MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Exponentialfunktionen

Unter Exponentialfunktionen versteht man eine Gruppe von Funktionen, deren Variablen im Gegensatz zu den Polynomfunktionen im Exponent stehen. Die dazugehörige Gruppe von Umkehrfunktionen nennt man logarithmische Funktionen. Beide Gruppen sind bereits aus der Mittelstufe bekannt. Dennoch wird hier zunächst eine besondere Form eingeführt:

Die Exponentialfunktion mit der Basis $e$

Sucht man eine Funktion $\exp(x)$, deren Ableitung wiederum der Funktion entspricht, so erhält man relativ einfach einen Grenzwert, der gegen eine Zahl zu konvergieren scheint (der Beweis gehört normalerweise nicht unbedingt in den Oberstufenunterricht):

$\exp(x)=\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Berechnet man den Grenzwert für einige hohe $n$, so erhält man für die Basis den ungefähren Wert:

$\lim \limits _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\approx 2,71828183...$

Schreibweise der Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion mit den oben genannten Eigenschaften ist häufig einfach 'die' Exponentialfunktion und wird generell abgekürzt mit $exp(x)$ zur Basis $e$ oder einfach kurz $e^{x}$, wobei das $e$ die oben genannte Zahl darstellt und nach Leonard Euler „eulersche Zahl“ genannt wird. Da die zweite, kürzere Schreibweise in der Schule geläufiger ist, werden wir diese in der Folge benutzen.

Ableitung der Exponentialfunktion

Da wir vorausgesetzt haben, dass unsere Exponentialfunktion die Eigenschaft haben muss, dass Ableitung und Funktion äquivalent sind, können wir ganz einfach sagen:

Ableitung der $e$-Funktion

$f(x)=e^{x}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=e^{x}$

 

Natürlicher Logarithmus

Wie oben bereits beschrieben, ist die Gruppe der logarithmischen Funktionen die Gruppe der Umkehrfunktionen für die Exponentialfunktionen. Entsprechend hat die $e$-Funktion ebenfalls eine spezielle Umkehrfunktion, die Funktion des „natürlichen Logarithmus“ also des Logarithmus zur Basis $e$, abgekürzt $f(x)=\ln(x)$.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Mit Hilfe der Regel für das Ableiten von Umkehrfunktionen aus dem letzten Kapitel können wir nun die Ableitung der $\ln$-Funktion ganz einfach bestimmen:

$f(x)=e^{x}\quad \Rightarrow \quad f^{-1}(x)=\ln(x)$

In die Formel eingesetzt ergibt das:

$f^{-1'}(y)={\frac {1}{e^{x}}}$

Nun setzen wir die Umkehrfunktion für $x$ ein und erhalten nach Variablentausch:

$f^{-1'}(x)={\frac {1}{e^{\ln(x)}}}$

Im Nenner haben wir nun aber die Ausgangsfunktion mit ihrer Umkehrfunktion verknüpft. Wir können also vereinfachen zu:

$f^{-1'}(x)={\frac {1}{x}}$

Also haben wir unsere Regel:

Ableitung der $\ln$-Funktion

$f(x)=\ln(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)={\frac {1}{x}}$

 

Ableitung anderer Exponential- und Logarithmusfunktionen

Mit Hilfe dieser beiden oben abgeleiteten Funktionen können wir nun die komplette Gruppe von Funktionen ableiten. Jede Exponentialfunktion hat die Form $f(x)=a^{x}$ mit $a\in \mathbb {R}$ und besitzt eine Umkehrfunktion $f^{-1}(x)=\log _{a}(x)$.

Ableitung der Exponentialfunktionen

Beginnend mit der Gruppe der Exponentialfunktionen wenden wir zunächst einen Trick an. Wir wenden auf die Exponentialfunktion zuerst den natürlichen Logarithmus und dann seine Umkehrfunktion an. Im Grunde verändern wir dadurch gar nichts, allerdings erlauben uns die Logarithmusgesetze (Klasse 9,10) dann eine einfache Differenzierung:

$f(x)=a^{x}=e^{\ln(a^{x})}=e^{x\cdot \ln(a)}$

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich sofort:

$f'(x)=\ln(a)\cdot e^{x\cdot \ln(a)}=\ln(a)\cdot a^{x}$.

Ableitung der Logarithmusfunktionen

Auf dieselbe Art und Weise, wie wir nun oben den natürlichen Logarithmus abgeleitet haben, können wir nun auch jede andere Logarithmusfunktion ableiten. Es gilt:

$f(x)=a^{x}\quad \Rightarrow \quad f^{-1}(x)=\log _{a}(x)$

Mit Hilfe der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion ergibt sich:

$f^{-1}(y)={\frac {1}{\ln(a)\cdot a^{x}}}$

$\Rightarrow \quad f^{-1}(x)={\frac {1}{\ln(a)\cdot a^{log_{a}(x)}}}={\frac {1}{\ln(a)\cdot x}}$

Damit haben wir unseren Regelsatz komplett:

Ableitung beliebiger Exponential- und Logarithmusfunktionen

$f(x)=a^{x}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=\ln(a)\cdot a^{x}$

$f(x)=\log _{a}(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)={\frac {1}{\ln(a)\cdot x}}$

 

Beispiel:

$(1)\quad f(x)=e^{-x^{2}+4}$

$\Rightarrow \quad f'(x)=-2x\cdot e^{-x^{2}+4}$

$(2)\quad g(x)=5\cdot \ln {(x^{2}+4)}$

$\Rightarrow \quad g'(x)=5\cdot {\frac {(x^{2}+4)'}{x^{2}+4}}={\frac {5\cdot 2x}{x^{2}+4}}={\frac {10x}{x^{2}+4}}$