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Maßtheorie/ Konvergenzsätze

Aus Wikibooks

Satz (Konvergenzsatz von Fatou):

Es sei eine Folge von nichtnegativen Funktionen auf einem Maßraum . Dann gilt:

.

Satz (Majorisierte Konvergenz):

Es sei eine Folge von Funktionen auf einem Maßraum , sodass es eine weitere nicht-negative Funktion auf dem Maßraum gibt, sodass fast überall gilt. Dann gilt

punktweise in .

Beweis: Die Funktion ist stets nichtnegativ. Daher können wir den Konvergenzsatz von Fatou anwenden:

,

ie.

,

ie.

.

Die Ungleichung

wird genauso bewiesen, nur stattdessen mit der Funktion .