Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die Borelsche Sigma-Algebra – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Danach haben wir die Sigma-Algebra der "guten Mengen" eingeführt (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und erzeugte Sigma-Algebren betrachtet. Jetzt betrachten wir einen Spezialfall der erzeugten Sigma-Algebra und zwar die Borelsche Sigma-Algebra, die von den Intervallen/Rechtecken/(verallgemeinerten) Quadern erzeugt wird.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Die Borelsche Sigma-Algebra

Offene Mengen sind die Mengen einer Topologie (siehe Link zu Analyiss II). Erfreulicherweise ist es egal, ob wir als Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra über $\mathbb {R} ^{p}$ die offenen Mengen oder die Intervalle/Rechtecke oder (verallgemeinerten) Quader wählen: es kommt dasselbe heraus. Das ist uns einen längeren Beweis wert.

Definition (Die Borelsche Sigma-Algebra)

Die Sigma-Algebra, die von den offenen Mengen in $\mathbb {R} ^{p}$ erzeugt wird, heißt Borelsche Sigma-Algebra. Dafür führen wir eine gesonderte Schreibweise ein

$\mathbb {B} ^{p}:=S({\text{offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$

Satz

Die von den Rechtecken, von den endlichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken, von den offenen oder von den abgeschlossenen Mengen im $\mathbb {R} ^{2}$ erzeugte Sigma-Algebra, ist immer dieselbe. Verallgemeinert für den $\mathbb {R} ^{p}$:

1. $\mathbb {B} ^{p}=S({\text{abgeschlossene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$
2. $S(F^{p})=S(I^{p})$
3. $\mathbb {B} ^{p}=S(I^{p})$

Beweis

Wir haben die beiden leicht zu beweisenden Aussgaben zuerst genannt:

1.):

Da die offenen Mengen genau das Komplement der abgeschlossenen Mengen sind

${\text{A offen }}\Leftrightarrow A^{C}{\text{ abgeschlossen}}$

und da die Sigma-Algebra gegenüber Komplementen abgeschlossen ist

$A\in S\Leftrightarrow A^{C}\in S$

folgt

$S({\text{offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})=S({\text{abgeschlossene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$

2.):

Für die Gleichheit der Mengen müssen wir in beide Richtungen die Enthalten-Relation beweisen.

$\supset$: Da die endlichen disjunkten Vereinigungen (verallgemeinerter) Quader $F^{p}$ insbesondere die einzelnen (verallgemeinerten) Quader $I^{p}$ enthalten, gilt

${\begin{array}{rcl}I^{p}&\subset &F^{p}\\I^{p}&\subset &S(F^{p})\end{array}}$

Da $S(F^{p})$ eine Sigma-Algebra ist, die $I^{p}$ enthält und da $S(I^{p})$ die kleinste solche ist, folgt

$S(F^{p})\supset S(I^{p})$

$\subset$: Die andere Enthalten-Relation zeigen wir ganz analog: Die kleinste abzählbare Algebra $S(I^{p})$ enthält insbesondere alle endlichen disjunkten Vereinigungen von Elementen in $I^{p}$, d.h.

$F^{p}\subset S(I^{p})$

Da die von $F^{p}$ erzeugte Sigma-Algebra $S(F^{p})$ die kleinste ist, die $F^{p}$ enthält gilt

$S(F^{p})\subset S(I^{p})$

Insgesamt ist damit die Gleichheit gezeigt.

$S(F^{p})=S(I^{p})$

3.):

Wir zeigen zuerst die leichter zu beweisenden Enthalgten-Relation $\supset$:

Da sich das halbseitig offene, halbseitig abgeschlossene Rechteck darstellen lässt duch einen abzählbaren Schnitt von offenen Rechtecken

$(a,b]=\bigcap _{n=1}^{\infty }\underbrace {\left(a,b+{\frac {1}{n}}\right)} _{\text{offen}}$

sind die linksseitig offenen, rechtsseitig abgeschlossenen Rechtecke in der entsprechenden Sigma-Algebra der offenen Mengen

$I^{p}\subseteq S({\text{offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$

Da die von $I^{p}$ erzeugte Sigma-Algebra die kleinste Sigma-Algebra ist, die $I^{p}$ enthält, folgt

$S(I^{p})\subset S({\text{offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$

Als Letztes zeigen wir die schwerer zu beweisenden Enthalten-Relation $\subset$: Sei $U$ offen. Wir müssen $U$ darstellen als abzählbare (!) Vereinigung von linksseitig offenen, rechtsseitig abgeschlossenen Rechtecken. Dann ist $U$ in der Sigma-Algebra $S(I^{p})$ enthalten und da $U$ beliebig gewählt war, gilt

$\forall {\text{offene }}U:\ U\in S(I^{p})$

Da $S(I^{p})$ eine Sigma-Algebra ist, die alle offenen $U$ enthält und $S({\text{ offenen Menge in }}\mathbb {R} ^{p})$ die kleinste solche ist, folgt

$S({\text{ offenen Menge in }}\mathbb {R} ^{p})\subset S(I^{p})$

und wir sind fertig. Nun zur Konstruktion: Da $U$ offen ist, kann man nach Definition der Offenheit um jeden Punkt $x\in U$ eine kleine Kugel legen, die ganz in $U$ enthalten ist (der Radius der Kugel ist am Rand von $U$natürlich sehr klein ), formal schreiben wir das als

$\forall x\in U\ \exists \ r_{x}:\ B(x,r_{x})\subseteq U$

Wähle den Radius der Kugel $r_{x}$ jeweils maximal.

