Lineare Algebra: Vektorrechnung: Vektoren

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Vektoren[Bearbeiten]

Geometrische Definition eines Vektors[Bearbeiten]

In der (Zeichen-)Ebene gelangt man z.B.von einem Punkt A zu einem Zielpunkt B, wenn man weiß, wie weit und in welche Richtung man wandern muss. Solche Größen, zu deren Charakterisierung neben dem Zahlenwert (in der Abb.1 die Streckenlänge) auch noch eine Richtungsangabe (etwa NNO) erforderlich ist, kommen u.a.in der Physik öfter vor; Kraft, Geschwindigkeit, Drehmoment und elektrische Feldstärke sind Beispiele hierfür.
Im Bild nennen wir die gerichtete Strecke (nach HAMILTON (1805-1865)) den Vektor

.

Durch die Vorgabe eines solchen Vektors kann auch die Verschiebung (Translation) der Ebene gekennzeichnet werden. Da dann jeder Vektor der gleichen Länge (Betrag) und Richtung (im Bild zum Beispiel der von O nach C weisende) dasselbe bewirkt, nennt man

.

jeweils einen Repräsentanten dieser unendlich vielen Vektoren, oder anders ausgedrückt: der freie Vektor kennzeichnet eine ganze Klasse von parallelgleichen Vektoren.

Zum Rechnen mit Vektoren[Bearbeiten]

Um die Lage der Punkte A, B, C,... in der (Zeichen-)Ebene wertmäßig beschreiben zu können, kann man ein (oft rechtwinkliges, sog.orthogonales) Koordinatensystem (KOS) verwenden, indem man zwei zueinander senkrecht stehende Achsen x1 und x2 benutzt, auf denen meist gleiche Einheiten abgetragen werden. Dann führen zu den Punkten A, B, C, ... die Ortsvektoren

.

die in Abb.2 durch

.

beschrieben werden. Manchmal verwendet man anstelle dieser Zeilenvektoren auch Spaltenvektoren in der Schreibweise

.

Der von A nach B führende Vektor ist dann

Addition von Vektoren[Bearbeiten]

Zum Punkt B kann man auch über O und A und von dort nach B gelangen. Dafür schreiben wir

.

Weil

ist. ergibt sich

(6; 4) = (5; 1) o (1; 3)

Man nennt eine solche Verknüpfung o der beiden Vektoren

die Addition dieser Vektoren und schreibt

In Verallgemeinerung ergibt sich für zwei Vektoren, die wir ab jetzt meist als fettgedruckte Buchstaben schreiben, also a = (a1, a2) und b = (b1, b2) die folgende Definition der Vektoraddition:

a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = ((a1 + b1), (a2 + b2))

Geometrisch reicht der Summenvektor s = a + b vom Anfang des Vektors a zum Endpunkt (Pfeilspitze) des Vektors b.

Multiplikation mit einem Skalar[Bearbeiten]

Damit wird auch z.B. a + a = (2a1, 2a2), kurz 2a und allgemein ist

k · a = ka = k (a1, a2) = (ka1, ka2),

das ist die Multiplikation eines Vektors mit einem "Skalar" (Zahl) k.
Für k = -1 wird aus a der Vektor -a:

-1 · a = (-a1, -a2),

das ist der Vektor, der gleichlang ist wie a, aber die entgegengesetzte Richtung hat (Gegenvektor zu a). Dann ist noch a - a = a + -a der "Nullvektor" 0 und es wird deutlich, wie man den Vektor c = a - b, nämlich als c = a + - b zeichnet.

Vektorraum. Basis[Bearbeiten]

Es ist leicht nachzuweisen, dass die genannte Vektoraddition zusammen mit der Skalarmultiplikation die Menge V der Vektoren zu einer (algebraischen) Struktur machen, die folgende Eigenschaften aufweist:

  • Die erklärte Verknüpfung "+" ist eine innere Verknüpfung auf V, das heißt: zwei addierte Vektoren aus V bilden wieder einen Vektor, der zu V gehört
  • Die Verknüpfung "+" ist assoziativ, d.h. es ist (a + b) + c = a + (b + c)
  • Es gibt ein neutrales Element, nämlich den Nullvektor 0: a + 0 = 0 + a = a
  • Zu jedem Vektor a gibt es einen Gegenvektor - a, so dass a + - a = 0 ist.

