Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

Ebenen

Vektordarstellung von Ebenen

Ebene mit Stützvektor und Richtungsvektoren

Werden (im Dreidimensionalen) an einen Stützvektor a die beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren u und v angehängt, so zeigt der Vektor x zu einem beliebigen Punkt P der von u und v aufgespannten Ebene, wenn

x = a + r u + s v (r,s = Zahlen).

Das heißt: diese Gleichung ist die Vektorgleichung einer Ebene. Weil r,s auch gelegentlich Parameter genannt werden, heißt die genannte Gleichung auch Parametergleichung der Ebene.
Ob ein Punkt P in einer solchen Ebene liegt, erfährt man, wenn man diese Ebenengleichung komponentenweise x₁ = ...., x₂ = ...., x₃ = .... anschreibt und in das so erzeugte Gleichungssystem die Koordinaten von P einsetzt. Aus zwei der Gleichungen kann r und s bestimmt werden, das auch noch in die dritte Gleichung passt, falls P in der Ebene liegt.
Um nachzuprüfen, ob vier Punkte in einer Ebene liegen – ob sie komplanar sind –, kann nachgeprüft werden, ob AB, AC, AD linear abhängig sind.

Die Dreipunktegleichung der Ebene

Sind F, G, und H drei Punkte, die nicht kollinear sind (d.h. sie liegen nicht in einer Linie), so kann man FG, FH als Richtungsvektoren verwenden, und den zu F führenden Vektor OF als Stützvektor. Dann ist (vgl.Abb.8)

FG = OG - OF

FH = OH - OF und die von F, G, H gebildete Ebene hat die Gleichung

x = OF + r FG + s FH

= OF + r (OG - OF) + s (OH - OF).

• BEISPIEL

Seien F(1| 2| 3), G (4| 6| 6) und H (7| 8| 8) drei nichtkollineare Punkte. (Nachweis: Durch F und G z. B. führt eine Gerade, auf der der dritte Punkt nicht liegt). Dann hat die Ebene, die durch diese drei Punkte geht, die Gleichung

x = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Wählt man für die Parameter r und s irgendwelche Zahlenwerte, so erhält man lauter Punkte der Ebene.

Normalenform der Ebenengleichung

Ist n ein Vektor, der senkrecht zu einer Ebene steht, so steht dieser Vektor zu allen Vektoren der Ebene senkrecht. Ist nun e ein solcher Vektor aus der Ebene, so gilt

n e = 0.

Weil e = x - a ist (vgl. Abb. 9), wird

n ( x - a) = 0

eine weitere Möglichkeit, eine Ebene zu beschreiben. Es ist die Normalenform der Ebenengleichung.

• BEISPIEL

Gegeben sei die Ebene

x = (1; 2; 3) + r (3; 4; 3) + s (6; 6; 5).

Da der Normalenvektor zu u und v senkrecht stehen muss, gilt

n u = n v = 0.

Also ist

n (3; 4; 3) = 0

n (6; 6; 5) = 0

Da dieses Gleichungssystem für die zu bestimmenden Werte n_i, i = 1, 2, 3 unterbestimmt ist, kann man nur z. B.

n₂ / n₃ = - 1 / 2

erhalten. Also ist etwa n₂ = 1, n₃ = -2 (oder auch Vielfache davon, die Länge von n ist frei wählbar.) Damit wäre dann

3 n₁ + 4 - 6 = 0, also n₁ = 2/3,

so daß

n_h = (2/3; 1; -2) oder

n = (2; 3; -6)

ein Normalenvektor ist. Damit lautet die Normalenform der vorgegebenen Ebene

(2; 3; -6) (x - (1; 2; 3) ) = 0

Die Bestimmung eines Normalenvektors

Weil u × v ein zu den Richtungsvektoren senkrecht stehender Vektor ist, kann man also auch über das Kreuzprodukt zu einem Normalenvektor gelangen. Wie wir bereits in 1.4.2 fanden, ist

n₁ = k ( u₂v₃ - u₃v₂ )

n₂ = k ( u₃v₁ - u₁v₃ )

n₃ = k ( u₁v₂ - u₂v₁ )

das heißt mit k = 1 wird

n = (u₂v₃ - u₃v₂; u₃v₁ - u₁v₃;u₁v₂ - u₂v₁ )

ein Normalenvektor.

