Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das Maßproblem ist unlösbar – „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Wir haben dann Dynkinsysteme untersucht als beweistechnisches Hilfsmitel (dort gilt mit $A_{n}\in D$ sind auch $\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in D$) und mit ihrer Hilfe die Eindeutigkeit von Maßen im sigma-endlicuen Fall bewiesen. Nimmt man zur Borelschen Sigma-Algebra der "guten" Mengen die Teilmengen ihrer Nullmengen als Vervollständigung hinzu, so erhält man genau die Sigma-Algebra des äußeren Maßes der "allgemein guten" Mengen. Abschließend zeigen wir für Interessierte die Unlösbarkeit des Maßproblemes-

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar

Satz (Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar für $n=1$)

Ein Maß $m$ auf $Pot(\mathbb {R} )$, das verschiebungsinvariant ist mit $m([0,1])=1$ kann nicht existieren.

Beweis (Das klassische Maßproblem ist nicht lösbar für $n=1$)

Die Beweisidee ist, $[0,1)$ in abzählbar unendlich viele "gleich große" Teilmengen zu zerlegen und damit einen Widerspruch zu erhalten zu $m([0,1])=1$.

1.) Definiere eine Äquivalenzrelation für $x,y\in [0,1)$ Sei $a\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ eine beliebige irrationale Zahl, setze

$x\sim y\iff x-y\in \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \cdot a:=\{i+j\cdot a:i,j\in \mathbb {Z} \}$

Wir rechnen die drei Eigenschaften der Äquivalenzrelation nach: Mit der Wahl $i=j=0$ gilt

$\exists i=0,j=0:x-x=0=i+j\cdot a$

Damit gilt $x\sim x$.

Gelte $x\sim y$. Mit der Definition folgt

$\exists i,j\in \mathbb {Z} :\ x-y=i+j\cdot a$

Multipliziert man die Beziehung mit Minus Eins, erhält man

$\exists -i,-j\in \mathbb {Z} :\ y-x=-i-j\cdot a$

und das bedeutet nach Definition $y\sim x$.

Gelte $x\sim y,y\sim z$. Mit der Definition folgt

$\exists i_{1},j_{1}\in \mathbb {Z} :\ x-y=i_{1}+j_{1}\cdot a{\text{ und }}\exists i_{2},j_{2}\in \mathbb {Z} :\ x-y=i_{2}+j_{2}\cdot a$

Addieren der beiden Gleichungen ergibt

${\begin{array}{lrcl}\exists i_{1},j_{1},i_{2},j_{2}\in \mathbb {Z} :\ &x-y+y-z&=&i_{1}+j_{1}\cdot a+i_{2}+j_{2}\cdot a\\\exists (i_{1}+i_{2}),(j_{1}+j_{2})\in \mathbb {Z} :\ &x-z&=&(i_{1}+i_{2})+(j_{1}+j_{2})\cdot a\end{array}}$

Das ist aber die Definition von $x\sim z$.

2.) Bilde nun ein Repräsentantensystem von $R=[0,1)/\sim$, d.h. wähle (mit dem Auswahlaxiom) je einen Vertreter jeder Menge $[0,1)$ bzgl. der Äquivalenzrelation. In der Äquivalenzklasse für $a={\sqrt {2}}$ von $\pi -3$ sind z.B. daher auch die Elemente $\pi +2{\sqrt {2}}-5,\pi +21{\sqrt {2}}-32,\pi -13{\sqrt {2}}+16$.

Nimm nun nur das Repräsentantensystem, verschiebe es auf ganz $\mathbb {R}$ und schiebe die Elemente wieder geschickt zurück auf $[0,1)$ gemäß der Anleitung

$\forall j\in \mathbb {Z} :\ R_{j}:=R+j\cdot a=\{r+j\cdot a:r\in R\}$

$R_{j}$ ist i.A. nicht mehr im Einheitsintervall enthalten, deshalb definieren wir

$S_{j}:=\{r-\max _{z\in \mathbb {Z} ,z\leq x}z\}$

Jeder einzelne Repräsentant wird also zurückgebracht nach $[0,1)$.

