MathGymOS/ Analysis/ Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben/ Lösungen

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Aufgabe 1[Bearbeiten]

Zunächst einmal muss eine Zielfunktion gefunden werden, welche die Oberfläche des kreiszylinders in Abhängigkeit des Radius angibt:

Der Term ist die Summe aus Boden- und Deckfläche. Der Term stellt hingegen die Mantelfläche dar und vereinfacht sich (mit dem Volumen ) zu . Somit lautet die endgültige Zielfunktion

.

Um das Extremum zu finden braucht man die notwendige Bedingung .

Auflösen dieser Gleichung liefert

.

An dieser Stelle müsste noch die hinreichende Bedingung überprüft werden, aber das ist nicht weiter schwierig und deshalb kommen wir jetzt gleich zur Lösung: Der Radius ist

,

die Höhe

und die Oberfläche ergibt sich zu

.


Aufgabe 2[Bearbeiten]