Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Schiefsymmetrische Matrizen

Schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix $A$ heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt: ${A}^{T}=-A$.

Anders formuliert: Die Matrix $A$ ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt: $a_{ij}=-a_{ji}\ \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Beispiel (Schiefsymmetrische Matrix)

Die Matrix $A={\begin{pmatrix}0&7&5\\-7&0&-4\\-5&4&0\end{pmatrix}}$ ist schiefsymmetrisch, da ${A}^{T}={\begin{pmatrix}0&-7&-5\\7&0&4\\5&-4&0\end{pmatrix}}=-A$

Hinweis

Wie du an diesem Beispiel sehen kannst, besteht die Diagonale der Matrix nur aus Nullen. Da aber $a_{ij}=-a_{ji}\ \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ ist, muss notwendigerweise gelten $a_{ii}=-a_{ii}\ \forall i\in \{1,\ldots ,n\}$, also $a_{ii}=0$

Das heißt jede schiefsymmetrische Matrix hat in der Diagonalen nur Nullen stehen.

To-Do:

Das gilt nur, wenn $char(K)!=2$. In Charakteristik 2 ist $-A=A$, also sind schiefsymmetrische Matrizen gleich den symmetrischen!

Warnung

Die Umkehrung gilt nicht!

Nicht jede Matrix, deren Einträge in der Diagonale nur aus Nullen bestehen, ist schiefsymmetrisch! Zum Beispiel ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{pmatrix}}$

nicht schiefsymmetrisch, denn es gilt:

$A^{T}={\begin{pmatrix}0&3&5\\1&0&6\\2&4&0\end{pmatrix}}\neq -{\begin{pmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{pmatrix}}=-A$