Maßtheorie für Einsteiger/ Mengenlehre

Zum Verständnis der Maßtheorie sind Kenntnisse der Mengenlehre notwendig. Daher sollen im Folgenden die wichtigsten Erkenntnisse, Namenskonventionen und Rechenregeln der Mengenlehre kurz dargestellt werden.

Eine Menge zeichnet sich dadurch aus, dass sie aus mehreren Elementen besteht. Die einzige Menge, bei der dies nicht der Fall ist, ist die sogenannte leere Menge, die auch als $\emptyset$ bezeichnet wird. Bei den Elementen einer Menge muss es sich nicht notwendigerweise um Zahlen oder mathematische Objekte handeln, sondern genauso gut auch um Wörter oder sonstige Objekte. Die mathematische Notation einer Menge $A$ erfolgt durch Darstellung der einzelnen Elemente innerhalb einer geschweiften Klammer:

A={a,b,c}

und dementsprechend ergibt sich für die leere Menge $\emptyset =${}. Die Schreibweise $a\in A$ besagt, dass a ein Element der Menge A ist.

Grundlegende Mengen-Operationen

Mengen lassen sich vereinigen und schneiden. Die Vereinigung zweier Mengen ergibt eine Menge, die alle Elemente der beiden ursprünglichen Mengen als Elemente enthält. Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B wird durch $A\cup B$ symbolisiert.

Beispiel: Sei A={a,b,c} und B={x,y,z}, dann ist A $\cup$ B={a,b,c,x,y,z}.

Ein weiteres Beispiel verdeutlicht, dass es sich bei der Vereinigung von Mengen nicht um ein reines Kumulieren der Elemente der einzelnen Mengen handelt.

Beispiel: Sei A={a,b,c} und B={c,d,e}, dann ist A $\cup$ B={a,b,c,d,e}.

Der Schnitt zweier Mengen A und B ist die Menge, die genau alle Elemente enthält, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B enthalten sind. Diese Menge wird auch Schnittmenge genannt und als $A\cap B$ bezeichnet.

Fortsetzung des vorherigen Beispiels: Sei A={a,b,c} und B={c,d,e}, dann ist A $\cap$ B={c}.

In diesem Fall besteht die Menge also nur aus einem Element. Der Schnitt zweier Mengen, die in keinem ihrer Elemente übereinstimmen ergibt dementsprechend die leere Menge $\emptyset$.

De Morgansche Regeln: