In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.
Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.
Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden.
Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt. Und wir haben einen Weg gefunden, über schrittweise eindimensionale Integration zum Integral über ein Maß auf einem mehrdimensionalen Raum zu gelangen. Dann haben wir Bedingungen angegeben, wann das Integral mit einer Ableitung oder einem Grenzwert vertauscht.
Wir zeigen, dass man mit einer Funktion ein Bildmaß im Raum erzeugen kann. Sei . Dann ist es egal, ob man im Bildraum mit integriert oder verknüpft mit im Raum mit integriert: es kommt dasselbe heraus.
Satz
Gegeben seien
mit dem von erzeugten Maß
Es ist für den Wert des Integrales egal, ob man im Bildraum mit oder im Urbildraum mit integriert:
Für gilt
Weiter gilt
und in diesem Fall sind die Integrale wieder gleich.
Beweis
Wir beweisen es erst für die Indikatorfunktion, dann für primitive Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für beliebige Funktionen. Dazu benötigen wir folgende Beziehung für Indikatorfunktionen, wobei
Beachte, dass auf lebt, jedoch auf .
0.) ist ein Maß:
1.) Die Indikatorfunktion:
Sei . WIr wenden die gerade gezeigte Beziehung für Indikatorfunktinen an und benutzen die Definition von m_f. Das ergibt
2.) Primitive Funktionen:
Sei . Wir benutzen 1.) und die Linearität der Integrale über m und m_f.
3.) nicht-negative messbare Funktionen:
4.) messbare Funktionen:
Wegen 3.) gilt
Sind beide endlich, so sind h, bzw h\circ f integrierbar
Aufgabe zur Integration über das Bildmaß
[Bearbeiten]
Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften von )
Schreibe die Definition von sigma-endlich genau hin. Nenutze die Eigenschaften von aus dem Kapitel über messbare Funktionen
Beweis (Eigenschaften von )
a)
b)
Es gibt eine Folge von mit und . Verwende nun einfach die Mengen für die Sigma-endlichkeit von , denn
c)
Sei . Dann ist sigma-endlich (mit . Sei . Dann gilt
Damit kann man keine sigma-endliche Folge von Mengen konstruieren, ihr Maß ist entweder Null oder unendlich.
Das Lebesguemaß ist verschiebungsinvariant
[Bearbeiten]
Satz
ändert sich nicht bei Verschiebungen:
Beweis
Für Intervalle bzw. Rechtecke bzw. (verallgemeinerte) Quader gilt.
Damit gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.
Beweis
sind linear, also stetig und messbar, d.h. die linke Seite ist definiert.
Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.
1.):
Dann gilt
addiert das -fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile
Sei
Dann ist
umkehrbar mit
Damit gilt
und somit
2.):
Da
folgt
3.):
Da
gilt
Das Lebeguemaß einer Menge unter linearen Abbildungen
[Bearbeiten]
Satz
Sei B eine umkehrbare -Matrix. Dann gilt
Beweis
Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.
Es gibt einfache Zeilenumformungen und mit
Da B umkehrbar ist, gilt und somit
Satz
Sei differenzierbar. Dann gilt
Beweis
ist differenzierbar und für gilt
Mit dem Mittelwertsatz folgt
Beweis
1.):
Da gilt
Sei
Da auf [a,b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind, wähle so klein, daß
Wähle eine Zerlegung von in Quader für mit Seitenlänge . Dann gilt
Wähle für ein mit
und setze
Mit
gilt
Mit
gilt
und da invariant gegen Verschiebungen ist, ergibt sich
Mit
ergibt summieren über
Da beliebig war, gilt
Da Erzeugendensystem von ist, gilt
da die rechte Seite ein Maß ist.
Damit können wir die Formel für die Polarkoordinaten beweisen, die in der Physik schon in dem ersten Semester verwendet wird.
Satz
Sei und
Für mit gilt
Beweis
Sei
Die Abbildung
ist stetig differenzierbar und umkehrbar und
ist stetig differenzierbar.
Entwicklung der Determinante liefert
Das ist dieselbe Form wie in der ersten Zeile.
Induktion ergibt also
Da eine Nullmenge ist, gilt
und somit