MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Produktregel

Im letzten Abschnitt wurde beschrieben, wie man ganzrationale Funktionen ableitet. Dazu haben wir u.a. gelernt, wie man beim Ableiten verfährt, wenn die Funktion mit einer Konstanten multipliziert wird. In diesem Abschnitt versuchen wir herauszufinden, was geschieht wenn wir eine Funktion mit einer anderen multiplizieren, d.h. wenn unsere Funktion die Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ hat.

Beispiel:

• $f(x)=(x+1)\cdot (x+2)$
• $f(x)=(x^{2}-3x+4)\cdot ({\frac {1}{3}}x^{3}+2x^{2})$
• $f(x)=(x-{\frac {1}{24}}x^{5})\cdot ({\sqrt {3x}}+e^{\pi \cdot 4x^{{\frac {2}{4}}x}})$

 

Bei der ersten Funktion aus dem Beispiel könnte man noch die Klammern ausmultiplizieren und dann die bereits bekannten Regeln anwenden. Theoretisch geht das immer, aber im Allgemeinen sind $u(x)$ und $v(x)$ kompliziert und der Aufwand lohnt sich nicht, da es wieder eine relativ einfache Regel gibt, mit der man sich das viele Rechnen sparen kann.

Um uns die Regel herzuleiten bilden wir erstmal wieder den Differentialquotienten unserer Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\Bigl (}u(x+\epsilon )\cdot v(x+\epsilon ){\Bigr )}-{\Bigl (}u(x)\cdot v(x){\Bigr )}}{\epsilon }}$

Auf Anhieb sieht man da nicht viel, was einem weiterhelfen würde. Deswegen wenden wir einen mathematischen Trick an: Wir addieren 0. Genauer gesagt subtrahieren wir im Zähler $u(x)\cdot v(x+\epsilon )$ und addieren es gleich hinterher wieder dazu.

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\Bigl (}u(x+\epsilon )\cdot v(x+\epsilon ){\Bigr )}\overbrace {-{\Bigl (}u(x)\cdot v(x+\epsilon ){\Bigr )}+{\Bigl (}u(x)\cdot v(x+\epsilon ){\Bigr )}} ^{=0}-{\Bigl (}u(x)\cdot v(x){\Bigr )}}{\epsilon }}$

Jetzt können wir links vom + $v(x+\epsilon )$ und rechts davon $u(x)$ ausklammern.

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left(v(x+\epsilon )\cdot \underbrace {\frac {u(x+\epsilon )-u(x)}{\epsilon }} _{u'(x)}\right)+\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\left(u(x)\cdot \underbrace {\frac {v(x+\epsilon )\cdot v(x)}{\epsilon }} _{v'(x)}\right)$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}v(x+\epsilon )\cdot u'(x)+\lim _{\epsilon \rightarrow 0}u(x)\cdot v'(x)$

Jetzt brauchen wir nur $\epsilon =0$ zu setzen und sind fertig.

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot u(x)$

Produktregel

$f(x)=u(x)\cdot v(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+v'(x)\cdot u(x)$

 

Beispiel:

$f(x)=(x+1)\cdot (2-x)$

$\Rightarrow \quad u(x)=(x+1)\wedge v(x)=(2-x)$

$\Rightarrow \quad f'(x)=1\cdot (2-x)+(x+1)\cdot (-1)=2-x-x-1=-2x+1$

 

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