Buchanfang Algebra by Morrison69/ Abelsche Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In den vorhergehenden Kapiteln hast du erfahren, wie eine Gruppe definiert ist und welche Eigenschaften alle Gruppen gemeinsam haben. Nun wollen wir auch eine Eigenschaft betrachten, die nicht jede beliebige Gruppe hat.

Definition einer abelschen Gruppe

Die abelsche Gruppe, oder auch kommutative Gruppe ist eine Erweiterung des Gruppenbegriffs. Für abelsche Gruppen muss zusätzlich zu den drei Gruppenaxiomen die Kommutativität gegeben sein. Es muss also für alle beliebigen Elemente $a$ und $b$ der Gruppe gelten:

$a\circ b=b\circ a$

Bei dieser Definition musst du darauf achten, dass die Eigenschaft wirklich für alle Kombinationen zweier Elemente der Gruppe gilt. In jeder Gruppe kannst du Elemente finden, die mit einem bestimmten Element kommutieren. Beispiele dafür sind das neutrale Element oder das Inverse. Aber es reicht nicht aus, einzelne Paare von kommutierenden Elementen zu finden, um sagen zu können, dass eine ganze Gruppe abelsch ist.

Beispiele

Wir wollen hier nur einige wenige Beispiele für abelsche und nicht-abelsche Gruppen anschauen. Bei den abelschen Gruppen handelt es sich größtenteils um Beispiele, die dir schon in den vorherigen Kapiteln begegnet sind; nicht-abelsche Gruppen zu finden, ist zunächst dagegen gar nicht so einfach. Später wirst du noch sehr wichtige nicht-abelsche Gruppen kennen lernen, nämlich die sogenannten symmetrischen Gruppen.