Lineare Algebra: Vektorrechnung: Vektoren

Vektoren

Geometrische Definition eines Vektors

In der (Zeichen-)Ebene gelangt man z.B.von einem Punkt A zu einem Zielpunkt B, wenn man weiß, wie weit und in welche Richtung man wandern muss. Solche Größen, zu deren Charakterisierung neben dem Zahlenwert (in der Abb.1 die Streckenlänge) auch noch eine Richtungsangabe (etwa NNO) erforderlich ist, kommen u.a.in der Physik öfter vor; Kraft, Geschwindigkeit, Drehmoment und elektrische Feldstärke sind Beispiele hierfür.
Im Bild nennen wir die gerichtete Strecke (nach HAMILTON (1805-1865)) den Vektor

${\overrightarrow {\mbox{AB}}}$.

Durch die Vorgabe eines solchen Vektors kann auch die Verschiebung (Translation) der Ebene gekennzeichnet werden. Da dann jeder Vektor der gleichen Länge (Betrag) und Richtung (im Bild zum Beispiel der von O nach C weisende) dasselbe bewirkt, nennt man

${{\overrightarrow {\mbox{AB}}},{\overrightarrow {\mbox{OC}}},...}$.

jeweils einen Repräsentanten dieser unendlich vielen Vektoren, oder anders ausgedrückt: der freie Vektor kennzeichnet eine ganze Klasse von parallelgleichen Vektoren.

Zum Rechnen mit Vektoren

Um die Lage der Punkte A, B, C,... in der (Zeichen-)Ebene wertmäßig beschreiben zu können, kann man ein (oft rechtwinkliges, sog.orthogonales) Koordinatensystem (KOS) verwenden, indem man zwei zueinander senkrecht stehende Achsen x₁ und x₂ benutzt, auf denen meist gleiche Einheiten abgetragen werden. Dann führen zu den Punkten A, B, C, ... die Ortsvektoren

${{\overrightarrow {\mbox{OA}}},{\overrightarrow {\mbox{OB}}},{\overrightarrow {\mbox{OC}}},...}$.

die in Abb.2 durch

${{\overrightarrow {\mbox{OA}}}=(5;1),{\overrightarrow {\mbox{OB}}}=(6;4),{\overrightarrow {\mbox{OC}}}=(1;3),...}$.

beschrieben werden. Manchmal verwendet man anstelle dieser Zeilenvektoren auch Spaltenvektoren in der Schreibweise

${{\overrightarrow {\mbox{OA}}}={5 \choose 1},{\overrightarrow {\mbox{OB}}}={6 \choose 4},{\overrightarrow {\mbox{OC}}}={1 \choose 3}}$.

Der von A nach B führende Vektor ist dann

${{\overrightarrow {\mbox{AB}}}=(1;3)}$

Addition von Vektoren

Zum Punkt B kann man auch über O und A und von dort nach B gelangen. Dafür schreiben wir

${{\overrightarrow {\mbox{OA}}}\circ {\overrightarrow {\mbox{AB}}}=(5;1)\circ (1;3)}$.

Weil

${\overrightarrow {\mbox{OB}}}=(6;4)$

ist. ergibt sich

(6; 4) = (5; 1) o (1; 3)

Man nennt eine solche Verknüpfung o der beiden Vektoren

${\overrightarrow {\mbox{OA}}},{\overrightarrow {\mbox{AB}}}$

die Addition dieser Vektoren und schreibt

${\overrightarrow {\mbox{OA}}}+{\overrightarrow {\mbox{AB}}}={\overrightarrow {\mbox{OB}}}.$

In Verallgemeinerung ergibt sich für zwei Vektoren, die wir ab jetzt meist als fettgedruckte Buchstaben schreiben, also a = (a₁, a₂) und b = (b₁, b₂) die folgende Definition der Vektoraddition:

a + b = (a₁, a₂) + (b₁, b₂) = ((a₁ + b₁), (a₂ + b₂))

Geometrisch reicht der Summenvektor s = a + b vom Anfang des Vektors a zum Endpunkt (Pfeilspitze) des Vektors b.

