Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die erzeugte Sigma-Algebra – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $\mathbb {R}$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{2}$ Flächen, bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{3}$ Volumina und bei Teilmengen aus $\mathbb {R} ^{p}$ mit $p\geq 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\emptyset ,A\cap B\in H$ und $A\backslash B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Nachdem wir im letzten Kapitel die Sigma-Algebra der "guten Mengen" eingeführt haben (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$), betrachten wir nun die von einem beliebigen Mengensystem erzeugte Sigma-Algebra. Diese ist entscheidend, da Sigma-Algebren nicht anschaulich sind. Man führt deshalb Beweise auf dem sehr anschaulichen Erzeugendensystem und zeigt, dass die Eigenschaft eine Sigma-Algebra erfüllt. Damit gilt die Eigenschaft für die vom Erzeugendensystem erzeugte Sigma-Algebra.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Der Schnitt von Sigma-Algebren

Wir suchen gleich eine kleinste Sigma-Algebra. Dafür benötigen wir den folgenden Satz, dass der Schnitt von Sigma-Algebren wieder eine Sigma-Algebra ist.

Satz (Der Schnitt von Sigma-Algebren)

Seien $J$ eine beliebige Indexmenge und für alle $j\in J$ seien $S_{j}$ Sigma-Algebren. Dann ist der Schnitt über alle diese Sigma-Algebren

$S:=\bigcap _{j\in J}S_{j}$

wieder eine Sigma-Algebra.

Beweis (Der Schnitt von Sigma-Algebren)

Wir benutzen einfach die Definition des Schnittes und der Sigma-Algebra: Seien abzählbar viele Mengen aus dem Schnitt der Sigma-Algebren vorgegeben:

$\forall i\in \mathbb {N} :\ A_{i}\in S=\bigcap _{j\in J}S_{j}$.

Da $S$ der Schnitt ist, sind die $A_{i}$ in allen $S_{j}$ enthalten.

$\forall i\in \mathbb {N} \ \forall j\in J:A_{i}\in S_{j}$

Da alle $S_{j}$ Sigma-Algebren sind, gilt nach der Definition der Sigma-Algebren

${\begin{aligned}\forall j\in J:\ &W\in S_{j}\\\forall j\in J:\ &A_{i}^{C}\in S_{j}\\\forall j\in J:\ &\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in S_{j}\end{aligned}}$

Da $S$ der Schnitt ist, gilt es auch für $S$

${\begin{aligned}W\in &\bigcap _{j\in J}S_{j}\\A_{i}^{C}\in &\bigcap _{j\in J}S_{j}\\\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in &\bigcap _{j\in J}S_{j}\end{aligned}}$

Damit ist der Schnitt eine Sigma-Algebra.

Die erzeugte Sigma-Algebra

Mit dem Schnitt von Sigma-Algebren können wir eine kleinste Sigma-Algebra erzeugen wie folgt

Definition (Die erzeugte Sigma-Algebra)

Sei $E\subset Pot(W)$ ein beliebiges Mengensystem und seien $(S_{j})_{j\in J}$ alle Sigma-Algebren über $W$, die $E$ enthalten. Dann heißt der Schnitt all dieser Sigma-Algebren

$S(E)=\bigcap _{j\in J}S_{j}$

die von $E$ erzeugte Sigma-Algebra. Sie ist die kleinste Sigma-Algebra über $W$, die $E$ enthält. Es gilt

$S(E)=S(S(E))$

Beweis

1.) Wir haben im letzten Kapitel gezeigt, dass die Potenzmenge $Pot(W)$ eine Sigma-Algebra ist. Diese enthält automatisch $E$. Damit ist der Schnitt nicht leer:

$J\neq \emptyset$

Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass der Schnitt von Sigma-Algebren wieder eine Sigma-Algebra ist. Zudem enthalten alle Sigma-Algebren, über die geschnitten wird, $E$. Damit ist $S(E)$ eine Sigma-Algebra, die $E$ enthält. Sie ist somit eine (und durch den Schnitt über alle möglichen die kleinste) der $S_{k}$ auf der rechten Seite! Es folgt

$S(E)=S_{k}$ für ein $k\in J$

2.) Da $S(S(E))$ der Schnitt aller Sigma-Algebren ist, die $S(E)$ enthalten, enthält er bestimmt $S(E)$, d.h.