Füge in jede Kugel ein allseitig offenes Rechteck ein mit maximaler Größe, d.h. wähle $\epsilon _{x}$ maximal mit

$(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\subseteq B(x,r_{x})\subseteq U$

Wir benutzen nun, dass $\mathbb {Q}$ abzählbar ist. Insbesondere ist dann $\mathbb {Q} \cap U$ abzählbar und die folgende abzählbare Vereinigung in $U$ enthalten

$\bigcup _{x\in \mathbb {Q} \cap U}(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\subseteq U$

Unser erstes Ziel ist ein Gleichheitszeichen, das heißt wir müssen die andere Inklusion zeigen.

Alle $y\in U\cap \mathbb {Q}$ sind automatisch in der linken Vereinigung.

Zeige also für die irrationalen Zahlen in $U$, dass sie in der linken Vereinigung liegen.

Sei dazu $y\in U\cap \mathbb {Q} ^{C}$ beliebig. Da $U$ offen, gibt es nach Definition eine kleine Kugel $B(y,r_{y})$, die wieder ganz in $U$ liegt:

$B(y,r_{y})\subset U$

Wähle ein $\varepsilon _{y}>0$, sodass das ganze allseitig offene Rechteck $(y-\epsilon _{y},y+\epsilon )$ in $B(y,r_{y})$ ist, d.h. es gilt

$\exists \epsilon _{y}>0:\ (y-\epsilon _{y},y+\epsilon )\subset U$

Wir benutzen nun, dass $\mathbb {Q}$ dicht in $\mathbb {R}$ ist, d.h. für jedes $y\in \mathbb {R}$ gibt es unendlich viele $z\in \mathbb {Q}$, die beliebig dicht an $y$ liegen.

Wir wählen zu $\epsilon _{y}/2$ ein $x\in \mathbb {Q}$ (und damit auch $x\in U$), das in allen $p$ Komponenten von $I^{p}$ einen Abstand kleiner $\epsilon _{y}/2$ von $y$ hat, in formaler Schreibweise ist das

$\exists x\in \mathbb {Q} \cap U:\ \min _{i=1}^{p}|x_{i}-y_{i}|<{\frac {\epsilon _{y}}{2}}$

Aus der Sicht von $x$ gilt dann in Vektorschreibweise

$y\in \left(x-{\frac {\epsilon _{y}}{2}},x+{\frac {\epsilon _{y}}{2}}\right)$

Da $\epsilon _{x}$ maximal war, folgt

${\begin{aligned}y\in &\left(x-{\frac {\epsilon _{y}}{2}},x+{\frac {\epsilon _{y}}{2}}\right)\subset (x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\\y\in &\bigcup _{x\in \mathbb {Q} \cap U}(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\end{aligned}}$

und da $y$ beliebig war folgt insgesamt

$\bigcup _{x\in \mathbb {Q} \cap U}(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\supset U$

Die andere Inklusion hatten wir schon gezeigt, sodass Gleichheit gilt

$\bigcup _{x\in \mathbb {Q} \cap U}(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})=U$

Jetzt benötigen wir anstelle der allseitig offenen (verallgemeinerten) Quader die linksseitig offenen und rechtsseitig abgeschlossenen (verallgemeinerten) Quader . Jeder allseitig offene (verallgemeinerte) Quader lässt sich aber als abzählbare Vereinigung von linksseitig offenen und rechtsseitig abgeschlossenen (verallgemeinerten) Quadern darstellen, die auf der rechten Seite um $1/n$ ein bisschen kleiner sind:

$\left(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x}\right)=\bigcup _{n=1,n\geq 1/\epsilon _{x}}^{\infty }\left(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x}-{\frac {1}{n}}\right]$

Eingesetzt in obige Gleichheit folgt

${\begin{aligned}\bigcup _{x\in \mathbb {Q} \cap U}\bigcup _{n=1,n\geq 1/\epsilon _{x}}^{\infty }\left(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x}-{\frac {1}{n}}\right]=&U\\\end{aligned}}$

Links steht eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Vereinigungen und das ist wieder eine abzählbare Vereinigung! Damit haben wir eine abzählbare Darstellung für $U$ durch linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene (verallgemeinerte) Quader gefunden und es folgt, da $U$ beliebig war

$\forall {\text{offene }}U:\ U\in S(I^{p})$

Da $S(I^{p})$ eine Sigma-Algebra ist, die alle offenen $U$ enthält und $S({\text{ offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})$ die kleinste solche ist, folgt

$S({\text{ offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})\subset S(I^{p})$

Die andere Inklusion hatten wir schon gezeigt, d.h. es gilt Gleichheit

$S({\text{ offene Mengen in }}\mathbb {R} ^{p})=S(I^{p})$

Aufgabe 1

Aufgabe

Ist die folgende Menge Element von $\mathbb {B}$?

$A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\ 0\leq x\leq y\leq 1\}$

Wie kommt man auf den Beweis?

Ist die Menge $A$ abgeschlossen oder offen?

Lösung

Die Menge $A$ ist abgeschlossen: Sei $((x_{n},y_{n}))_{n}$ eine beliebige Folge in $A$ mit einem Grenzwert. Da bei der Grenzwertbildung Kleinergleich-Zeichen (aber nicht Kleiner-Zeichen!) erhalten bleiben, liegt der Grenzwert der Folge wieder in $A$. Da die konvergente Folge beliebig gewählt war, ist $A$ abgeschlossen.

Damit liegt die Menge nach dem letzten Satz in der Borelschen Sigma-Algebra.