Mathe für Nicht-Freaks: Archiv/ Gliederung der LinAlg

Überlegungen zur Gliederung

Kullla

• Intuition der linearen Algebra
• Zusammenhang lineare Algebra – Matrix
• Was ist eine Matrix?
• Wie zeigt man, dass etwas ein Vektorraum ist?
• Wie beweist man, dass etwas ein Unterraum ist?
• Intution hinter Dimension, lineare Unabhängigkeit
• Schema Basiswechselmatrix aufstellen verstehen
• Sinn hinter Zeilen- / Spaltenrang verstehen

Michael Hötzelsperger:

Servus, ich habe mir gestern Abend mal ein paar Gedanken zum Buch gemacht. Zunächst sollten wir meiner Meinung nach Kriterien erarbeiten, um die Relevanz der bisherigen und der fehlenden Inhalte einzuordnen. Dazu hätte ich vorgeschlagen, diese nach den folgenden Gesichtspunkten zu bewerten: 1. Wichtigkeit für die Lineare Algebra I an sich, 2. Bedeutung für nachfolgende Veranstaltungen und 3. Umgang der Studenten mit den Inhalten. Mit Punkt 2 und 3 soll der Umstand Rechnung getragen werden, dass schwierige und wichtige Themen letztendlich im Buch ein größeres Gewicht bekommen sollten, als normalerweise in der Linearen Algebra I. Konkret inhaltlich hätte ich auch noch etwas beizutragen. Ich finde, dass folgende Themen meine Meinung nach noch unbedingt ins Buch gehören. Das wäre der Dualraum (Begründung: bereitet den meisten Anfängern große Schwierigkeiten; ist sehr wichtig, vor allem im Hinblick auf folgende Veranstaltungen) und das große Thema Eigenwerte/Eigenvektoren/Diagonalisierung/Charakteristisches Polynom (Begründung: Standard in Linearen Algebra I, sollte daher auch im Buch auftauchen, sehr wichtig).

Dagegen könnte ich mir vorstellen, den Unterabschnitt Affine Räume aus dem Buch zu streichen. Dieses ist erstens nicht standardmäßig in der Linearen Algebra I enthalten und zweitens hat es nicht so große Bedeutung für spätere Veranstaltungen wie andere Themen.

Typische Verständnisprobleme im 1. Semester:

Definition:
kanonisch
fast alle gleich Null
kommutatives Diagramm

Intuition:
direkte Summe von Vektorräumen
Komplement eines Untervektorraums bezüglich eines Vektorraums
Mengen von Abbildungen als Vektorraum
Dualraum

Wie zeigt man, dass:
eine Menge ein Erzeugendensystem eine Vektorraums ist?

Sinn:
kommutatives Diagramm (formal korrektes Beweisverfahren?)

Fabien Morel (Gliederung Skript Lineare Algebra 1, Mathematik-Bachelor LMU WiSe 2017/18):

0. Grundlagen

1. Vektorräume

• Definition, grundlegende Eigenschaften
• Beispiele Vektorraum: Null-Vektorraum, K-Vektorraum K (Standardgerade), K-Vektorraum K^n, Menge der Abbildung von einer Menge auf einen Vektorraum, direkte Summe zweier Vektorräume, Produkt einer Familie von Vektorräumen, R
• Untervektorraum: Definition, grundlegende Eigenschaften
• Beispiele Untervektorraum: 0, Spann eines Elementes eines Vektorraums, R als Q-Untervektorraum von C, Schnitt von Untervektorräumen, direkte Summe einer Familie von Vektorräumen
• Linearkombination
• Erzeugendensystem
• lineare Unabhängigkeit
• Basis
• Basisauswahlsatz
• Basisergänzungssatz
• Steinitz'scher Austauschsatz
• Dimension
• Dimensionsformel