$S(E)\subset S(S(E))$

Da $S(S(E))$ die kleinste Sigma-Algebra ist, die $S(E)$ enthält, insbesondere über $S(E)$ geschnitten wird, folgt

$S(S(E))\subset S(E)$

Das ergibt insgesamt

$S(S(E))=S(E)$

Als Erzeugendensystem $E$ wählen wir im nächsten Kapitel unseren Ring $R$ und betrachten $S(R)$, d.h. die von den Intervallen erzeugte Sigma-Algebra der "guten Mengen".

Aufgabe 1: Einfache erzeugte Sigma-Algebren

Sigma-Algebren begegnen uns später fortlaufend, wir empfehlen daher dringend die folgenden Aufgaben durchzugehen und sich mit Eigenschaften von Sigma-Algebren vertraut zu machen.

Aufgabe (Einfache erzeugte Sigma-Algebren)

a) Bestimme die von den Einpunkt-Mengen in $\mathbb {R}$ erzeugte Sigma-Algebra.

b) Bestimme die von den endlichen Mengen in $\mathbb {R}$ erzeugte Sigma-Algebra.

c) Bestime $S(\{A^{C}:A\in E\})$

Wie kommt man auf den Beweis? (Einfache erzeugte Sigma-Algebren)

Welche Mengen müssen automatisch in der erzeugten Sigma-Algebra sein? Schaue dann nach, welche Sigma-Algebren wir schon besprochen haben.

Lösung (Einfache erzeugte Sigma-Algebren)

a) und b) Wegen der abzählbaren Vereinigung, müssen beliebige abzählbare Vereinigungen von Einpunktmengen, d.h. abzählbare Mengen in der Sigma-Agebra sein.

Wegen der Komplementbildung auch ihre Komplemente.

Damit entsteht beidemale die Sigma-Algebra, die wir im letzten Kapitel bestimmt haben

$S=\{A\subset \mathbb {R} :A{\text{ oder }}A^{C}{\text{ ist abzählbar}}\}$

Da die auf der rechten Seite angegebenen Mengen auf jeden Fall in der Sigma-Algebra sein müssen, ist es die kleinste, die die Einpunktmengen und die endlichen Mengen enthält.

c) Da mit $A^{C}$ auch $A$ in der erzeugten Sigma-Algebra liegt, gilt $S(\{A^{C}:A\in E\})=S(E)$

Aufgabe 2: Gleichheit von Sigma-Algebren

Hier wollen wir untersuchen, wann zwei erzeugte Sigma-Algebren gleich sind.

Aufgabe

Sei die Grundmenge $W\neq \emptyset$ und $T_{1},T_{2}\subset Pot(W)$ Mengensysteme. Es gelte zudem $T_{1}\subset S(T_{2})$ und $T_{2}\subset S(T_{1})$. Folgt dann $S(T_{1})=S(T_{2})$?

Beweis

$S(T_{2})$ ist die kleinste Sigma-Algebra, die $T_{2}$ enthält und nach Konstruktion eines Schnittes in jeder Sigma-Algebra enthalten, die $T_{2}$ enthält.

Da $T_{2}$ nach Voraussetzung in $S(T_{1})$ enthalten ist, folgt $S(T_{2})\subset S(T_{1})$.

Ganz analog folgt $S(T_{1})\subset S(T_{2})$.

