MathGymOS/ Analysis/ Lineare und quadratische Funktionen

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Lineare Funktionen und ihre Eigenschaften

Der Graph (die Zeichnung) einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Die allgemeine Formel linearer Funktionen lautet:

$y=mx+n\,$

Hierzu kann man zwei Gruppen von Spezialfällen finden, die für sich bestimmte Besonderheiten aufweisen:

$(1)\quad y=n$

$m=0$

$(2)\quad y=mx$

$n=0$

Abgesehen von (1), der konstanten Funktion, sind alle linearen Funktionen bijektiv. Die einzige Art von Geraden, die sich so nicht beschreiben lassen, ist $x=c$, die zur y-Achse parallelen Geraden. Diese Geraden sind aber nicht Graph einer Funktion.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Eine Gerade mit positiver Steigung und negativem y-Achsenabschnitt

Die Steigung einer linearen Funktion, oben bezeichnet durch $m$, lässt sich einfach berechnen. Hierfür genügt es, zwei verschiedene Punkte der Geraden $A(x_{1}|y_{1})$ und $B(x_{2}|y_{2})$ auszusuchen und die Differenz ihrer y-Werte, sowie die Differenz ihrer x-Werte zu bestimmen. Die Steigung der Geraden (die auch anschaulich an allen Punkten der Gerade gleich ist) wird ermittelt durch die Höhendifferenz der beiden Punkte geteilt durch die Differenz ihrer x-Werte. Folglich genügt es rechnerisch gesehen, diese beiden Differenzen zu dividieren (in Relation setzen). Man erhält so den später noch sehr wichtigen „Differenzquotienten“:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {Y-{\text{Unterschied}}}{X-{\text{Unterschied}}}}$

Die zweite Konstante in der obigen Gleichung ($n$) ist ein Wert, der zur Funktion hinzuaddiert wird. Er ändert nichts an der Steigung, sondern sorgt lediglich für eine Verschiebung. Der Wert $n$ wird auch als „y-Achsenabschnitt“ bezeichnet, da der Graph die y-Achse im Punkt $S(0|n)$ schneidet.

Spezialfälle (1)

Der erste Fall ist eine Parallele zur x-Achse des Koordinatenkreuzes. Die Funktion entsteht, wenn die Steigung $m$ der Geraden gleich 0 ist.

Spezialfälle (2)

Der zweite Fall von linearen Funktionen (ohne den Summanden $n$) bezeichnet jede Gerade, welche die Koordinatenachsen im Ursprung schneidet. Bereits in der Unterstufe wird dieser Fall als „Proportionale Zuordnung“ eingeführt.

Quadratische Funktionen und ihre Eigenschaften

Eine nicht verschobene Parabel

Quadratische Funktionen sind im $\mathbb {R} ^{2}$ grafisch gesehen immer Parabeln. Die allgemeine Form quadratischer Funktionen, die - wie die Form der linearen Funktionen - auch meist bereits vor der Oberstufe eingeführt wird, lautet:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\quad$ mit $a,b,c\in \mathbb {R}$

Alle quadratischen Funktionen sind weder surjektiv, noch injektiv. Ferner ist die Parabel gekennzeichnet durch einen sogenannten „Scheitelpunkt“, der das absolute Minimum, bzw. bei nach unten geöffneten Parabeln das absolute Maximum darstellt. Die Parallele zur y-Achse, die den Scheitelpunkt beinhaltet, ist zudem die Symmetrieachse der Parabel, d.h. die Werte rechts und links vom Scheitelpunkt sind symmetrisch angeordnet

Die Untersuchung solcherart Funktionen wird im Allgemeinen auch vor der Oberstufe bereits durchgeführt, sei hier aber in Ansätzen noch einmal erklärt.

Scheitelpunktsform

Bereits in der Mittelstufe wird die „Scheitelpunktsform“ eingeführt. In dieser Form lässt sich die Form und Lage der Parabel relativ leicht bestimmen.

Um zu dieser Form zu gelangen klammert man zunächst den Vorfaktor $a$ aus und nutzt das Verfahren der quadratischen Ergänzung, um auf eine binomische Formel zu gelangen.

$f(x)=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+{c}$

$\Leftrightarrow \quad f(x)=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\cdot a+c$

$\Leftrightarrow \quad f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

Der Übersicht halber setzen wir nun:

$d={\frac {b}{2a}}$

und

$e=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$.

So ergibt sich die Scheitelpunktsform:

$f(x)=a(x+d)^{2}+e\,\!$

Scheitelpunkt

Für die Zeichnung ist der Scheitelpunkt von großer Bedeutung, da er der einzig ausgeprägte Punkt der Parabel ist. Aus der Scheitelpunktsform lässt er sich ohne weiteres herauslesen, weshalb diese Form ihren Namen trägt:

$S(-d|e)\,\!$

Im Zentrum der Scheitelpunktsform steht das Quadrat bei $(x+d)^{2}$. Aus der Definition wird ersichtlich, dass die Werte der Funktion $f(x)=x^{2}$ stets größer 0 sind, falls x von 0 verschieden ist. Formal ausgedrückt:

$f(x)=x^{2}\quad \Rightarrow ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:f(x)>0$

Falls $d$ aus der Scheitelpunktsform ungleich 0 ist, dann wird $a(x+d)^{2}$ für $x=-d$ und positives $a$ am kleinsten, nämlich 0. Für kleinere und größere Argumente ($x$-Werte) sind die Funktionswerte von $f(x)$ also alle größer (oder kleiner bei negativem Vorzeichen von $a$).

