Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die Transformationsformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien Messräume. Wir definierten eine Abbildung als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra auf Mengen der Sigma-Algebra abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden. Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt. Und wir haben einen Weg gefunden, über schrittweise eindimensionale Integration zum Integral über ein Maß auf einem mehrdimensionalen Raum zu gelangen. Dann haben wir Bedingungen angegeben, wann das Integral mit einer Ableitung oder einem Grenzwert vertauscht.

Integration über das Bildmaß[Bearbeiten]

Wir zeigen, dass man mit einer Funktion ein Bildmaß im Raum erzeugen kann. Sei . Dann ist es egal, ob man im Bildraum mit integriert oder verknüpft mit im Raum mit integriert: es kommt dasselbe heraus.

Satz

Gegeben seien

mit dem von erzeugten Maß

Es ist für den Wert des Integrales egal, ob man im Bildraum mit oder im Urbildraum mit integriert:

Für gilt

Weiter gilt

und in diesem Fall sind die Integrale wieder gleich.

Beweis

Wir beweisen es erst für die Indikatorfunktion, dann für primitive Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für beliebige Funktionen. Dazu benötigen wir folgende Beziehung für Indikatorfunktionen, wobei

Beachte, dass auf lebt, jedoch auf .

0.) ist ein Maß:

Mit den Rechenregeln von (im Kapitel über messbare Funktionen) und mit der Eigenschaft von gilt

Damit ist ein Maß.


1.) Die Indikatorfunktion:

Sei . WIr wenden die gerade gezeigte Beziehung für Indikatorfunktinen an und benutzen die Definition von m_f. Das ergibt

2.) Primitive Funktionen:

Sei . Wir benutzen 1.) und die Linearität der Integrale über m und m_f.

3.) nicht-negative messbare Funktionen:

Sei und mit . Da die und monoton steigend gegen und gehen, gilt nach Definition des Integrales und 2.)

4.) messbare Funktionen:

Wegen 3.) gilt

Sind beide endlich, so sind h, bzw h\circ f integrierbar

Aufgabe zur Integration über das Bildmaß[Bearbeiten]

Aufgabe (Eigenschaften von )

Sei gegeben.

a) Sei endlich. Dann ist endlich.

b) Sei sigma-endlich. Dann ist sigma-endlich.

c) Sei sigma-endlich. Dann ist nicht notwendigerweise sigma-endlich.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften von )

Schreibe die Definition von sigma-endlich genau hin. Nenutze die Eigenschaften von aus dem Kapitel über messbare Funktionen

Beweis (Eigenschaften von )

a)

b)

Es gibt eine Folge von mit und . Verwende nun einfach die Mengen für die Sigma-endlichkeit von , denn

c)

Sei . Dann ist sigma-endlich (mit . Sei . Dann gilt

Damit kann man keine sigma-endliche Folge von Mengen konstruieren, ihr Maß ist entweder Null oder unendlich.

Das Lebesguemaß ist verschiebungsinvariant[Bearbeiten]

Satz

ändert sich nicht bei Verschiebungen:

Beweis

Für Intervalle bzw. Rechtecke bzw. (verallgemeinerte) Quader gilt.

Damit gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

Das Lebeguemaß einer Menge bei elementaren Zeilenumformungen[Bearbeiten]

Satz

Für Zeilenumformungen in gilt

wobei das -fache der -ten zur -ten Zeile addiert, -te und -te Zeile vertauscht und die -te Zeile mit multipliziert.

Beweis

sind linear, also stetig und messbar, d.h. die linke Seite ist definiert. Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

1.):

Dann gilt addiert das -fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile

Sei

Dann ist

umkehrbar mit

Damit gilt

und somit

2.):

Da

folgt

3.):

Da

gilt

Das Lebeguemaß einer Menge unter linearen Abbildungen[Bearbeiten]

Satz

Sei B eine umkehrbare -Matrix. Dann gilt

Beweis

Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für ) sind beide Maße gleich.

Es gibt einfache Zeilenumformungen und mit

Da B umkehrbar ist, gilt und somit

Ein Hilfssatz[Bearbeiten]

Satz

Sei differenzierbar. Dann gilt

Beweis

ist differenzierbar und für gilt

Mit dem Mittelwertsatz folgt

Die Transformationsformel[Bearbeiten]

Satz

Seien offen und umkehrbar mit stetig differenzierbar. Dann gilt

a) gilt

b) Für alle messbaren gilt

c) ist integrierbar ist integrierbar.

Dann gilt

Beweis

1.):

Da gilt

Sei

Da auf [a,b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind, wähle so klein, daß

Wähle eine Zerlegung von in Quader für mit Seitenlänge . Dann gilt

Wähle für ein mit

und setze

Mit

gilt

Mit

gilt

und da invariant gegen Verschiebungen ist, ergibt sich

Mit

ergibt summieren über

Da beliebig war, gilt

Da Erzeugendensystem von ist, gilt

da die rechte Seite ein Maß ist.

2.):

Für alle messbar gilt}

Begründung: Sei und . Dann gilt

Für primitive Funktionen gilt

und für

3.):

Für alle gilt}

Begründung: Mit und statt und gilt

d.h.

Für und gilt es, also auch für . Wegen

gilt

Polarkoordinaten[Bearbeiten]

Damit können wir die Formel für die Polarkoordinaten beweisen, die in der Physik schon in dem ersten Semester verwendet wird.

Satz

Sei und

Für mit gilt

Beweis

Sei

Die Abbildung

ist stetig differenzierbar und umkehrbar und

ist stetig differenzierbar.

Entwicklung der Determinante liefert

Das ist dieselbe Form wie in der ersten Zeile. Induktion ergibt also

Da eine Nullmenge ist, gilt

und somit