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Abstellraum/ Fortgeschrittene Substitutionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Fortgeschrittene Substitutionen

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Weierstraß-Substitution

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To-Do:

Fortgeschrittene Substitutionen in eigenes Kapitel

Mit Hilfe der Substitutionsregel können darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen aus dem Integranden „wegsubstituiert“ werden. Hierzu betrachten wir die Arkustangens-Substitution.

Beispiel (Weierstraß-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben: Die Funktion mit für alle Mathe und das unbestimmte Integral .

Wir substituieren . Daraus ergibt sich und . Mit Hilfe des Zusammenhangs können wir schreiben:

= . Kürzen liefert das sympathische unbestimmte Integral , dessen Menge aller Stammfunktionen wir mit angeben können. Mit können wir also schreiben:

.

Mittels eines trigonometrischen Zusammenhangs für und mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich das Ergebnis theoretisch noch weiter umformen.

Hinweis

Anzumerken ist, dass die gleiche Arkustangens-Substitution ein im Integranden ebenfalls völlig analog problemlos eliminiert.

Da wir im Beispiel den Zusammenhang verwendet haben, beweisen wir diesen nachträglich kurz:

Beweis

Es sei .

So gilt . Umstellen liefert: . Mit Hilfe des Satz von Pythagoras folgt . Quadrieren, Ausmultiplizieren, Umstellen nach und Radizieren liefert schließlich den Zusammenhang für alle . Analoges Vorgehen liefert den Zusammenhang .

Da mit gilt, folgt durch Einsetzen unserere Behauptung.

Der Zusammenhang , der für die Elimination von Kosinusausdrücken im Integranden benötigt wird, folgt unmittelbar aus .

Euler-Substitution

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Bei der Euler-Substitution handelt es sich um eine Substitution für Integrale folgender Form:

oder

Die Substitution ist ziemlich ungewöhnlich und variiert je nach Wahl der Parameter und . Daher müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

1. Euler-Substitution

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Die erste Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn . Dann substituieren wir

oder

Beispiel (Erste Euler-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben: .

Wir verwenden nun die Substitution . Für die Ableitung folgt und umgestellt: . Die Umkehrfunktion lautet .

Insgesamt ergibt sich:

2. Euler-Substitution

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Die zweite Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn . Dann substituieren wir

oder

3. Euler-Substitution

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Die dritte Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn die reellen Nullstellen und hat.