MathGymOS/ Analysis/ Folgen und Reihen/ Konvergenz und Divergenz von Folgen

Anschauliche Erklärung von Konvergenz

Dieser Abschnitt handelt davon, wann und ob eine Folge "konvergiert". Damit ist gemeint, ob diese Folge sich irgendeinem speziellen Wert nähert, wenn man den Index beliebig erhöht, und diesen Wert quasi erreicht. Schauen wir uns dazu zunächst drei Beispiele an. Im Grunde handelt es sich also um das Verhalten "im Unendlichen". Alles was vorher passiert, ist dann quasi irrelevant.

Beispiel: konvergente Folge

Betrachten wir die Folge: $a_{n}:1,~{\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~{\frac {1}{4}},\cdots$

In expliziter Darstellung lautet diese: $a_{n}={\frac {1}{n}}$.

Es ist unmittelbar einsichtig, dass diese Folge, wenn man $n$ nur genügend groß wählt, irgendwann beliebig nahe an Null ist - der Bruch wird immer kleiner. Eine solches Verhalten nennt man "konvergieren", eine solche Folge die sogar gegen Null konvergiert, heißt auch "Nullfolge".

 

Beispiel: divergente Folge

Eine divergente Folge, allerdings NICHT die Beispielfolge

Betrachten wir die Folge: $a_{n}:-1,~+1,~-1,~+1,\cdots$

In expliziter Darstellung lautet diese: $a_{n}=(-1)^{n}$.

Diese Folge oszilliert also immer zwischen $1$ und $-1$ hin und her. Was passiert bei großen $n$? Es gibt anschaulich keine Zahl, die irgendwann "letztendlich" angenommen wird, da der nächste Wert der Folge immer ein völlig anderer ist. Eine solche Folge nennt man "divergent".

 

Beispiel: bestimmt divergente Folge

Betrachten wir die Folge: $a_{n}:1,~4,~9,~16,\cdots$

In expliziter Darstellung lautet diese: $a_{n}=n^{2}$.

Was mit dieser Folge passiert, wenn man immer größere $n$ wählt, ist ebenfalls einsichtig: Die $a_{n}$ werden beliebig groß. Dieses Verhalten kennen wir ja bereits von der quadratischen Funktion. Der Mathematiker betrachtet aber zunächst die Folgen.

Ein solches Verhalten "gegen Unendlich" nennt man "bestimmt divergent".

 

Epsilon-Kriterium für Konvergenz

Nun betrachten wir das abstrakte Konvergenzkriterium für Folgen, auch das "Epsilon-Kriterium für Konvergenz" genannt. Es gilt:

Eine Folge ist genau dann konvergent gegen eine Zahl $a$, wenn es für jedes $\varepsilon >0$ (wobei $\varepsilon \in \mathbb {R}$ gilt) einen Index $n_{0}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_{n}$ mit $n\geq n_{0}$ gilt: $|a_{n}-a|<\varepsilon$.

Anders formuliert bedeuted dies: Wenn ein Epsilon gegeben ist (nützlicherweise sollte dies möglichst nahe an Null liegen), dann kann man einen Index finden, sodass von da an jedes Folgenglied einen Abstand vom Grenzwert hat, der kleiner ist als Epsilon.

Beispiel: Konvergenzbeweis

Betrachten wir das Beispiel: $a_{n}={\frac {1}{n}}$:

Definition

Wir hatten uns oben bereits überlegt, dass diese Folge gegen Null konvergiert. Nun benutzen wir unsere Definition: $\varepsilon >0$ (wobei $\varepsilon \in \mathbb {R}$ gilt) einen Index $n_{0}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_{n}$ mit $n\geq n_{0}$ gilt: $\left|{\frac {1}{n}}-0\right|<\varepsilon$

Anschauliche Betrachtung

Zunächst betrachten wir das Ganze anschaulich für $\varepsilon =1$. Es muss also gelten: $\left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<1$ für alle $n\geq n_{0}$. Dieses $n_{0}$ müssen wir nun finden. In diesem Fall ist es ganz leicht. Eine Umformung bringt: $1<n$. Also wäre $2$ unser gesuchter Index.

Betrachten wir nun noch einmal den Fall $\varepsilon =0.01$. Jezt wird es schon schwieriger, denn es muss gelten: $\left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<0.01$ für alle $n\geq n_{0}$. Aber auch hier bringen uns zwei einfache Umformungen zum Ergebnis $100<n$. Damit gilt also: $n_{0}=101$. Für alle Zahlen größer als dieses gefunden $n_{0}$ gilt also ${\frac {1}{n}}<0.01$.

