Definition (Schwache Topologie):
Es sei
ein messbarer Raum, wobei
mit einer Topologie ausgestattet und
die zugehörige Borel-σ-Algebra sei. Die schwache Topologie auf
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(\Omega ):=\{\mu |\mu {\text{ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf }}(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ))\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3aa47aca596e7833b72de983a31c602acfe23a)
ist die Topologie, für die eine Nachbarschaftsbasis eines beliebigen
durch
(hierbei
stetig mit kompaktem Träger,
)
gegeben ist.
Proposition (Alternative Charakterisierung der schwachen Topologie):
Es sei
ein messbarer Raum, und es sei
mit einer Topologie ausgestattet, sodass
die zugehörige Borel-σ-Algebra ist. Es sei ferner die Topologie auf
kompakt und Hausdorffsch. Diejenige Topologie, deren Nachbarschaftsbasen eines
durch
(hierbei
abgeschlossen und
)
gegeben sind, stimmt mit der schwachen Topologie auf
überein.
Beweis: Es sei
, und des weiteren sei
.
Seien zunächst
abgeschlossene Mengen
in
gegeben. Ist
für ein
, so garantiert das Lemma von Urysohn die Existenz einer stetigen Funktion
,
die die Bedingungen
und
erfüllt. Des weiteren kann man wegen der [[Regularität von
]] annehmen, dass
für alle
gilt. Auf Basis der Gleichung
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\Omega }g_{j}d\mu -\int _{\Omega }g_{j}d\nu \right|&=\left|\mu (A_{j})-\nu (A_{j})+\int _{\Omega \setminus A_{j}}g_{j}d\mu -\int _{\Omega \setminus A_{j}}g_{j}d\nu \right|\\&\geq \left|\mu (A_{j})-\nu (A_{j})\right|-\epsilon /2\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4131367d948dd8e9489aa1a4660b17842ef8049)
(unter Benutzung der zweiten Dreiecksungleichung) schließen wir, dass
![{\displaystyle U(g_{1},\ldots ,g_{n},\epsilon /2,\mu )\subseteq V(A_{1},\ldots ,A_{n},\epsilon ,\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0622772fe992478e12faa77d1bf3047ad43c660c)
gilt.
Ungekehrt seien
stetige Funktionen auf
mit kompaktem Träger. Nach Definition des Lebesgue-Integrals können wir für jedes
die Funktionen
und
durch einfache Funktionen
bzw.
so genau approximieren, dass
bzw. ![{\displaystyle \|(f_{j})_{-}-s_{j,-}\|_{\infty }<\epsilon /6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940561431c90cf18a191daa3b0d01607a4080d7f)
gilt. Wir schreiben
und ![{\displaystyle s_{j,+}=\sum _{k=1}^{l_{j}}\mathbb {1} _{D_{j,k}}\beta _{j,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801c4e6e051a72c0de4e08a5f45c14dbd32e412d)
für
. Da
jeweils stetig ist, sodass
abgeschlossen ist, können wir
durch seinen Abschluss
ersetzen und so gleich annehmen, dass
abgeschlossen ist. Wegen
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\Omega }f_{j}d\mu -\int _{\Omega }f_{j}d\nu \right|&\leq \left|\int _{\Omega }f_{j}d\mu -\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\mu \right|+\left|\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\mu -\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\nu \right|+\left|\int _{\Omega }(s_{j,+}-s_{j,-})d\nu -\int _{\Omega }f_{j}d\nu \right|\\&\leq \epsilon /3+\sum _{k=1}^{m_{j}}|\alpha _{j,k}||\mu (C_{j,k})-\nu (C_{j,k})|+\sum _{k=1}^{l_{j}}|\beta _{j,k}||\mu (D_{j,k})-\nu (D_{j,k})|+\epsilon /3\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb773c7b417b8d03b25d3064332624a77576ddb3)
erhalten wir dann
,
wobei
. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)