Multiplikation mit einem Skalar

Damit wird auch z.B. a + a = (2a₁, 2a₂), kurz 2a und allgemein ist

k · a = ka = k (a₁, a₂) = (ka₁, ka₂),

das ist die Multiplikation eines Vektors mit einem "Skalar" (Zahl) k.
Für k = -1 wird aus a der Vektor -a:

-1 · a = (-a₁, -a₂),

das ist der Vektor, der gleichlang ist wie a, aber die entgegengesetzte Richtung hat (Gegenvektor zu a). Dann ist noch a - a = a + -a der "Nullvektor" 0 und es wird deutlich, wie man den Vektor c = a - b, nämlich als c = a + - b zeichnet.

Vektorraum. Basis

Es ist leicht nachzuweisen, dass die genannte Vektoraddition zusammen mit der Skalarmultiplikation die Menge V der Vektoren zu einer (algebraischen) Struktur machen, die folgende Eigenschaften aufweist:

• Die erklärte Verknüpfung "+" ist eine innere Verknüpfung auf V, das heißt: zwei addierte Vektoren aus V bilden wieder einen Vektor, der zu V gehört
• Die Verknüpfung "+" ist assoziativ, d.h. es ist (a + b) + c = a + (b + c)
• Es gibt ein neutrales Element, nämlich den Nullvektor 0: a + 0 = 0 + a = a
• Zu jedem Vektor a gibt es einen Gegenvektor - a, so dass a + - a = 0 ist.

Mit diesen vier Eigenschaften bildet (V, +) eine in der Algebra definierte Gruppe, die wegen a + b = b + a auch noch eine kommutative oder abelsche Gruppe genannt wird.
Darüber hinaus gibt es noch die Verknüpfung des Skalars k mit a aus (V, +), die folgende Eigenschaften hat

• ( k₁ · k₂ )a = k₁ · ( k₂ a )

( k₁ + k₂ )a = k₁ a + k₂ a und

a ( k₁ + k₂ ) = a k₁ + a k₂

1 a = a

Eine derartige Struktur, nämlich abelsche Gruppe zusammen mit den letztgenannten vier Eigenschaften der Skalarmultiplikation, die in der Algebra häufiger anzutreffen ist, nennt man einen Vektorraum, auch linearen Raum (s.Kapitel 4) und so wird verständlich, wenn ein Vektor als Elements eines Vektorraumes definiert wird.
Punkte im "Dreidimensionalen" haben drei Koordinaten, Vektoren kann man dort durch a = (a₁, a₂, a₃) kennzeichnen. Entsprechende Schreibweisen sind für vier-dimensionale, ..., n-dimensionale Vektoren üblich.

• BEISPIEL

Im Parallelogramm von Abb.2 sind OB und AC die Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Ist M der Diagonalenschnittpunkt, so gilt, wenn m,a,b der von O nach M, A, B zeigende, c der von A nach B weisende Vektor ist,

m = 0,5 b = 0,5 (a + c ).

Mit den obigen Zahlenwerten wird somit

m = 0,5 ( (5; 1) + (1; 3 ) ) = 0,5 (6; 4) = (3; 2).

Also hat M die Koordinaten (3 | 2), weil m der Ortsvektor von M ist.
Man sagt übrigens, wenn m = 0,5 a + 0,5 c ist, allgemein wenn

d = ra + sb (mit r und s = reell)

dass der Vektor d aus den Vektoren a und b linear kombiniert worden sei, oder kurz: d ist eine Linearkombination der Vektoren a und b.

• BEISPIEL

e₁ und e₂ Einheitsvektoren (das sind Vektoren der Länge 1), welche die Koordinatenachsen "erzeugen", so kann etwa a als Linearkombination von e₁ und e₂ dargestellt werden, nämlich

a = 5 e₁ + 1 e₂.

Man kann jeden Vektor als Linearkombination von solchen Basisvektoren e₁ und e₂ darstellen, die nicht unbedingt aufeinander senkrecht stehen müssen.