Beweis der Konvergenz

Nun sollte anschaulich klar sein, was Konvergenz bedeutet. Allerdings haben wir mit unseren Beispielen oben natürlich noch nichts gezeigt, denn diese Bedingung muss für jedes beliebige Epsilon gelten. Das heißt: $\left|{\frac {1}{n}}-0\right|={\frac {1}{n}}<\varepsilon$ für alle $n\geq n_{0}$. Umformen bringt auch hier: ${\frac {1}{\varepsilon }}<n$. Damit können wir einen Index angeben - wir müssen nur ${\frac {1}{\varepsilon }}$ geeignet aufrunden und unsere Bedingung gilt für alle $n$, die größer sind als diese Zahl. Daraus folgt, dass die Folge konvergiert.

Man schreibt: $a_{n}\to 0,~~n\to \infty$

 

An unserem Beispiel sollte nun einigermaßen klar geworden sein, wie man mit dem relativ abstrakten Epsilon-Kriterium umzugehen hat.

Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz

Bei unserem Beispiel oben sind wir aber bereits auf ein Problem gestoßen: Wir mussten, um die Rechnung überhaupt durchführen zu können, den Grenzwert kennen. In den meisten Fällen ist dieser aber nicht bekannt. Häufig ist es auch nicht wichtig, wie genau der Grenzwert aussieht, uns interessiert nur, ob es überhaupt einen Grenzwert gibt. Daher gibt es verschiedene Kriterien, wie man an Grenzwerte herangehen kann. Im Folgenden betrachten wir beispielhaft das (nur für Folgen reeller Zahlen gültige) Kriterium von Monotonie und Beschränktheit. Alles weitere ist für die Schule nur am Rande interessant.

Definition Monotonie

Eine Folge heißt genau dann monoton, wenn für alle $a_{n}$ der Folge gilt: $a_{n+1}\geq a_{n}$ (monoton steigend) oder $a_{n+1}\leq a_{n}$ (monoton fallend).

Eine Folge heißt genau dann streng monoton, wenn zudem immer gilt: $a_{n+1}>a_{n}$ (streng monoton steigend) oder $a_{n+1}<a_{n}$ (streng monoton fallend).

Beispiel: streng monoton fallende Folge

Wir betrachten als Beispiel wieder die Folge $a_{n}={\frac {1}{n}}$.

Wenn man sich die ersten Glieder anschaut, liegt die Vermutung nahe, dass die Folge streng monoton fallend ist. Es muss gelten: $a_{n+1}<a_{n}$. Tatsächlich finden wir: ${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n}}~~\Leftrightarrow ~~n<n+1$. Diese letzte Aussage ist natürlich wahr für jedes $n$ und da sich daraus unsere Behauptung ergibt, ist diese ebenfalls wahr.

Die Folge ist also streng monoton fallend.

 

Definition Beschränkheit

Eine Folge heißt nach unten beschränkt wenn man eine Zahl $r\in \mathbb {R}$ finden kann, sodass $a_{n}\geq r$ für alle möglichen Folgenglieder gilt. Gibt es eine Zahl $R\in \mathbb {R}$ mit $R\geq a_{n}$ für alle Folgenglieder, dann heißt die Folge nach oben beschränkt. Gelten beide Fälle, so heißt die Folge einfach beschränkt.

Beispiel: streng monoton fallende Folge

Wir betrachten als Beispiel wieder die Folge $a_{n}={\frac {1}{n}}$.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Es ist ziemlich einfach, eine Zahl anzugeben, die immer kleiner ist, als jedes Folgenglied. Jede negative Zahl zum Beispiel erfüllt die Bedingung, denn logischerweise kann ${\frac {1}{n}}<0$ für natürliche $n$ nicht gelten. Auch die $0$ selbst wird nicht erreicht. Also ist die Folge nach unten beschränkt. Man kann zeigen, dass die Null zugleich die größtmögliche Zahl ist, für die das gilt - das überlassen wir aber den Mathematikern.

Betrachten wir nun den Fall einer oberen Schranke. Auch das ist nicht schwierig, denn unsere Folge ist bekanntermaßen streng monoton fallend - also ist jede Zahl, die größer oder gleich dem ersten Folgenglied ist, zugleich größer allen anderen Folgengliedern. Es gilt: $a_{1}={\frac {1}{1}}$ und damit: $1\geq a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Damit ist die Folge also beschränkt

 

Konvergenz

Es ist nun möglich zu zeigen, dass jede Folge, die monoton und beschränkt ist, auch konvergent ist. Anschaulich sollte dies an unserem Beispiel klar sein.

Damit wollen wir es auch belassen und uns nun nur noch kurz der Konvergenz von Reihen zuwenden.

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