• Beispiel

Für das zuletzt genannte Zahlenbeispiel wird damit wegen der in 1.4.3 angedeuteten Systematik und mit u =(3; 4; 3) und v = (6; 6; 5)

n₁ = 4.5 - 6.3 = 20 - 18 = 2

n₂ = 6.3 - 5.3 = 18 - 15 = 3

n₃ = 3.6 - 4.6 = 18 - 24 = -6

also n = (2; 3; -6), das ist derselbe Vektor wie oben auch.
Anschaulich klar ist: Zwei Ebenen im Dreidimensionalen sind parallel, wenn deren Normalenvektoren bis auf einen Faktor übereinstimmen.

Die HESSE-Normalform der Ebene

Wie bei den Geraden nennt man

n_o ( x - a ) = 0

die HESSE-Normalform der Ebenengleichung. Dabei ist auch hier n_o ein auf die Länge 1 gebrachter Normalenvektor.
Und auch jetzt erhält man den Abstand d eines Punktes P von einer Ebene, wenn man in der HESSE-Normalform dieser Ebene den Vektor x durch den Ortsvektor p des Punktes P ersetzt.
Noch etwas: Das Vorzeichen von d ermöglicht folgende Aussage: wenn n a = - c > 0 ist, so bedeutet

d>0, daß der Punkt P und der Ursprung O in verschiedenen Halbräumen liegen

d=0: der Punkt liegt in der Ebene

d<0: P und O liegen im gleichen Halbraum. (Ohne Beweis).

Ebenen und Geraden

Durchstoßpunkt von Gerade und Ebene

Eine Gerade x = a + rb und eine Ebene x = c + su + tv können sich in einem „Durchstoßpunkt“ D treffen, den man aus a + rb = c + su + tv erhält. Dies liefert 3 Gleichungen für die Parameter r, s, t. Dabei sollte die Gerade nicht in der Ebene liegen oder zu ihr parallel sein. Ob eine Gerade in einer Ebene liegt, kann man nachprüfen: man untersucht, ob zwei beliebige Punkte der Geraden in der Ebene liegen. Andererseits ist eine Gerade parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene ist.

Die Schnittgerade zweier nicht parallelen Ebenen

Gegeben seien zwei Ebenen in der Form

x₁ = a + p u₁ + q v₁

x₂ = b + r u₂ + s v₂.

Diese beiden Ebenen sind nicht parallel zueinander, wenn ein Normalenvektor der ersten Ebene nicht Vielfaches eines Normalenvektors der zweiten Ebene ist.
Die Nichtparallelität kann man aber auch anders haben (s.Abb): Zwei Ebenen sind nicht parallel, wenn u₁, v₁, u₂ linear unabhängig sind. Falls dies nicht der Fall ist, so sollten u₁, v₁, und v₂ linear unabhängig sein.
(In der Abb. ist u₂ Linearkombination von u₁, v₁, d. h. diese drei Vektoren sind linear abhängig. v₂ aber kann nicht aus u₁, v₁ linear kombiniert werden, d.h. diese drei Vektoren sind linear unabhängig. In der Abbildung 10 schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden, die den Vektor u₂ enthält.

Um schließlich die Schnittgerade der beiden (nicht parallelen) Ebenen zu erhalten, setzt man gleich:

a + p u₁ + q v₁ =

b + r u₂ + s v₂. Dies ergibt drei Gleichungen zur Berechnung der Parameter p, q, r, s. Man kann bei diesem „unterbestimmten“ Gleichungssystem einen der vier Parameter auf die rechte Seite bringen und das Gleichungssystem nach den restlichen drei Parametern lösen. Die Lösung enthält dann noch den hinübergeschafften Parameter. Klar: Die gesuchte Schnittgerade muß ja einen Parameter haben !. Dabei sollte man denjenigen Parameter auf die rechte Seite bringen, so daß die verbleibenden Parameter zu Vektoren gehören, die linear unabhängig sind. Denn dann gibt es eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems für die verbliebenen Parameter.

