Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das Maßproblem ist unlösbar – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Motivation[Bearbeiten]

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus sind dies Längen, bei Teilmengen aus Flächen, bei Teilmengen aus Volumina und bei Teilmengen aus mit verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir[Bearbeiten]

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit sind auch und ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus ). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit sind auch ). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit sind auch ) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Wir haben dann Dynkinsysteme untersucht als beweistechnisches Hilfsmitel (dort gilt mit sind auch ) und mit ihrer Hilfe die Eindeutigkeit von Maßen im sigma-endlicuen Fall bewiesen. Nimmt man zur Borelschen Sigma-Algebra der "guten" Mengen die Teilmengen ihrer Nullmengen als Vervollständigung hinzu, so erhält man genau die Sigma-Algebra des äußeren Maßes der "allgemein guten" Mengen. Abschließend zeigen wir für Interessierte die Unlösbarkeit des Maßproblemes-

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar[Bearbeiten]

Satz (Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar für )

Ein Maß auf , das verschiebungsinvariant ist mit kann nicht existieren.

Beweis (Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar für )

Die Beweisidee ist, in abzählbar unendlich viele "gleich große" Teilmengen zu zerlegen und damit einen Widerspruch zu erhalten zu .

1.) Definiere eine Äquivalenzrelation für Sei eine beliebige irrationale Zahl, setze

Wir rechnen die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation nach: Mit der Wahl gilt

Damit gilt .

Gelte . Mit der Definition folgt

Multipliziert man die Beziehung mit Minus Eins, erhält man

und das bedeutet nach Definition .

Gelte . Mit der Definition folgt

Addieren der beiden Gleichungen ergibt

Das ist aber die Definition von .

2.) Bilde nun ein Repräsentantensystem von , d.h. wähle (mit dem Auswahlaxiom) je einen Vertreter jeder Menge bzgl. der Äquivalenzrelation. In der Äquivalenzklasse für von sind z.B. daher auch die Elemente .

Nimm nun nur das Repräsentantensystem, verschiebe es auf ganz und schiebe die Elemente wieder geschickt zurück auf gemäß der Anleitung

ist i.A. nicht mehr im Einheitsintervall enthalten, deshalb definieren wir

Jeder einzelne Repräsentant wird also zurückgebracht nach .

3.) Die sind paarweise disjunkt nach Konstruktion der Äquivalenzklassen, wir rechnen es aber nach. Sei , dann gilt mit

Umstellen ergibt

d.h. und somit gemäß Wahl des Vertreters. Es folgt mit

und somit , d.h. .

4.) Die hätten dieselbe Länge

Sei . Da aus durch Verschiebung um entsteht, ist ihre Länge gleich

Nach einer geeigneten Zerlegung entsteht aus ebenfalls durch Verschiebung. Definiere dazu die disjunkten Mengen

Wegen gilt , das ergibt eine disjunkte Zerlegung

Definiere durch Verschiebung

so gilt

denn seien , dann folgt

ein Widerspruch. Damit ergibt sich

5.) Die bilden eine Zerlegung von .

Zeige: Für alle existiert ein mit .

Sei beliebig. Da ein Repräsentantensystem ist, gibt es ein mit , d.h.

Wegen folgt

und somit

6.) Damit folgt der Widerspruch

Sei , dann ist

ein Widerspruch zu .

Sei . Dann folgt

ein Widerspruch zu .