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Die beiden Vektoren e₁ und e₂ sind sogenannte linear unabhängige Vektoren. Zwei Vektoren a und b heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

r a + s b = 0

nur dann erfüllt ist, wenn die Koeffizienten r und s beide 0 sind. (Wenn r a + s b = 0 ist, und wenigstens einer der Koeffizienten r oder s ungleich 0 ist, heißen a und b linear abhängige Vektoren. Falls etwa r ungleich Null ist, so ist a = - s/r b, b liegt "in Linie" mit a).
Es kann schnell nachgerechnet werden, dass e₁ und e₂ linear unabhängige Vektoren sind. Denn aus

r e₁ + s e₂ = 0

folgt

r(1; 0) + s(0; 1) = (0; 0), d.h. es ist

r · 1 + s · 0 = 0, also ist r = 0

r · 0 + s · 1 = 0, also ist s = 0.

Der Begriff der Dimension stützt sich übrigens auf den der linearen Unabhängigkeit. Denn sind e₁ und e₂ zwei linear unabhängige Vektoren, und nehmen wir eine dritten Vektor e₃ hinzu, so gibt es drei Zahlen r, s, t derart , dass

r e₁ + s e₂ + t e₃ = 0 ist. Dann muß t ungleich Null sein, da sonst e₁ und e₂ linear abhängig wären. Man kann also r' = - r/t und s' = - s/t wählen, und damit wird

-r' t e₁ -s' t e₂ + t e₃ = 0, d.h.

- r' e₁ - s' e₂ + e₃ = 0 oder

e₃ = r' e₁ + s' e₂.

Jeder weitere Vektor e₃ ist also als Linearkombination der beiden Vektoren e₁ und e₂ darstellbar. e₁ und e₂ bilden eine Basis, die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren bestimmt die Dimension des Raumes.

• BEISPIEL

Da es drei linear unabhängige Vektoren e₁ = (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0) und e₃ = (0; 0; 1) gibt (Nachweis wie eben), ein Vektor a = (a₁, a₂, a₃) sich linear aus den drei Vektoren kombinieren läßt, bilden e₁ = (1; 0; 0), e₂ = (0; 1; 0) und e₃ = (0; 0; 1) eine Basis für einen dreidimensionalen Vektorraum.

Vektorprodukte

Speziell in der Geometrie sind Winkelberechnungen von Wichtigkeit. Sind a und b zwei Vektoren, so interessieren wir uns für den Winkel φ zwischen diesen Vektoren (vgl.Abb3). Offenbar ist

${\varphi =\varphi _{b}-\varphi _{a}}$

Für φ_a und φ_b gilt, wenn a und b die Längen der Vektoren a, b sind und z.B. a₁ die waagrechte "Komponente" von a ist (vgl.Abb.3)

a₁ = a cos φ_a und a₂ = a sin φ_a

b₁ = b cos φ_b und b₂ = b sin φ_b. (*)

Mit den Additionstheoremen der Trigonometrie erhält man damit

cos φ = cos (φ_b - φ_a) = cos φ_acos φ_b + sin φ_a sin φ_b

sin φ = sin (φ_b - φ_a) = cos φ_a sin φ_b - cos φ_b sin φ_a.

Daraus folgt mit den Gleichungen (*)

cos φ = a₁ b₁ / ab + a₂ b₂ / ab, also

cos φ = (a₁ b₁ + a₂ b₂ ) / ab

und

sin φ = (a₁ b₂ - a₂ b₁ ) / ab

oder auch

(a₁ b₁ + a₂ b₂ ) = a b cos φ

(a₁ b₂ - a₂ b₁ ) = a b sin φ
(**)

Das innere Produkt (Skalarprodukt)

a₁ b₁ + a₂ b₂ ist eine spezielle "Verknüpfung" a o b der beiden Vektoren a und b, nämlich (vgl.die rechte Seite der ersten Gleichung von (**)) das Produkt der beiden Längen a und b mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels. Zudem erinnert a₁ b₁ + a₂ b₂ für b₁ = b₂ an das Distributivgesetz bei Zahlen. Wenn nun also das Distributivgesetz für unsere neue Verknüpfung a o b erfüllt sein sollte, so liegt es nahe, a₁ b₁ + a₂ b₂ als Produkt zu bezeichnen, weil "distributiv bezüglich der Addition" ein Charakteristikum einer Produktbildung ist.
Nun ist

a o (b + c)

= (a₁; a₂) o ( b₁ + c₁, b₂ + c₂ )

= a₁ (b₁ + c₁) + a₂ (b₂ + c₂)

= a₁b₁ + a₁c₁ + a₂b₂ +a₂c₂

= a₁b₁ + a₂b₂ + a₁c₁ + a₂c₂

= a o b + a o c.