• BEISPIEL

Vorgegeben sind die beiden Ebenen

x₁ = (1; 3; 2) + p (1; 2; 4) + q (5; -5; 2) und

x₂ = (1; 3; 3) + r (2; -1; 3) + s (1; -3; 2).

Sind u₁ = (1; 2; 4), v₁= (5; -5; 2) und u₂ = (2; -1; 3) linear unabhängig ? Zur Beantwortung dieser Frage machen wir den Ansatz:

k (1; 2; 4) + m (5; -5; 2) + t (2; -1; 3) = 0, d.h. es ist

1 k + 5 m + 2 t = 0

2 k - 5 m - t = 0

4k + 2 m + 3 t = 0.

Man rechnet nach, daß dieses Gleichungssystem nur die Lösung k = 0, m = 0, t = 0 hat, die genannten Vektoren sind also linear unabhängig, die beiden Ebenen liegen nicht parallel.
Gleichsetzen der beiden Ebenengleichungen liefert

1 + 1 p + 5 q = 1 + 2 r + 1 s

3 + 2 p - 5 q = 3 - 1 r - 3 s

2 + 4 p + 2 q = 3 + 3 r + 2 s

oder

1 p + 5 q - 2 r - 1 s = 0

2 p - 5 q + 1 r + 3 s = 0

4 p + 2 q - 3 r - 2 s = 0.

Da wir bereits nachgerechnet haben, dass (1; 2; 4), (5; -5; 2), (-2; 1; -3) linear unabhängige Vektoren sind, schaffen wir den Parameter s auf die rechten Seiten und lösen also

1 p + 5 q - 2 r = 1 s

2 p - 5 q + 1 r = - 3 s

4 p + 2 q - 3 r = 2 s .

Dieses System hat die Lösungen:

q = - s, r = - 4 s, p = - 2s.

Setzen wir dann r = - 4 s in die zweite Ebenengleichung ein, so wird

x = (1; 3; 3) - 4 s (2; -1; 3) + s (1; -3; 2), also

x = (1; 3; 3) - s ( -7; 1; -10)

die Gleichung der gesuchten Schnittgeraden.
Eine zusätzliche Anmerkung: Eine Ebene schneidet die Koordinatenebenen (die „Wände“) normalerweise jeweils in einer Spurgeraden. Deren Gleichung erhält man, wenn man ausrechnet, wo die Ebene die Koordinatenachsen trifft. Sind D_i, i = 1, 2, 3 diese Treffpunkte auf den Koordinatenachsen, so ist die Gerade durch D₁, D₂ die erste Spurgerade, usw.

Der Winkel zwischen Ebenen

Da unter dem Winkel zwischen zwei Ebenen der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren verstanden wird, kann man die Formel

$\cos \phi \,={\frac {\left|n_{1}n_{2}\right|}{\left|n_{1}\right|\left|n_{2}\right|}}$

verwenden.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Man berechnet zuerst den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene. Die Ergänzung zu 90° ergibt den gesuchten Winkel.

Parameterfreie Darstellungen

Die parameterfreie Darstellung der Geraden in der Ebene

Aus der Vektorgleichung : x = a + k u der Parameterdarstellung der Geraden, folgt

x₁ = a₁ + k u₁

x₂ = a₂ + k u₂, d.h. k = (x₂ - a₂) / u₂.

Setzen wir dieses k in die erste Gleichung ein, erhält man

x₁ = a₁ + ( x₂-a₂ ) (u₁ / u₂ ), d.h.

u₂x₁ - u₁x₂ - (a₁u₂ - a₂u₁ )= 0, kurz

A x₁ + B x₂ + C = 0.

Dies ist eine Darstellung der Geraden ohne einen Parameter (parameterfreie Darstellung oder Koordinatendarstellung der Geraden ).