Damit sind die beiden Mengen gleich: $S(T_{2})=S(T_{1})$

Aufgabe 3: Die Sigma-Algebra einer disjunkten abzählbaren Zerlegung

Das folgende Beispiel ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe 1 und wird in einer Folgeaufgabe benötigt.

Aufgabe (Die Sigma-Algebra einer disjunkten abzählbaren Zerlegung)

Sei $I$ abzählbar und die Grundmenge eine disjunkte abzählbare Zerlegung $W=\biguplus _{i\in I}D_{i}$. Zeige, dass die von den $D_{i}$ erzeugte Sigma-Algebra die folgende Gestalt hat

$S\left(\{D_{i}:i\in I\}\right)=\left\{\biguplus _{i\in J}D_{i}:J\subset I\right\}$

wobei für $J=\emptyset$ gesetzt wird

$\biguplus _{i\in \emptyset }D_{i}=\emptyset$

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Sigma-Algebra einer disjunkten abzählbaren Zerlegung)

Rechne für die rechte Seite die Eigenschaften einer Sigma-Algebra nach. Überlege, welche Mengen automatisch in der erzeugten Sigma-Algebra sein müssen und folgere, dass es die kleinste ist.

Lösung (Die Sigma-Algebra einer disjunkten abzählbaren Zerlegung)

Die Grudnmenge ist in der Sigma-ALgebra $W\in S$, indem man setzt $J=I$.

Sei $J\subset I$ eine Teilmenge und $A=\biguplus _{i\in J}D_{i}\in S$. Dann ist $I\backslash J\subset I$ eine Teilmenge und wir erhalten die Darstellung

$A^{C}=\biguplus _{i\in I\backslash J}D_{i}\in S$

Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}=\biguplus _{i\in J_{n}}D_{i}\in S$. Dann lässt sich die Vereinigung darstellen als

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\biguplus _{i\in \bigcup _{n\in \mathbb {N} }J_{n}}D_{i}\in S$

Damit ist die rechte Seite der Definition eine Sigma-Algebra.

Da wegen der abzählbaren Vereinigung die Mengen der rechten Seite auf jeden Fall in der Sigma-Algebra sein müssen, ist es die kleinste und somit die von den $D_{i}:i\in I$ erzeugte.

Aufgabe 4

Aufgabe (Erzeugte Sigma-Algebren)

Sei $W=(0,1)$ und sei das Erzeugendensystem $E=\left\{\left(0,{\frac {1}{n}}\right):n\in \mathbb {N} \right\}$ gegeben.

Ist $\left\lbrack {\frac {1}{120}},{\frac {1}{5}}\right)$ in $S(E)$?

Wie sieht die erzeugte Sigma-Algebra aus?

Wie kommt man auf den Beweis? (Erzeugte Sigma-Algebren)

Schreibe $W$ als disjunkte abzählbare Vereinigung und verwende die vorherige Aufgabe.

Lösung (Erzeugte Sigma-Algebren)

1.) Wegen der Darstellung $\left\lbrack {\frac {1}{120}},{\frac {1}{5}}\right)=\left(0,{\frac {1}{5}}\right)\cap \left(0,{\frac {1}{120}}\right)^{C}\in S(E)$ und da die erzeugte Sigma-Algebra Schnitte und Komplemente enthält, ist die Menge in $S(E)$.

2.) Durch die Darstellung $W=\biguplus _{n\in \mathbb {N} }\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right)$ sieht man, dass eine disjunkte abzählbare Zerlegung von der Grundmenge vorliegt. Die von diesen disjunkten Mengen erzeugte Sigma-Algebra haben wir in der vorherigen Aufgabe 3 bestimmt, es ist

$S\left(\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right):n\in \mathbb {N} \right)=\left\{\biguplus _{n\in I}\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right):I\subset \mathbb {N} \right\}$

Wegen der Darstellung $\left(0,{\frac {1}{n}}\right)=\biguplus _{j\geq n}\left\lbrack {\frac {1}{j+1}},{\frac {1}{j}}\right)$ gilt

