Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Beispiele für Ringe

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Ring der linearen Abbildungen in zwei Variablen[Bearbeiten]

-Lineare Abbildungen von nach sind Abbildungen der Form

mit Konstanten . Abbildungen dieser Form treten in vielen verschiedenen Kontexten auf. Hier ein sehr einfaches Beispiel: Die Abbildung spiegelt den Vektor an der -Achse. Auch Stauchungen, Streckungen und Drehungen sind lineare Abbildungen von nach und jede lineare Abbildung aus kann als Hintereinanderausführung von Stauchungen bzw. Streckungen und Drehungen dargestellt werden.

Sei die Menge der -linearen Abbildungen von nach . Im Folgenden werden wir aus Bequemlichkeit nur noch linear schreiben, aber -linear meinen. Man kann zwei lineare Abbildungen zu einer neuen Abbildung aufaddieren, die einem Tupel die Summe seiner beiden Bilder zuordnet. Die Bilder und werden dabei wie bei der Vektoraddition komponentenweise addiert.

To-Do:

Bild zu Abbildung s einfügen die Menge M umbenennen, sodass sie die Bezeichnung, die später für die Menge der reellen 2x2-Matrizen verwendet wird, erhält. Z.B. oder Anschauung für lineare Abbildungen

Außerdem kann man lineare Abbildungen von nach miteinander verketten. Man erhält so eine Abbildung , die ein Tupel auf abbildet.

Die Menge der linearen Abbildungen von nach bildet unter diesen beiden Verknüpfungen einen Ring. Dies werden wir im Folgenden zeigen.

  1. Unter der Addition bildet eine abelsche Gruppe
    • Abgeschlossenheit: Seien
      zwei beliebige lineare Abbildungen mit und
      . Dann ist
      für alle , und somit selbst wieder eine lineare Abbildung von nach . Somit ist ist abgeschlossen unter der Addition .
    • Assoziativität: Seien drei bliebige lineare Abbildungen. Aufgrund der Abgeschlossenheit von unter sind und lineare Abbildungen von nach . Die Funktionswerte an einem beliebigen Punkt sind gegeben durch
      und
      Da die einzelnen Summanden reelle Zahlen sind, folgt mit der Assoziativität der Addition reeller Zahlen, dass
      und
      , und daher gilt
      für alle Punkte . Folglich gilt für beliebige Abbildungen , dass
      , die Addition ist also assoziativ.
    • Kommutativität: Die Addition ist zudem kommutativ, dies folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen. Denn für beliebige Abbildungen gilt, dass , und der Funktionswert an einem Punkt ist gegeben durch

      Es gilt demnach für alle linearen Abbildungen , also ist die Verknüpfung kommutativ.

    • Neutrales Element: Die Nullabbildung ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
    • Inverse Zu jeder Abbildung ist die Abbildung
      ebenfalls linear und das zu f additiv-inverse Element.

    bildet demnach eine abelsche Gruppe.

  2. Auch die Verkettung erfüllt die Anforderungen, die in der Definition des Rings an die multiplikative Verknüpfung gestellt werden:
    • Abgeschlossenheit: Seien zwei beliebige lineare Abbildungen mit und . Es gilt mit \Distributivität, Kommutativität =. Da , ist auch eine lineare Abbildung von nach . ist also abgeschlossen unter der Verkettung .
    • Assoziativität: Aufgrund der Abgeschlossenheit von unter der Verkettung ist die Übereinstimmung der Funktionswerte zweier Abbildungen in allen Punkten eine notwendige und zugleich hinreichende Bedingung für deren Gleichheit. Seien beliebige lineare Abbildungen. Der Funktionswert ihrer Verkettungen im Punkt
      ist gegeben durch
      Und
      . Folglich gilt , für alle linearen Abbildungen . Das heißt verhält sich assoziativ.
    • Neutrales Element: Die Abbildung ist linear, und für alle Abbildungen gilt
      und
      . Folglich ist das neutrale Element bezüglich .
  3. Distributivität: Für lineare Abbildungen gilt stets für alle , dass .(**) Wobei die komponentenweise Vektoraddition bezeichnet. In unserem Spezialfall mit sieht man das so: eine beliebige lineare Abbildung mit . Seien und beliebig. Es gilt

    Seien nun beliebig. und sind lineare Abbildungen von nach , denn ist bgeschlossen unter und .

