Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Schiefsymmetrische Matrizen

Schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix $A$ heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt: ${A}^{T}=-A$.

Anders formuliert: Die Matrix $A$ ist schiefsymmetrisch, wenn für ihre Einträge gilt: $a_{ij}=-a_{ji}\ \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Beispiel (Schiefsymmetrische Matrix)

Die Matrix $A={\begin{pmatrix}0&7&5\\-7&0&-4\\-5&4&0\end{pmatrix}}$ ist schiefsymmetrisch, da ${A}^{T}={\begin{pmatrix}0&-7&-5\\7&0&4\\5&-4&0\end{pmatrix}}=-A$

Hinweis

Wie du an diesem Beispiel sehen kannst, besteht die Diagonale der Matrix nur aus Nullen. Da aber $a_{ij}=-a_{ji}\ \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ ist, muss notwendigerweise gelten $a_{ii}=-a_{ii}\ \forall i\in \{1,\ldots ,n\}$, also $a_{ii}=0$

Das heißt jede schiefsymmetrische Matrix hat in der Diagonalen nur Nullen stehen.

Beachte

Das gilt nur, wenn $char(K)!=2$. In Charakteristik 2 ist $-A=A$, also sind schiefsymmetrische Matrizen gleich den symmetrischen!

To-Do:

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Warnung

Die Umkehrung gilt nicht!

Nicht jede Matrix, deren Einträge in der Diagonale nur aus Nullen bestehen, ist schiefsymmetrisch! Zum Beispiel ist die Matrix

$A={\begin{pmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{pmatrix}}$

nicht schiefsymmetrisch, denn es gilt:

$A^{T}={\begin{pmatrix}0&3&5\\1&0&6\\2&4&0\end{pmatrix}}\neq -{\begin{pmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{pmatrix}}=-A$