$E\subset S\left(\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right):n\in \mathbb {N} \right)$

Wegen der Darstellung $\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right)=\left(0,{\frac {1}{n}}\right)\cap \left(0,{\frac {1}{n+1}}\right)^{C}$ und da die erzeugte Sigma-Algebra Schnitte und Komplemente enthält, gilt

$\left\{\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right):n\in \mathbb {N} \right\}\subset S(E)$

Mit Aufgabe 2 sind die beiden Sigma-ALgebren gleich

$S\left(\left\lbrack {\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right):n\in \mathbb {N} \right)=S(E)$

Aufgabe 5: Vereinigung von Sigma-Algebren

Diese Aufgabe liefert ein Gegenbeispiel, dass nicht notwendig eine Sigma-Algebra vorliegen muss.

Aufgabe (Vereinigung von Sigma-Algebren)

Seien $E_{n}=\{\{1\},\ldots ,\{n\}\}\subset \mathbb {N}$ Erzeugendensyteme.

a) Bestimme $S(E_{n})$

b) Ist $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S(E_{n})$ eine Sigma-Algebra?

Wie kommt man auf den Beweis? (Vereinigung von Sigma-Algebren)

a) Abzählbare Vereinigungen und Komplement nutzen.

b) Konstruiere eine Menge, die auf unendlich viele der $S(E_{n})$ zugreift und damit nicht in einem der $S(E_{n})$ liegen kann.

Lösung (Vereinigung von Sigma-Algebren)

a) Betrachte die Teilmengen von $\{1,\ldots ,n\}$ oder ihr Komplement. Das ist eine Sigma-Algebra

$S=\{A,A^{C}\subset \mathbb {N} :\ A\subset \{1,\ldots ,n\}\}$

1.) Die leere Menge ist in der Sigma-Algebra: $\emptyset \subset \{1,\ldots ,n\}$ und somit

$\mathbb {N} ^{C}=\emptyset \in S$

Damit ist auch die Grundmenge in der Sigma-Algebra. 2.) Sei $A{\text{ oder }}A^{C}$ Teilmenge von $\{1,\ldots ,n\}$. Dann ist $A^{C}$ oder $(A^{C})^{C}=A$ Teilmenge von $\{1,\ldots ,n\}$ und somit $A^{C}\in S$

3.) Seien $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in S$. Wir unterscheiden zwei Fälle.

1. Fall: alle $A_{n}\subset \{1,\ldots ,n\}$. Dann gilt

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\subset \{1,\ldots ,n\}$

2. Fall: es gibt ein $A_{k}$ mit $A_{k}^{C}\subset \{1,\ldots ,n\}$. Dann ist

$\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)^{C}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}^{C}\subset A_{k}^{C}\subset \{1,\ldots ,n\}$

Damit ist $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ ein Element von $S$.

4.) $S$ enthält $E_{n}$. Wegen der abzählbaren Vereinigung liegen Teilmengen von $\{1,\ldots ,n\}$ und ihre Komplemente in $S(E_{n})$. Damit ist $S=S(E_{n})$ die kleinste Sigma-Algebra, die $E_{n}$ enthält.

b) Wähle $B=\{2n:n\in \mathbb {N} \}$ als die geraden natürlichen Zahlen. Das Komplement sind die ungeraden Zahlen $B^{C}=\{2n-1:n\in \mathbb {N} \}$. Beide Mengen sind unendlich und daher in keiner der $S(E_{n})$ enthalten. Damit auch nicht in der Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S(E_{n})$ der $S(E_{n})$. Denn die abzählbare Vereinigung bedeutet "es gibt ein $n\in \mathbb {N}$", sodass die Eigenschaft gilt.

Wäre $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S(E_{n})$ eine Sigma-Algebra, so enthielte sie alle $\{n\}$ für $n\in \mathbb {N}$ und damit auch die abzählbaren Vereinigungen $B,B^{C}$.