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Abstellraum/ Treppenfunktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Treppenfunktionen

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Wir haben das Integral einer riemannintegrierbaren Funktion mit und definiert als

Dabei ist eine Unterteilung, die Feinheit der Unterteilung und die Riemannsumme.

Wie können wir das Integral von beliebigen Funktionen bestimmen? Wir betrachten zunächst Funktionen, von denen wir das Integral leicht bestimmen können. Die folgenden Beispiele zeigen solche Funktionen.

To-Do:

Beispiele einfügen

Das sind Treppenfunktionen.

Definition

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Definition (Treppenfunktion)

Eine Funktion mit und heißt Treppenfunktion, falls es ein gibt und mit , so dass es für alle ein gibt mit für alle für bzw. für .

Wie können wir das Integral für eine Treppenfunktion berechnen?

To-Do:

Bild von einer Treppenfunktion mit Rechtecken

Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in Rechtecke unterteilen. Das -te Rechteck hat die Breite und die Höhe . Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral entspricht.

Satz

Sei mit und eine Treppenfunktion. Seien mit . Weiter sei für alle , so dass für alle für bzw. für . Dann gilt

Beweis

Sei eine Unterteilung von mit und für ein mit für alle .