To-Do:
Fortgeschrittene Substitutionen in eigenes Kapitel
Mit Hilfe der Substitutionsregel können darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen aus dem Integranden „wegsubstituiert“ werden. Hierzu betrachten wir die Arkustangens-Substitution.
Beispiel (Weierstraß-Substitution)
Sei folgendes Problem gegeben: Die Funktion
mit
für alle Mathe
und das unbestimmte Integral
.
Wir substituieren
. Daraus ergibt sich
und
. Mit Hilfe des Zusammenhangs
können wir schreiben:
=
. Kürzen liefert das sympathische unbestimmte Integral
, dessen Menge aller Stammfunktionen wir mit
angeben können. Mit
können wir also schreiben:
.
Mittels eines trigonometrischen Zusammenhangs für
und mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich das Ergebnis theoretisch noch weiter umformen.
Hinweis
Anzumerken ist, dass die gleiche Arkustangens-Substitution ein
im Integranden ebenfalls völlig analog problemlos eliminiert.
Da wir im Beispiel den Zusammenhang
verwendet haben, beweisen wir diesen nachträglich kurz:
Der Zusammenhang
, der für die Elimination von Kosinusausdrücken im Integranden benötigt wird, folgt unmittelbar aus
.
Bei der Euler-Substitution handelt es sich um eine Substitution für Integrale folgender Form:
![{\displaystyle \int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999195605e6303223874b705257005dc35a4bfd2)
oder
Die Substitution ist ziemlich ungewöhnlich und variiert je nach Wahl der Parameter
und
. Daher müssen mehrere Fälle unterschieden werden.
Die erste Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn
. Dann substituieren wir
![{\displaystyle t(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+x{\sqrt {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126cf21120d683120bbd22cb3e6414bc9e49e679)
oder
Beispiel (Erste Euler-Substitution)
Sei folgendes Problem gegeben:
.
Wir verwenden nun die Substitution
. Für die Ableitung folgt
und umgestellt:
. Die Umkehrfunktion lautet
.
Insgesamt ergibt sich:
Die zweite Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn
. Dann substituieren wir
![{\displaystyle t(x)={\frac {{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+{\sqrt {c}}}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04a7c9550f4c880ac6eb90077a2d7f7df47eb5d)
oder
Die dritte Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn
die reellen Nullstellen
und
hat.