An diesem Punkt gilt nun $f(x)=e$. Also haben wir den Scheitelpunkt gefunden. Er liegt bei $S(-d|e)$. Die Werte sind also direkt aus der Scheitelpunktsform auszulesen. Dennoch lohnt es sich nicht immer, die Scheitelpunktsform zu bilden, wenn wir den Scheitelpunkt suchen und nur eine quadratische Gleichung gegeben haben, wie wir später sehen werden.

Streckung, Stauchung und Seite der Öffnung

Die Scheitelpunktsform erhält nun noch eine weitere Konstante, deren Bedeutung noch nicht geklärt ist, den Vorfaktor $a$. Wie leicht ersichtlich ist, verändert sich das Vorzeichen von $a(x+d)^{2}$, wenn sich das Vorzeichen von $a$ ändert. Daraus können wir ableiten, dass die Parabel nach oben geöffnet (Scheitelpunkt ist tiefster Punkt) ist für alle positiven $a$ und nach unten geöffnet (Scheitelpunkt ist höchster Punkt) für alle negativen.

Außerdem erkennt man, dass die Parabel für alle $a>1$ sehr schnell sehr stark ansteigt. Man sagt die Parabel sei gestreckt. Anderenfalls, also wenn $0<a<1$, wächst die Parabel langsamer, sie ist also nach oben hin breiter. Man nennt sie dann gestaucht. Aufgrund dieser Ergebnisse nennt man $a$ häufig auch den Stauchungs- oder Streckungsfaktor.

Nullstellenberechnung von quadratischen Funktionen

Eines der für die Oberstufenmathematik vielleicht wichtigsten Themen rund um die quadratischen Funktionen ist die Berechnung ihrer Nullstellen aus einer gegebenen Ausgangsgleichung. Hierzu setzt man logischerweise $f(x)=0$ und stellt nach $x$ um. Da dies aber nicht unkompliziert ist, leitet man eine Formel ab, mit deren Hilfe man die Nullstellen ohne weiteres berechnen kann.

In der Schule werden zwei Formeln gelehrt, die dieses leisten. Die erste ist die sogenannte „Mitternachtsformel“. Auch wenn sie in der deutschen Literatur meist nicht so bekannt ist wie die „p-q-Formel“, wollen wir dennoch diese erste Formel zuerst herleiten, da sie die allgemeinere der beiden Formeln ist.

Mitternachtsformel

Gegeben ist eine quadratische Formel in der Ursprungsform:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$

Diese setzen wir nun gleich Null und erhalten:

$\Rightarrow \quad ax^{2}+bx+c=0$

Mit Hilfe unserer Erkenntnisse können wir umformen zu:

$\Leftrightarrow \quad a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}=0$

Stellen wir nun nach $x$ um:

$\Leftrightarrow \quad a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$

$\Leftrightarrow \quad \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}{a}}$

$\Leftrightarrow \quad \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {4ac}{4a}}}{a}}$

$\Leftrightarrow \quad \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

Nun können wir die Wurzel ziehen, dabei sollten wir aber die oben beschriebene Symmetrie beachten. Das heißt: Sowohl die positive als auch die negative Wurzel ist eine Lösung!

$\Leftrightarrow \quad x_{1,2}+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$

$\Leftrightarrow \quad x_{1,2}=-{\frac {b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Die letzte Formel ist nun die gesuchte Mitternachtsformel. Da die Kurve aber nicht surjektiv ist, heißt das, dass nicht notwendigerweise Nullstellen vorliegen müssen. Durch Nachdenken kommt man schnell darauf, dass die Parabel entweder 0, 1 oder 2 Nullstellen besitzt, also die Mitternachtsformel entsprechend 0,1 oder 2 Lösungen besitzen muss.

Parabel mit Diskriminante>0 (schwarz); D=0 (grün); D<0 (rot)

Dies stimmt auch - die Zahl der Lösungen wird durch die Wurzel bestimmt, man nennt den Radikanden deshalb auch 'Diskriminante' und bezeichnet ihn mit einem großen griechischen Delta ($\Delta$):

• Fall 1: zwei Lösungen:

Die Diskriminante ist in der Mitternachtsformel also $\Delta =b^{2}-4ac$. Wegen des $\pm$ vor der Wurzel bedeutet dies, dass die Gleichung genau dann zwei Lösungen hat, wenn $\Delta >0$.

• Fall 2: eine Lösung:

Ist $\Delta =0$, so fallen die beiden Lösungen in eine zusammen.

• Fall 3: keine Lösung:

Wenn $\Delta <0$, so ist der Radikand der Wurzel negativ. Aus der Mittelstufe wissen wir, dass eine solche Wurzel in $\mathbb {R}$ nicht definiert ist. Das bedeutet, dass unsere Gleichung in $\mathbb {R}$ keine Lösung hat.

p-q-Formel

In der deutschsprachigen Literatur findet sich allerdings eher die p-q-Formel. Sie wird aus dem speziellen Fall $f(x)=x^{2}+px+q$ abgeleitet. Um sie zu benutzen, muss man also für gewöhnlich durch den Vorfaktor von $x^{2}$ teilen.

Analog zur Mitternachtsformel lässt sich die p-q-Formel beweisen:

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

Die Diskriminante ist hier $\Delta =\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q$, die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von der Diskriminante sind zur Mitternachtsformel äquivalent.