3.) Die $S_{j}$ sind paarweise disjunkt nach Konstruktion der Äquivalenzklassen, wir rechnen es aber nach. Sei $x\in S_{k}\cap S_{j}$, dann gilt $\exists j,k\in \mathbb {Z} ,r,r'\in R$ mit

$x=r+k\cdot a-[r+k\cdot a]=r'+j\cdot a-[r'+j\cdot a]$

Umstellen ergibt

$r-r'=[r'+j\cdot a]-[r+k\cdot a]+(j-k)\cdot a\in \mathbb {Z} +a\cdot \mathbb {Z}$

d.h. $r\sim r'$ und somit $r=r'$ gemäß Wahl des Vertreters. Es folgt mit $a\not \in \mathbb {Q}$

$(j-k)\cdot a=[r'+j\cdot a]-[r+k\cdot a]\in \mathbb {Z}$

und somit $(j-k)=0$, d.h. $j=k$.

4.) Die $S_{j}$ hätten dieselbe Länge

Sei $j\in \mathbb {Z}$. Da $R_{j}$ aus $R$ durch Verschiebung um $j\cdot a$ entsteht, ist ihre Länge gleich

$\forall j\in \mathbb {Z} :\ m(R)=m(R_{j})$

Nach einer geeigneten Zerlegung entsteht $S_{j}$ aus $R_{j}$ ebenfalls durch Verschiebung. Definiere dazu die disjunkten Mengen

${\begin{aligned}R_{j}^{1}:=&\{r\in R_{j}:[ja]\leq r<[ja]+1\}\\R_{j}^{2}:=&\{r\in R_{j}:[ja]+1\leq r<[ja]+2\}\\\end{aligned}}$

Wegen $0\leq r\leq 1$ gilt $\lbrack j\cdot a]\leq r+j\cdot a<1+[j\cdot a]+1$, das ergibt eine disjunkte Zerlegung

${\begin{aligned}R_{j}=&R_{j}^{1}\uplus R_{j}^{2}\end{aligned}}$

Definiere $S_{j}^{1},S_{j}^{2}$ durch Verschiebung

${\begin{aligned}S_{j}^{1}:=&R_{j}^{1}-[j\cdot a]=\{r_{1}-[r_{1}]:r_{1}\in R_{j}^{1}\}\\S_{j}^{2}:=&R_{j}^{2}-([j\cdot a]+1)=\{r_{2}-[r_{2}]:r_{2}\in R_{j}^{2}\}\end{aligned}}$

so gilt

$S_{j}=S_{j}^{1}\uplus S_{j}^{2}$

denn seien $r_{1}+j\cdot a\in R_{j}^{1},r_{2}+j\cdot a\in R_{j}^{2}$, dann folgt

${\begin{aligned}r_{1}+j\cdot a-[j\cdot a]=&r_{2}+j\cdot a-([j\cdot a]+1)\in S_{j}^{1}\cap S_{j}^{2}\\r_{2}-r_{1}=&1\end{aligned}}$

ein Widerspruch. Damit ergibt sich

${\begin{aligned}m(S_{j})=&m(S_{j}^{1})+m(S_{j}^{2})\\=&m(R_{j}^{1}-[j\cdot a])+m(R_{j}^{2}-([j\cdot a]+1))\\=&m(R_{j}^{1})+m(R_{j}^{2})\\=&m(R_{j})=m(R)\end{aligned}}$

5.) Die $S_{j}$ bilden eine Zerlegung von $[0,1)$.

Zeige: Für alle $x\in [0,1)$ existiert ein $j\in \mathbb {Z}$ mit $x\in S_{j}$.

Sei $x\in [0,1)$ beliebig. Da $R$ ein Repräsentantensystem ist, gibt es ein $r\in R$ mit $x\sim r$, d.h.

${\begin{aligned}\exists i,j\in \mathbb {Z} :\ x=&r+i+j\cdot a\\x-i=&r+j\cdot a\in R_{j}\end{aligned}}$

Wegen $-i\leq x-i<-i+1$ folgt

$-i=[x-i]=[r+j\cdot a]$

und somit

${\begin{aligned}x=&r+j\cdot a-(-i)\\=&r+j\cdot a-[r+j\cdot a]\in S_{j}\end{aligned}}$

6.) Damit folgt der Widerspruch

Sei $m(R)=0$, dann ist

${\begin{aligned}m([0,1])=&m\left(\sum _{j\in \mathbb {Z} }S_{j}\right)=\sum _{j\in \mathbb {Z} }m(S_{j})=0\\m([0,1])\leq &m([0,2))\leq m([0,1))+m([1,2))=0+0=0\end{aligned}}$

ein Widerspruch zu $m([0,1])=1$.

Sei $m(R)>0$. Dann folgt

$m([0,1])\geq m([0,1))=\sum _{j\in \mathbb {Z} }m(S_{j})=\infty .$

ein Widerspruch zu $m([0,1])=1$.