Maßtheorie/ Gleichgradige Integrierbarkeit

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Definition (Gleichgradige Integrierbarkeit):

Es sei ein Maßraum. Eine Familie von Funktionen von nach heißt gleichgradig integrierbar genau dann, wenn es zu jedem ein gibt, sodass für alle Mengen , für die gilt, die Abschätzung

gültig ist.

Proposition (Bedingungen für die gleichgradige Integrierbarkeit):

Es sei ein Maßraum und eine Familie von Funktionen von nach . Betrachte die Bedingungen

  1. ist gleichgradig integrierbar und
  2. .

Dann impliziert die erste Bedingung die zweite Bedingung, und wenn der Maßraum endlich ist (d.h. ), dann sind die Bedingungen sogar äquivalent. In jedem Fall impliziert die zweite Bedingung die gleichgradige Integrierbarkeit.

Beweis: Gelte zunächst die erste Bedingung, und sei beliebig. Da gilt, gibt es ein sodass für alle . Angenommen, dass das Maß der Menge für hinreichend großes nicht für alle kleiner als ein gegebenes festes sei. Dann gibt es zu jedem ein , sodass gilt. Dies impliziert jedoch

,

und wenn man wählt, erhält man einen Widerspruch. Daher ist jedoch die gleichgradige Integrierbarkeit anwendbar: Wählt man hinreichend groß, ist, wie eben gezeigt, für ein beliebiges, aber festes , und wenn man

erreichen will, kann man so wählen wie es durch die gleichgradige Integrierbarkeit garantiert möglich ist.

Umgekehrt sei und gelte die zweite Bedingung. Es sei zunächst ein vorgegeben. Wähle ein sodass

gilt. Ferner wähle . Falls dann ist, sodass gilt, haben wir für jedes

,

wie von der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit verlangt wurde. Ferner wähle ein beliebiges endliches aus, und dann ein hinreichend groß sodass

für alle gilt. Dann gilt für alle

,

und der letzte Ausdruck stellt eine obere Schranke für alle Werte () dar.