Das bedeutet also, unsere Verknüpfung "o" ist distributiv bezüglich der Addition und man nennt daher (weil a₁ b₁ + a₂ b₂ ein "Skalar" ist) diese Verknüpfung das innere Produkt (auch Skalarprodukt) der beiden Vektoren und schreibt

a·b = a b = a₁ b₁ + a₂ b₂.

Eigenschaften des inneren Produkts

• Das innere Produkt ist kommutativ: a b = b a
• Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist durch

$cos\ \varphi ={\frac {\mathbf {a\ b} }{(a\cdot b)}}$.

bestimmt.

• Die Länge (der Betrag) eines Vektors.
  

Für a = b wird der Winkel zwischen den Vektoren Null, also hat der Cosinus dieses Winkels den Wert 1, und damit gilt

1 = cos φ = a · a / a · a, d.h.

a² = a · a.

Die Länge des Vektors a wird durch

$a=+{\sqrt {\mathbf {a\ a} }}$

berechnet.(Beachte: Es ist aber nicht: √(a · a) = a, weil hier links ein Skalar, rechts ein Vektor steht !)

BEISPIEL

Mit a = (3; 4) wird a = √ (3² + 4²) = √ 25 = 5.
Anmerkung
Diese "innere Multiplikation" hat keine Umkehrung, man kann also nicht durch einen Vektor dividieren. Z.B. folgt aus a b = a c nicht, dass b = c ist. Aus a b = a c folgt vielmehr a b - a c = 0 oder a ( b - c ) = 0, d.h. es ist a oder ( b - c ) = 0 oder aber a und ( b - c ) stehen senkrecht aufeinander.

Das äußere Produkt (Kreuzprodukt)

Ist auch durch die zweite Gleichung von (**) ein Produkt definiert? Dazu untersuchen wir auch jetzt auf (charakteristische) Distributivität ! Es ist

a o (b + c) ist nach den zweiten Gleichungen

= (a₁, a₂) o ( b₁ + c₁, b₂ + c₂ )

= a₁ (b₂ + c₂ ) - a₂ (b₁ + c₁ )

= a₁ b₂ + a₁ c₂ - (a₂ b₁ + a₂ c₁ )

= a₁ b₂ - a₂ b₂ + a₁ c₂ - a₂ c₁

= a o b + a o c.

Diese zweite Verknüpfung ist demnach auch ein Produkt. Man nennt es das Kreuzprodukt oder das äußere Produkt (manchmal auch nur Vektorprodukt) und schreibt

$\mathbf {a\times b} =a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

und es gilt

a × b + a × c = a × (b + c )

Manchmal trifft man auch auf die Schreibweise [a, b] für das äußere Produkt.
Ist b der erste, a der zweite Vektor, so ist φ durch - φ zu ersetzen. Dann ist auch sin (-φ) = - sin φ und damit wird

(b × a) = - (a × b)

Das Kreuzprodukt ist also im Gegensatz zum Inneren Produkt nicht kommutativ, es ist ein alternierendes Produkt.
Wenn b = a ist, aber auch wenn b = k a ist, verschwindet das Kreuzprodukt. (Denn dann ist der Winkel und auch sein Sinus 0). Weil dann

a × (b + k a) = (a × b) + (a × k a) = a × b

gilt, kann man also ein Vielfaches des einen Vektors zum anderen addieren, ohne dass sich das Kreuzprodukt ändert.
Benutzt man die rechten Seiten der Gleichungen (**), so zeigt eine einfache Skizze, dass (in der Ebene)

• der Zahlenwert des inneren Produkts das Produkt aus der Länge des einen Vektors und der senkrechten Projektion des anderen auf den ersten ist
• der Zahlenwert des äußeren Produkts gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms ist.
  