Mit diesen vier Eigenschaften bildet (V, +) eine in der Algebra definierte Gruppe, die wegen a + b = b + a auch noch eine kommutative oder abelsche Gruppe genannt wird.
Darüber hinaus gibt es noch die Verknüpfung des Skalars k mit a aus (V, +), die folgende Eigenschaften hat

  • ( k1 · k2 )a = k1 · ( k2 a )
( k1 + k2 )a = k1 a + k2 a und
a ( k1 + k2 ) = a k1 + a k2
1 a = a

Eine derartige Struktur, nämlich abelsche Gruppe zusammen mit den letztgenannten vier Eigenschaften der Skalarmultiplikation, die in der Algebra häufiger anzutreffen ist, nennt man einen Vektorraum, auch linearen Raum (s.Kapitel 4) und so wird verständlich, wenn ein Vektor als Elements eines Vektorraumes definiert wird.
Punkte im "Dreidimensionalen" haben drei Koordinaten, Vektoren kann man dort durch a = (a1, a2, a3) kennzeichnen. Entsprechende Schreibweisen sind für vier-dimensionale, ..., n-dimensionale Vektoren üblich.

  • BEISPIEL

Im Parallelogramm von Abb.2 sind OB und AC die Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren. Ist M der Diagonalenschnittpunkt, so gilt, wenn m,a,b der von O nach M, A, B zeigende, c der von A nach B weisende Vektor ist,

m = 0,5 b = 0,5 (a + c ).

Mit den obigen Zahlenwerten wird somit

m = 0,5 ( (5; 1) + (1; 3 ) ) = 0,5 (6; 4) = (3; 2).

Also hat M die Koordinaten (3 | 2), weil m der Ortsvektor von M ist.
Man sagt übrigens, wenn m = 0,5 a + 0,5 c ist, allgemein wenn

d = ra + sb (mit r und s = reell)

dass der Vektor d aus den Vektoren a und b linear kombiniert worden sei, oder kurz: d ist eine Linearkombination der Vektoren a und b.

  • BEISPIEL

e1 und e2 Einheitsvektoren (das sind Vektoren der Länge 1), welche die Koordinatenachsen "erzeugen", so kann etwa a als Linearkombination von e1 und e2 dargestellt werden, nämlich

a = 5 e1 + 1 e2.

Man kann jeden Vektor als Linearkombination von solchen Basisvektoren e1 und e2 darstellen, die nicht unbedingt aufeinander senkrecht stehen müssen.

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren[Bearbeiten]

Die beiden Vektoren e1 und e2 sind sogenannte linear unabhängige Vektoren. Zwei Vektoren a und b heißen linear unabhängig, wenn die Gleichung

r a + s b = 0

nur dann erfüllt ist, wenn die Koeffizienten r und s beide 0 sind. (Wenn r a + s b = 0 ist, und wenigstens einer der Koeffizienten r oder s ungleich 0 ist, heißen a und b linear abhängige Vektoren. Falls etwa r ungleich Null ist, so ist a = - s/r b, b liegt "in Linie" mit a).
Es kann schnell nachgerechnet werden, dass e1 und e2 linear unabhängige Vektoren sind. Denn aus

r e1 + s e2 = 0

folgt

r(1; 0) + s(0; 1) = (0; 0), d.h. es ist
r · 1 + s · 0 = 0, also ist r = 0
r · 0 + s · 1 = 0, also ist s = 0.

Der Begriff der Dimension stützt sich übrigens auf den der linearen Unabhängigkeit. Denn sind e1 und e2 zwei linear unabhängige Vektoren, und nehmen wir eine dritten Vektor e3 hinzu, so gibt es drei Zahlen r, s, t derart , dass

r e1 + s e2 + t e3 = 0 ist. Dann muß t ungleich Null sein, da sonst e1 und e2 linear abhängig wären. Man kann also r' = - r/t und s' = - s/t wählen, und damit wird
-r' t e1 -s' t e2 + t e3 = 0, d.h.
- r' e1 - s' e2 + e3 = 0 oder
e3 = r' e1 + s' e2.

Jeder weitere Vektor e3 ist also als Linearkombination der beiden Vektoren e1 und e2 darstellbar. e1 und e2 bilden eine Basis, die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren bestimmt die Dimension des Raumes.

  • BEISPIEL

Da es drei linear unabhängige Vektoren e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0) und e3 = (0; 0; 1) gibt (Nachweis wie eben), ein Vektor a = (a1, a2, a3) sich linear aus den drei Vektoren kombinieren läßt, bilden e1 = (1; 0; 0), e2 = (0; 1; 0) und e3 = (0; 0; 1) eine Basis für einen dreidimensionalen Vektorraum.