• BEISPIEL

Aus x = (0; 5) + k (3; -4) folgt - 4 x₁ - 3 x₂ = - 15 oder 4 x₁ + 3 x₂ = 15.
Versucht man im Dreidimensionalen wie gerade eben den Parameter k aus der Parameterdarstellung einer Geraden zu entfernen, so erhält man je nach Gleichungsmanipulation lauter verschiedene Gleichungen, die zwar parameterfrei sind, aber verschiedene Geraden darstellen. Wir halten fest: Im R³ gibt es keine einzelne parameterfreie Darstellung für eine Gerade. Wir werden sehen, daß zwei parameterfreie Gleichungen, die sich schneidende Ebenen darstellen, ersatzweise für die fehlende Darstellung herhalten können.

Ein Normalenvektor

Aus der vektoriellen Normalenform der Geradengleichung

n ( x - a ) = 0 folgt

n₁(x₁ - a₁) + n₂ (x₂ - a₂) = 0 oder

n₁x₁ + n₂x₂ - (n₁a₁ + n₂a₂ ) = 0.

Vergleicht man mit

A x₁ + B x₂ + C = 0 (*)

so kann also aus der parameterfreien Darstellung der Geraden sofort ein Normalenvektor abgelesen werden.

• BEISPIEL

Die Gerade 4 x₁ + 3 x₂ = 15 hat (4; 3) als Normalenvektor. Es gibt, wie schon bemerkt wurde, keine parameterfreie Darstellung einer Geraden im Raum, jedoch eine solche einer Ebene. aus x = a + p u + q v folgt nämlich

x₁ = a₁ + p u₁ + q v₁

x₂ = a₂ + p u₂ + q v₂

x₃ = a₃ + p u₃ + q v₃.

Aus zwei dieser drei Gleichungen kann man p und q berechnen und die Ergebnisse werden dann in der übriggebliebenen dritten Gleichung eingesetzt. Man erhält so eine Ebenengleichung in der Form

A x₁ + B x₂ + C x₃ = D.

Dabei dürfen nicht alle Koeffizienten A, B und C gleichzeitig Null sein. Denn für A = B = C = 0 und D ungleich Null gibt es in (*) keine Lösung und wenn alle vier Werte Null sind, passt jedes Tripel x₁, x₂, x₃ in die Ebenengleichung.
Die „Punktprobe“ - d. h. die Rechnung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder nicht liegt (Einsetzen der x₁, x₂, x₃ - Werte des Punktes in die Ebenengleichung) ist übrigens bei der parameterfreien Darstellung (*) besonders schnell.

• BEISPIEL

x = (2; 1; -1) + p (1; -1; -1) + q (-3; 1; 4 ) führt zur (parameterfreien) Koordinatendarstellung der Ebene:

3 x₁ + x₂ + 2 x₃ = 5.

Dann ist (wie oben) noch n = (3; 1; 2) ein Normalenform für die Ebene.

Verschiedene Parameterdarstellungen derselben Ebene

Von einer Koordinatendarstellung (einer Ebene) gelangt man zu der Vektordarstellung (mit zwei Parametern für die Richtungsvektoren), wenn man zwei der Koordinaten x₁, x₂, x₃ als Parameter p und q schreibt, z.B. x₁ = p, x₃ = q und man die dritte, z.B. x₂ im letztgenannten Beispiel, x₂ = - 3 p - 2 q + 5 aufschreibt. Damit erhält man

(x₁, x₂, x₃) = ( ;5; ) + p ( ;-3; ) + q( ;-2; ).

Da wir x₁ = p, x₃ = q gewählt hatten, können die Leerstellen ausgefüllt werden. Wir bekommen so

(x₁, x₂, x₃) = (0 ;5; 0) + p (1 ;-3; 0) + q(0 ;-2; 1).

Dies ist aber nicht die Parameterdarstellung der Ebene, von der wir ausgegangen sind. Sie stellt aber dennoch dieselbe Ebene dar, denn beide (verschiedene) Parameterdarstellungen führen auf dieselbe Koordinatendarstellung der Ebene. Man redet also sinnvollerweise nicht von d e r Parameterdarstellung, sondern von einer Parameterdarstellung einer Ebene.

Gleichungssysteme

Die bisherigen Darlegungen zeigen, daß es immer wieder um die Lösung von Gleichungssystemen geht. Das führt zu Überlegungen, wie Lösungsverfahren systematisiert werden können. Diesbezüglich wird auf das Kapitel „Lineare Gleichungssysteme“ hingewiesen.