    Der Funktionswert von im Punkt berechnet sich durch
    . Da in liegen folgt mit (**), dass
    . Es gilt daher . Ebenso kann man zeigen, dass für alle linearen Abbildungen gilt, dass
    .

    Hieraus folgt dann die Distrbutivität von und über .

Wir haben somit gezeigt, dass die linearen Abbildungen unter den Operationen und einen Ring bilden. Dieser Ring ist NICHT kommutativ, da die Verkettung nicht kommutativ ist, ebenso wie die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Zum Beispiel gilt für die Abbildungen mit und , dass aber und somit

Ring der reellen Polynome[Bearbeiten]

Ein reelles Polynom ist eine endliche Summe von reellen Vielfachen von Potenzen einer Variablen. Man kann reelle Polynome wie folgt schreiben: mit Koeffizienten .

Auf der Menge der reellen Polynome kann man eine Addition und eine Multiplikation definieren. Diese beiden Operaionen verknüpfen ganze Polynome miteinander. Wir setzen


Wobei für bzw. die Konvention bzw. getroffen wird.

Zum Beispiel gilt und

Wir werden im Folgenden zeigen, dass die Menge der reellen Polynome unter den Verknüpfungen und einen kommutativen Ring bildet.

Aufgabe (als abelsche Gruppe)

Zeige, dass unter der Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet! Falls Du dabei Unterstützung brauchst, findest Du hier eine Anleitung, wie man zeigt, dass etwas eine Gruppe bildet. Vielleicht ist auch das Beispiel der reellen Funktionen aus der Einleitung zu diesem Artikel hilfreich für Dich.

Lösung (als abelsche Gruppe)

  • Abgeschlossenheit: Die Summe zweier reeller Polynome ergibt stets wieder ein reelles Polynom. Denn für Polynome und gilt mit . Folglich ist abgeschlossen unter der Addition .
  • Assoziativität: Für beliebige reelle Polynome und gilt
    Wegen der Assoziativität der Addition reeller Zahlen gilt für alle , dass . Daraus folgt, dass
    gilt.

    Das heißt, die Addition ist assoziativ.

  • Kommutativität: Die Kommutativität der Addition folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reller Zahlen.
  • Neutrales Element: Das Nullpolynom mit ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
  • Inverse: Für alle reellen Polynome ist wieder ein reelles Polynom, und es gilt
    .

    Das heißt, für alle Polynome existieren additiv-inverse Polynome .

Wir haben somit gezeigt, dass die Menge der Polynome unter der Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet.

Nun werden wir noch zeigen, dass auch die Multiplikation die Eigenschaften aus der Definition des Rings erfüllt.

  • Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier reeller Polynome und ergibt das reelle Polynom mit . Die Menge der Polynome ist also abgeschlossen unter der Multiplikation.
  • Assoziativität: Nun zeigen wir, dass die Verknüpfung assoziativ ist. Vorüberlegung: Zwei Polynome und sind gleich, falls für alle gilt . Man kann zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn für alle reellen Zahlen gilt: . Seien beliebige reelle Polynome. Dann gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen für alle reellen Zahlen , dass. Denn und sind reelle Zahlen. Folglich muss auch gelten , das heißt ist assoziativ. Im Folgenden werden wir die Assoziativität explizit zeigen. Seien und beliebige reelle Polynome. Dann gilt

    Die Multiplikation ist also assoziativ.

  • Kommutativität: Die Multiplikation ist sogar kommutativ, denn für beliebige relle Polynome gilt
  • Das -Polynom mit ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, denn für ein beliebiges Polynom gilt Aufgrund der Kommutativität von gilt zudem .
  • Distributivität: Verbleibt nur noch zu zeigen, dass und sich distributiv verhalten. Seien und beliebige relle Polynome. Es gilt
    Mit der Kommutativität der Multiplikation folgt, dass für beliebige reelle Polynome ebenfalls gilt, dass
    . Wir haben somit gezeigt, dass und sich distributiv verhalten.

Es folgt, dass die Menge der reellen Polynome unter den Verknüpfungen einen kommutativen Ring bildet.