Logik: Nichtklassische Logiken

Dieses Buch steht im Regal Mathematik.

Es gibt mehrere Logiken, die von der klassischen Logik abweichen. Meistens sind diese Logiken besser an die reale Welt oder an die normale Sprache angepasst. Einige von ihnen werden ihm folgenden vorgestellt, auch wenn eine weitgehend ausschöpfende Behandlung den Rahmen sprengen würde.

Nichtmonotone Logiken

In der klassischen Logik, die monoton ist, wird davon ausgegangen, dass alle Folgerungen von Prämissen immer noch gelten, wenn man eine weitere hinzufügt; höchstens sind dann mehr Folgerungen möglich. Formal ausgedrückt: $(\Delta \models \Phi )\rightarrow (\Delta \land \Gamma \models \Phi )$, wobei $\Gamma$ und $\Delta$ beliebige Prämissen sind und $\Phi$ ein beliebiges Argument ist.

In nicht monotonen Logiken ist das jedoch aufgehoben. Wenn man zum Beispiel einen Pinguin A hat und nur weiß, dass A ein Vogel ist und Vögel fliegen können, folgt daraus, dass A fliegen kann.
$IstVogel(a)\land \forall x(IstVogel(x)\rightarrow KannFliegen(x))\models KannFliegen(a)$.
Klingt doch logisch. Wenn man aber zusätzlich weiß, dass A ein Pinguin ist und Pinguine nicht fliegen können, könnte man in der modalen Logik sowohl folgern, dass A fliegen kann, als auch, dass A nicht fliegen kann, was beides logisch korrekt wäre.
$IstVogel(a)\land \forall x(IstVogel(x)\rightarrow KannFliegen(x))\land$
$IstPinguin(a))\land \forall x(IstPinguin(x)\rightarrow \neg KannFliegen(x))\models$
$KannFliegen(x)\land \neg KannFliegen(x)$
Durch bestimmte nicht monotone Logik kann man dagegen den intuitiv richtigeren Schluss ziehen, dass A nicht fliegen kann und das Gegenteil nicht der Fall ist. Dass Vögel fliegen können, kann man in diesem Fall als Wahrscheinlichkeit interpretieren oder als etwas, bei dem eine Ausnahme genannt werden muss.

Induktionslogik

Besonders bekannt unter den nichtmonotonen Logiken ist die von Aristoteles entwickelte Induktionslogik, in der eine Annahme, für die es mindestens ein Beispiel, aber kein Gegenbeispiel, gibt, als wahr angesehen wird, z. B.: B ist ein Pudel, B ist ein Hund, also sind alle Hunde Pudel. $IstHund(b)\land IstPudel(b)\models \forall x(IstPudel(x)\leftrightarrow IstHund(x))$

Dies gilt aber nicht mehr, wenn ein Gegenbeispiel gebracht wird. $IstHund(b)\land IstPudel(c)\land \neg IstHund(c)\land IstPudel(c)\models \neg \forall x(IstPudel(x)\leftrightarrow IstHund(x))$

Die Induktion basiert nämlich auf dem Prinzip der induktiven Verallgemeinerung, das darauf basiert, dass von gemeinsamen Eigenschaften aller Objekte einer Teilmenge darauf geschlossen wird, dass auch die Onjekte der Gesamtmenge diese Eigenschaft teilen (In unserem beispiel war die Teilmenge nur ein Element groß, daher ist es nicht sonderlich zuverlässig.). Die gemeinsamkeit kann auch in einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeit für einen Umstand bestehen.

Die Induktion ist die Grundlage von allen Naturwissenschaften und von den meisten Aktionen im Alltag. Ein Beispiel: Ich habe Durst und habe beobachtet, dass er bisher immer vom Trinken weggegangen ist. Im vertrauen darauf, dass das auch in Zukunft so ist, trinke ich. Allerdings fällt es schwer bzw. ist unmöglich (darüber streiten sich die Philosophen), die Induktionsdenkweise zu begründen.

Mit Induktionslogik lassen sich auch perfekte Versuche auswerten, also welche, bei denen man bestimmte Eigenschaften verändern kann und alles andere genau gleich bleibt. Wenn das Versuchssystem deterministisch ist, also bei gleichen Anfangszuständen auch der gleiche Endwert herauskommt, kann man einen Satz bestimmter Regeln anwenden, die von John Stuart Mill augearbeitet wurden (siehe  Induktion (Philosophie)#Induktive Methoden von John Stuart Mill). Allerdings ist das in der Praxis häufig nicht gegeben und wie man seit der Entdeckung der modernen Quantentheorie weiß, ist die Welt nicht deterministisch. Trotzdem lassen sich diese Regeln in der Praxis anwenden, wenn auch nicht mit 100%iger Wahrscheinlichkeit. Alle diese Regeln folgen aus der induktiven Verallgemeinerung und gelten daher auch für normale induktive Logik.

Fuzzy-Logik

Das Ziel der Fuzzylogik ist es, mit Vagheit und Unsicherheit in der Logik umzugehen. Alle wahren Aussagen der klassischen Logik sind auch in der Fuzzy-Logik richtig und alle falschen falsch, also ist die klassische Logik eine Teilmenge der Fuzzy-Logik.

Die Konjunktion ($\land$) der Fuzzy-Logik entspricht der T-Norm, die besagt, dass beide Zahlen der Operation zwischen 0 und 1 liegen müssen, die Operation eine Zahl zwischen 0 und 1 als Ergebnis haben muss,  kommutativ,  distributiv und monoton sein muss und 1 als  neutrales Element und 0 als  Nullelement haben muss. Die Disjunktion ($\lor$) entspricht der T-Conorm, die wie die T-Norm ist, nur das neutrale Element muss 0 sein und dass Nullelement 1, also ist es umgekehrt im Vergleich zur T-Norm.

Die Junktoren sind definiert als:
$\neg A=1-A$
$A\land B=\min(A,B)$
$A\lor B=\max(a,b)$
$A\veebar B={\begin{cases}A&(A>B\land A<=1-b)\lor (B>A\land B>=1-A)\\B&(A>B\land A>=1-B)\lor (B>A\land B<=1-A)\end{cases}}$
$\veebar$ ist das exkluive Oder, das in der klassischen Logik (wenn es zum Wortschatz gehörte), definiert wäre als $A\veebar B\leftrightarrow (A\lor B)\land \neg (A\land B)$ oder einfacher $A\veebar B\leftrightarrow \neg (A\leftrightarrow B)$. Wenn man in der Fuzzy-Logik jedoch ausschließlich mit 1 als wahr und 0 als falsch arbeitet, verhält sich dieses Zeichen anders.