Vektorprodukte[Bearbeiten]

Speziell in der Geometrie sind Winkelberechnungen von Wichtigkeit. Sind a und b zwei Vektoren, so interessieren wir uns für den Winkel φ zwischen diesen Vektoren (vgl.Abb3). Offenbar ist

Für φa und φb gilt, wenn a und b die Längen der Vektoren a, b sind und z.B. a1 die waagrechte "Komponente" von a ist (vgl.Abb.3)

a1 = a cos φa und a2 = a sin φa
b1 = b cos φb und b2 = b sin φb. (*)

Mit den Additionstheoremen der Trigonometrie erhält man damit

cos φ = cos (φb - φa) = cos φacos φb + sin φa sin φb
sin φ = sin (φb - φa) = cos φa sin φb - cos φb sin φa.

Daraus folgt mit den Gleichungen (*)

cos φ = a1 b1 / ab + a2 b2 / ab, also
cos φ = (a1 b1 + a2 b2 ) / ab

und

sin φ = (a1 b2 - a2 b1 ) / ab

oder auch

(a1 b1 + a2 b2 ) = a b cos φ
(a1 b2 - a2 b1 ) = a b sin φ
(**)

Das innere Produkt (Skalarprodukt)[Bearbeiten]

a1 b1 + a2 b2 ist eine spezielle "Verknüpfung" a o b der beiden Vektoren a und b, nämlich (vgl.die rechte Seite der ersten Gleichung von (**)) das Produkt der beiden Längen a und b mit dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels. Zudem erinnert a1 b1 + a2 b2 für b1 = b2 an das Distributivgesetz bei Zahlen. Wenn nun also das Distributivgesetz für unsere neue Verknüpfung a o b erfüllt sein sollte, so liegt es nahe, a1 b1 + a2 b2 als Produkt zu bezeichnen, weil "distributiv bezüglich der Addition" ein Charakteristikum einer Produktbildung ist.
Nun ist

a o (b + c)
= (a1; a2) o ( b1 + c1, b2 + c2 )
= a1 (b1 + c1) + a2 (b2 + c2)
= a1b1 + a1c1 + a2b2 +a2c2
= a1b1 + a2b2 + a1c1 + a2c2
= a o b + a o c.

Das bedeutet also, unsere Verknüpfung "o" ist distributiv bezüglich der Addition und man nennt daher (weil a1 b1 + a2 b2 ein "Skalar" ist) diese Verknüpfung das innere Produkt (auch Skalarprodukt) der beiden Vektoren und schreibt

a·b = a b = a1 b1 + a2 b2.

Eigenschaften des inneren Produkts

  • Das innere Produkt ist kommutativ: a b = b a
  • Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist durch
.

bestimmt.

  • Die Länge (der Betrag) eines Vektors.

Für a = b wird der Winkel zwischen den Vektoren Null, also hat der Cosinus dieses Winkels den Wert 1, und damit gilt

1 = cos φ = a · a / a · a, d.h.
a2 = a · a.

Die Länge des Vektors a wird durch

berechnet.(Beachte: Es ist aber nicht: √(a · a) = a, weil hier links ein Skalar, rechts ein Vektor steht !)

BEISPIEL

Mit a = (3; 4) wird a = √ (32 + 42) = √ 25 = 5.
Anmerkung
Diese "innere Multiplikation" hat keine Umkehrung, man kann also nicht durch einen Vektor dividieren. Z.B. folgt aus a b = a c nicht, dass b = c ist. Aus a b = a c folgt vielmehr a b - a c = 0 oder a ( b - c ) = 0, d.h. es ist a oder ( b - c ) = 0 oder aber a und ( b - c ) stehen senkrecht aufeinander.

Das äußere Produkt (Kreuzprodukt)[Bearbeiten]

Ist auch durch die zweite Gleichung von (**) ein Produkt definiert? Dazu untersuchen wir auch jetzt auf (charakteristische) Distributivität ! Es ist

a o (b + c) ist nach den zweiten Gleichungen
= (a1, a2) o ( b1 + c1, b2 + c2 )
= a1 (b2 + c2 ) - a2 (b1 + c1 )
= a1 b2 + a1 c2 - (a2 b1 + a2 c1 )
= a1 b2 - a2 b2 + a1 c2 - a2 c1
= a o b + a o c.