2. Lineare Abbildungen

• Definition
• Beispiele Lineare Abbildung: Identität, Projektion, Abbildung auf Produkt zweier Vektorräume, komplexe Konjugation R-linear (nicht C-linear), Abbildung auf Linearkombinationen etc.
• Isomorphismus, Epimorphismus, Monomorphismus
• Kern, Bild
• Zusammenhang Empimorphismus & Erzeugendensystem, Zusammenhang Monomorphismus & linear unabhängiges System, Zusammenhang Isomorphismus & Basis
• Kanonische Faktorisierung
• Dimensionensatz
• Linearform
• Dualraum
• Hyperebene
• Komplement
• Matrix
• Zusammenhang Matrix & lineare Abbildung
• Produkt von Matrizen

Gliederung der Linearen Algebra

Legende:

• (besonders wichtig): bedeutet dieser Abschnitt sollte unbedingt in das Buch
• (wichtig)  : bedeutet dieser Abschnitt soll ins Buch, falls noch Platz ist
• (unwichtig)  : bedeutet dieser Abschnitt kann in der Onlineversion stehen, muss aber nicht ins Buch

Einführung

• Was ist lineare Algebra? (wichtig)
• Was sind Vektoren? (besonders wichtig)
• Lineare Gleichungen (wichtig)
• Bezug zur Geometrie (sich schneidende, parallele, windschiefe Gerade) (besonders wichtig)
• Vektorraum (besonders wichtig)
• Lineare Abbildungen (besonders wichtig)

Vektorraum

• Definition und Beispiele (besonders wichtig)
• Unterraum (Dedekind-Identität) (besonders wichtig)
• Faktorraum (wichtig)
• Direkte Summe (wichtig)
• optional: Dualraum (wichtig)

Basis und Dimension

• Erzeugendensystem (besonders wichtig)
• Lineare Unabhängigkeit (besonders wichtig)
• Basis (besonders wichtig)
• Basisauswahlsatz (besonders wichtig)
• Steinitz'scher Austauschsatz (besonders wichtig)
• Dimension (besonders wichtig)
• Basisergänzungssatz (besonders wichtig)

Lineare Abbildungen und Matrizen, sowie deren Zusammenhang

• Definition der Linearen Abbildung (besonders wichtig)
• Beispiele (evtl. Spiegelungen & Drehungen hervorheben) (besonders wichtig)
• Prinzip der linearen Fortsetzung (besonders wichtig)
• Abbildungsmatrix/darstellende Matrix (besonders wichtig)
• Basistransformation (besonders wichtig)
• Rechnen mit Matrizen (besonders wichtig)
• Transponierte Matrix (besonders wichtig)
• Rang (Zeilenrang, Spaltenrang) (besonders wichtig)
• Inverse Abbildung und deren Matrix (besonders wichtig)
• Inverse Matrix (wichtig)
• Invertieren mit dem Gauß-Verfahren (wichtig)
• Adjunkte und Zusammenhang mit der Inversen (unwichtig)
• Isomorphismus und Isomorphie von VR (besonders wichtig)
• Dimensionssatz (besonders wichtig)
• Homomorphiesatz, Isomorphiesätze (wichtig)

Lineare Gleichungssysteme

• Einführendes Beispiel (wichtig)
• Gaußverfahren (besonders wichtig)
• Cramersche Regel (besonders wichtig)
• Anwendungsbeispiele (besonders wichtig)

Determinante

• Determinante einer Matrix (besonders wichtig)
• Determinante einer Abbildung (Wohldefiniertheit!) (besonders wichtig)
• Rechenregeln (Vertauschen von Zeilen/Spalten, Skalarmultiplikation, Addition von Zeilen, Multiplikation von Matrizen) (besonders wichtig)
• Entwicklungssatz nach einer Zeile/Spalte (Laplacescher Entwicklungssatz) (besonders wichtig)
• Leibniz-Formel (Regel von Sarrus) (besonders wichtig)
• Determinante besonderer Matrizen (Dreiecksmatrizen, Blockmatrizen, Vandermonde) (besonders wichtig)