Oft wird (im Dreidimensionalen) ein Vektor c = ( c₁, c₂, c₃ ) benötigt, der zu zwei anderen, a und b senkrecht steht. Dies führt zum Ansatz:

c a = c₁a₁ + c₂a₂ + c₃a₃ = 0 und

c b = c₁b₁ + c₂b₂ + c₃b₃ = 0.

Für die "Komponenten" c₁, c₂, c₃ erhält man durch formales Lösen dieses Gleichungssystems die unendlich vielen Lösungen

c₁ = k ( a₂b₃ - a₃b₂ )

c₂ = k ( - a₁b₃ + a₃b₁ )

c₃ = k ( a₁b₂ - a₂b₁ )

Berechnet man den Betrag dieses Vektors, so erhält man

c c

= [ k {(a₂b₃ - a₃b₂), (a₁b₃ - a₃b₁), (a₁b₂ - a₂b₁)} ]²

= k² [(a₂b₃ - a₃b₂)² + (a₁b₃ - a₃b₂)² + (a₁b₂ - a₂b₁)²]

= k² [a₁²b₂² - 2 a₁b₂a₂b₁ + a₂²b₁²

+ a₁²b₃² - 2 a₁b₃a₃b₁ + a₃²b₁²

+ a₂²b₃² - 2 a₂b₃b₂a₃ + a₃²b₂²]

Diesen recht unübersichtlichen letzten Term kann man kürzer schreiben, wenn zu jeweils drei Summanden a₁²b₁² bzw a₂²b₂² bzw a₃²b₃² hinzuaddiert und wieder subtrahiert wird. Dann erhält man nämlich nach Umordnen

= k² [(a b)² - (a₁²b₁² + 2 a₂b₂ a₃b₃

+ a₂²b₂² + 2 a₁b₁ a₃b₃

+ a₃²b₃² + 2 a₁b₁ a₂b₂ ) ]

= k² [(a b)² - (a b)²]

= k² [(a b)² - ( a b cos φ )²]

= k² [(a ² b) ² {1 - cos ² φ }

Das heißt: c hat den Betrag ± k a b sin φ .Es ist aber, wie eben festgestellt wurde, a b sin φ der Wert des von a, b gebildeten Produkts. Damit gilt

c = k (a × b) ist ein zu a, b senkrecht stehender Vektor mit dem Betrag k a b sin φ.

Wie nun sehen die Komponenten von a × b aus, ausgedrückt in den "Bausteinen" a_i, b_i ? Um dieselben zu berechnen, verwenden wir ein (rechtshändiges) Dreibein aus Einheitsvektoren i, j und k, indem wir a und b durch diese drei (senkrechtstehenden) Vektoren (der Länge 1) darstellen:
Aus

a = a₁ i + a₂ j + a₃ k und

b = b₁ i + b₂ j + b₃ k

folgt unter Beachtung von i × i = j × j = k × k = 0 und i × j = k, j × k = i, bzw k × i = j (die drei Vektoren sollen ein rechtshändiges Dreibein bilden !) aus

a × b = ( a₁ i + a₂ j + a₃ k ) × b₁ i + b₂ j + b₃ k )

= a₁b₂ (i × j) + a₁b₃ (i × k)

+ a₂b₁ (j × i) + a₂b₂ (j × k)

+ a₃b₁ (k × i) + a₃b₂ (k × j).

Da das Kreuzprodukt alternierend ist, wird schließlich

a × b

= (a₂b₃ - a₃b₂ ) i

- (a₁b₃ - a₃b₁ ) j

+ (a₁b₂ - a₂b₁ ) k,

d.h. c = a × b hat die Komponenten

(a₂b₃ - a₃b₂ ), (a₁b₃ - a₃b₁ ) bzw. (a₁b₂ - a₂b₁ ).

Fassen wir zusammen:

• Der Vektor c steht senkrecht auf der von a, b aufgespannten Ebene und hat den Betrag |a × b| = a b sin φ.
• Seine Komponenten sind:

c₁ = ( a₂b₃ - a₃b₂ )

c₂ = ( a₃b₁ - a₁b₃ )

c₃ = ( a₁b₂ - a₂b₁ ).