Diese zweite Verknüpfung ist demnach auch ein Produkt. Man nennt es das Kreuzprodukt oder das äußere Produkt (manchmal auch nur Vektorprodukt) und schreibt

und es gilt

a × b + a × c = a × (b + c )

Manchmal trifft man auch auf die Schreibweise [a, b] für das äußere Produkt.
Ist b der erste, a der zweite Vektor, so ist φ durch - φ zu ersetzen. Dann ist auch sin (-φ) = - sin φ und damit wird

(b × a) = - (a × b)

Das Kreuzprodukt ist also im Gegensatz zum Inneren Produkt nicht kommutativ, es ist ein alternierendes Produkt.
Wenn b = a ist, aber auch wenn b = k a ist, verschwindet das Kreuzprodukt. (Denn dann ist der Winkel und auch sein Sinus 0). Weil dann

a × (b + k a) = (a × b) + (a × k a) = a × b

gilt, kann man also ein Vielfaches des einen Vektors zum anderen addieren, ohne dass sich das Kreuzprodukt ändert.
Benutzt man die rechten Seiten der Gleichungen (**), so zeigt eine einfache Skizze, dass (in der Ebene)

  • der Zahlenwert des inneren Produkts das Produkt aus der Länge des einen Vektors und der senkrechten Projektion des anderen auf den ersten ist
  • der Zahlenwert des äußeren Produkts gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms ist.

Oft wird (im Dreidimensionalen) ein Vektor c = ( c1, c2, c3 ) benötigt, der zu zwei anderen, a und b senkrecht steht. Dies führt zum Ansatz:

c a = c1a1 + c2a2 + c3a3 = 0 und
c b = c1b1 + c2b2 + c3b3 = 0.

Für die "Komponenten" c1, c2, c3 erhält man durch formales Lösen dieses Gleichungssystems die unendlich vielen Lösungen

c1 = k ( a2b3 - a3b2 )
c2 = k ( - a1b3 + a3b1 )
c3 = k ( a1b2 - a2b1 )

Berechnet man den Betrag dieses Vektors, so erhält man

c c
= [ k {(a2b3 - a3b2), (a1b3 - a3b1), (a1b2 - a2b1)} ]2
= k2 [(a2b3 - a3b2)2 + (a1b3 - a3b2)2 + (a1b2 - a2b1)2]
= k2 [a12b22 - 2 a1b2a2b1 + a22b12
+ a12b32 - 2 a1b3a3b1 + a32b12
+ a22b32 - 2 a2b3b2a3 + a32b22]

Diesen recht unübersichtlichen letzten Term kann man kürzer schreiben, wenn zu jeweils drei Summanden a12b12 bzw a22b22 bzw a32b32 hinzuaddiert und wieder subtrahiert wird. Dann erhält man nämlich nach Umordnen

= k2 [(a b)2 - (a12b12 + 2 a2b2 a3b3
+ a22b22 + 2 a1b1 a3b3
+ a32b32 + 2 a1b1 a2b2 ) ]
= k2 [(a b)2 - (a b)2]
= k2 [(a b)2 - ( a b cos φ )2]
= k2 [(a 2 b) 2 {1 - cos 2 φ }

Das heißt: c hat den Betrag ± k a b sin φ .Es ist aber, wie eben festgestellt wurde, a b sin φ der Wert des von a, b gebildeten Produkts. Damit gilt

c = k (a × b) ist ein zu a, b senkrecht stehender Vektor mit dem Betrag k a b sin φ.

Wie nun sehen die Komponenten von a × b aus, ausgedrückt in den "Bausteinen" ai, bi ? Um dieselben zu berechnen, verwenden wir ein (rechtshändiges) Dreibein aus Einheitsvektoren i, j und k, indem wir a und b durch diese drei (senkrechtstehenden) Vektoren (der Länge 1) darstellen:
Aus

a = a1 i + a2 j + a3 k und
b = b1 i + b2 j + b3 k

folgt unter Beachtung von i × i = j × j = k × k = 0 und i × j = k, j × k = i, bzw k × i = j (die drei Vektoren sollen ein rechtshändiges Dreibein bilden !) aus

a × b = ( a1 i + a2 j + a3 k ) × b1 i + b2 j + b3 k )
= a1b2 (i × j) + a1b3 (i × k)
+ a2b1 (j × i) + a2b2 (j × k)
+ a3b1 (k × i) + a3b2 (k × j).

