MathGymOS/ Analysis/ Numerische Verfahren zur Nullstellenberechnung/ Regula Falsi

Methode

Das Regula-Falsi-Verfahren wird auch Sekantenverfahren genannt. Warum, werden wir gleich sehen. Analog zur Bisektion benötigt auch Regula Falsi ein Intervall zwischen a und b, für die die gleichen Bedingungen gelten. Im Prinzip ist das Verfahren genau dasselbe, nur das zur Bestimmung von $x_{i}$ eine andere Formel benutzt wird. Diese Formel lautet:

$x_{i}=a-f(a){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}$

Unter Umständen kann dieses Vorgehen viel schneller zur gewünschten Lösung hinleiten. Gewählt wurden zwei Punkte (a/f(a)), (b/f(b)), wobei $f(a)>0$ und $f(b)<0$ oder umgekehrt.

$x_{i}$ ist die x Koordinate der Nullstelle der Sekante durch die Punkte (a/f(a)) und (b/f(b)). Je nachdem, ob $f(x_{i})>0$ oder $f(x_{i})<0$, wird es als neues a oder b herangezogen.

Herleitung der Verfahrensmethode

Wir betrachten eine steigende Funktion. Die Steigung $m$ der Sekante zwischen zwei Punkten ist bekanntlich (sei $x_{1}<x_{2}$)

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Da wir im Intervall a und b arbeiten, kommen wir auf die Steigung (sei $x_{1}=a,x_{2}=b$)

$m={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Ziel ist es nun, die Sekante der Funktion zwischen a und b in der Form

$y=mx+q\,$

zu bestimmen. Die Steigung $m$ haben wir ja bereits. $q$ bekommen wir nun, indem wir m und für (x/y) die Koordinaten (a/f(a)) in obige Gleichung einsetzen, da (a/f(a)) ja Punkt der Sekante ist.

$f(a)=ma+q={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}a+q=f(a)$

daraus folgt nach Umformung

$q=f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}a$

und folglich

$y=mx+q={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}a={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a)$

Dies ist die Sekante, die die Funktion in a f(a) und f(b) schneidet. Da die Nullstelle bestimmt werden soll, wird y gleich 0 gesetzt

$0={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)+f(a)$

$0=(f(b)-f(a))(x-a)+f(a)(b-a)$

$0=(x-a)+f(a){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}$

und es folgt die Formel

$x=a-f(a){\frac {b-a}{f(b)-f(a)}}$

Beispiel

Wir beginnen direkt mit einem komplizierteren Beispiel, da der Grundsatz eigentlich klar sein sollte. Wir suchen die Nullstellen der Funktion

$f(x)=cos(x)-x\,$

Es ist dieselbe, die wir bereits mit der Bisektion hergeleitet haben. Hier nun das Verfahren mit Regula Falsi:

i	$a\,$	$b\,$	$x_{i}\,$	$f(x_{i})\,$	$>oder<0\,$
0	$0\,$	$1\,$	$0.6850733\,$	$0.089299276\,$	$>0\,$
1	$0.6850733\,$	$1\,$	$0.7362989\,$	$0.004660039\,$	$>0\,$
2	$0.7362989\,$	$1\,$	$\color {Red}0.7389453\,$	$0.000233925\,$	$>0\,$

Wir erinnern uns: Bei der Bisektion brauchten wir 6 Iterationen, um auf ein ähnlich gutes Ergebnis zu kommen - hier sind es nur halb so viele. Erstaunlich, und das spricht für Regula Falsi als besseren Algorithmus als die Bisektion. Doch es gibt noch ein besseres Verfahren: Das Tangentenverfahren. Doch das kommt im nächsten Kapitel, hier erst mal ein paar Übungen:

Übungsaufgaben

• $f(x)=x^{2}-2\,$ (Quadratwurzel von 2) im Intervall $I[0,2]\,$
• $f(x)=x^{3}-3\,$ im Intervall $I[0,2]\,$

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