• Das Kreuzprodukt ist alternierend (Vertauschung der Faktoren bedingt ein Vorzeichenwechsel)
• Das Kreuzprodukt ist distributiv.

Anmerkungen zu den Produktbildungen

Zum inneren Produkt

• Das innere Produkt kann in einem Vektorraum beliebiger Dimension berechnet werden.
  

• BEISPIEL
  

Sind (2 kg Äpfel, 3 kg Birnen, 5 kg Pflaumen, 1 kg Aprikosen) und (1,50 Euro/kg, 2 Euro/kg, 1,80 Euro/kg, 2,50 Euro/kg) zwei (nicht geometrische !) vierdimensionale Vektoren, so errechnet sich der Preis der gesamten Ware als "Skalarprodukt" dieser beiden Vektoren. Man kann leicht nachrechnen, dass der Gesamtpreis 20,50 Euro beträgt.

• Das Skalarprodukt kann zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren a und b verwendet werden:

cos φ = a b / a b

Insbesondere stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, wenn ihr inneres Produkt Null ist.

• In der Physik tritt das Skalarprodukt beispielsweise bei der (mechanischen) Arbeit W = F s = F s cos φ auf. Dabei ist s der Weg, F eine auf diesem Weg wirkende Kraft, und φ der Winkel zwischen F und s. Demzufolge definiert die Elektrizitätslehre mit dem von A nach B erstreckten Integral W = - Q ∫ E ds diejenige Arbeit, die an der Ladung Q im elektrischen Feld (der Feldstärke E) bei einer Verschiebung auf dem Weg s von A nach B verrichtet wird. Da die Spannung U auftritt, wenn W auf Q angewandt wird, ist U = - ∫ E ds, wobei das Integral ebenfalls die Grenzen A und B hat.

Zum äußeren Produkt

• Unter Verwendung des äußeren Produkts sind übersichtliche Gleichungen zu Geraden und Ebenen (im Dreidimensionalen) möglich (s.Abschnitte GERADEN, EBENEN). Auch Abstände bei windschiefen Geraden lassen sich elegant bestimmen.
• Sind a und b (im Dreidimensionalen) linear unabhängige Vektoren, so kann das Tripel a, b, a × b als Basis dieses Raumes genommen werden.
• In der Physik begegnet man ebenfalls diesem Kreuzprodukt. Dort ist z.B. M = r × F das Drehmoment, welches die Kraft F am Hebelarm r hervorruft. Oder: F = e v × B ist die Kraft, die im Magnetfeld B auf die mit v bewegte Ladung e ausgeübt wird.

  

  
  

Das Spatprodukt Mit drei Vektoren a, b und c kann (im Dreidimensionalen) die Kombination der vorgenannten Produkte gebildet werden. Man kann etwa das äußere Produkt zweier Vektoren 'a und b skalar verknüpfen mit einem dritten Vektor c und erhält

( a × b ) c

( a₂b₃ - a₃b₂ ) c₁ - ( a₃b₁ - a₁b₃ ) c₂ + ( a₁b₂ - a₂b₁ ) c₃   (*)

nennt man das '''Spatprodukt''' der drei Vektoren a, b, und c. das den Rauminhalt des von diesen drei Vektoren aufgespannten "Spats" ("Parallelepiped", s.Abb.4) angibt. |a × b| = a b sin φ ist nämlich der Flächeninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms. Weil ( a × b ) c = | a × b | c cos ψ und c cos ψ die senkrechte Projektion von c auf den Vektor a × b ist, also die Höhe des Spats darstellt, ist dessen Volumen ( a × b ) c.
Es ist in der zuletzt genannten Summe (*) leicht eine systematische Anordnung der a_i, b_i, c_i auszumachen. Eine solche Systematik wird noch deutlicher, wenn man die genannte Summe in der Form

${\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}c_{1}-{\begin{vmatrix}a_{3}&b_{3}\\a_{1}&b_{1}\end{vmatrix}}c_{2}+{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}c_{3}$ $={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{vmatrix}}$

schreibt. Genaueres soll im Kapitel Determinanten behandelt werden.