Da das Kreuzprodukt alternierend ist, wird schließlich

a × b
= (a2b3 - a3b2 ) i
- (a1b3 - a3b1 ) j
+ (a1b2 - a2b1 ) k,

d.h. c = a × b hat die Komponenten

(a2b3 - a3b2 ), (a1b3 - a3b1 ) bzw. (a1b2 - a2b1 ).

Fassen wir zusammen:

  • Der Vektor c steht senkrecht auf der von a, b aufgespannten Ebene und hat den Betrag |a × b| = a b sin φ.
  • Seine Komponenten sind:
c1 = ( a2b3 - a3b2 )
c2 = ( a3b1 - a1b3 )
c3 = ( a1b2 - a2b1 ).
  • Das Kreuzprodukt ist alternierend (Vertauschung der Faktoren bedingt ein Vorzeichenwechsel)
  • Das Kreuzprodukt ist distributiv.

Anmerkungen zu den Produktbildungen[Bearbeiten]

Zum inneren Produkt

  • Das innere Produkt kann in einem Vektorraum beliebiger Dimension berechnet werden.
  • BEISPIEL

Sind (2 kg Äpfel, 3 kg Birnen, 5 kg Pflaumen, 1 kg Aprikosen) und (1,50 Euro/kg, 2 Euro/kg, 1,80 Euro/kg, 2,50 Euro/kg) zwei (nicht geometrische !) vierdimensionale Vektoren, so errechnet sich der Preis der gesamten Ware als "Skalarprodukt" dieser beiden Vektoren. Man kann leicht nachrechnen, dass der Gesamtpreis 20,50 Euro beträgt.

  • Das Skalarprodukt kann zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren a und b verwendet werden:
cos φ = a b / a b

Insbesondere stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, wenn ihr inneres Produkt Null ist.

  • In der Physik tritt das Skalarprodukt beispielsweise bei der (mechanischen) Arbeit W = F s = F s cos φ auf. Dabei ist s der Weg, F eine auf diesem Weg wirkende Kraft, und φ der Winkel zwischen F und s. Demzufolge definiert die Elektrizitätslehre mit dem von A nach B erstreckten Integral W = - Q ∫ E ds diejenige Arbeit, die an der Ladung Q im elektrischen Feld (der Feldstärke E) bei einer Verschiebung auf dem Weg s von A nach B verrichtet wird. Da die Spannung U auftritt, wenn W auf Q angewandt wird, ist U = - ∫ E ds, wobei das Integral ebenfalls die Grenzen A und B hat.

Zum äußeren Produkt

  • Unter Verwendung des äußeren Produkts sind übersichtliche Gleichungen zu Geraden und Ebenen (im Dreidimensionalen) möglich (s.Abschnitte GERADEN, EBENEN). Auch Abstände bei windschiefen Geraden lassen sich elegant bestimmen.
  • Sind a und b (im Dreidimensionalen) linear unabhängige Vektoren, so kann das Tripel a, b, a × b als Basis dieses Raumes genommen werden.
  • In der Physik begegnet man ebenfalls diesem Kreuzprodukt. Dort ist z.B. M = r × F das Drehmoment, welches die Kraft F am Hebelarm r hervorruft. Oder: F = e v × B ist die Kraft, die im Magnetfeld B auf die mit v bewegte Ladung e ausgeübt wird.

Das Spatprodukt Mit drei Vektoren a, b und c kann (im Dreidimensionalen) die Kombination der vorgenannten Produkte gebildet werden. Man kann etwa das äußere Produkt zweier Vektoren 'a und b skalar verknüpfen mit einem dritten Vektor c und erhält

( a × b ) c
( a2b3 - a3b2 ) c1 - ( a3b1 - a1b3 ) c2 + ( a1b2 - a2b1 ) c3   (*)

nennt man das '''Spatprodukt''' der drei Vektoren a, b, und c. das den Rauminhalt des von diesen drei Vektoren aufgespannten "Spats" ("Parallelepiped", s.Abb.4) angibt. |a × b| = a b sin φ ist nämlich der Flächeninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms. Weil ( a × b ) c = | a × b | c cos ψ und c cos ψ die senkrechte Projektion von c auf den Vektor a × b ist, also die Höhe des Spats darstellt, ist dessen Volumen ( a × b ) c.
Es ist in der zuletzt genannten Summe (*) leicht eine systematische Anordnung der ai, bi, ci auszumachen. Eine solche Systematik wird noch deutlicher, wenn man die genannte Summe in der Form

schreibt. Genaueres soll im Kapitel Determinanten behandelt werden.