, so wird y=f(x) kleiner oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

Monoton fallend.png

Beschränkte Funktionen
Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen und gibt, sodass für alle x gilt.

Beispiel: und sind beschränkte Funktionen mit und .

Bezug zur Monotonie[Bearbeiten]

Satz Jede streng monotone Funktion ist injektiv. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht (kann aber).

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Symmetrische (gerade) Funktion
Eine Funktion heißt symmetrisch (zur Ordinate), wenn gilt f(x) = f(-x)

Beispiele: ,


Schiefsymmetrische (ungerade) Funktion
Eine Funktion heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt f(-x) = -f(x)
Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden

Beispiele: ,

Periodische Funktion
, wobei T als Periode der Funktion bezeichnet wird.

Beispiel: f(x)=sin(x) Periode T=Pi/2