Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Grenzwerte von Mengenfolgen und Stetigkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig ein Volumen zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

${\begin{aligned}{\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(A_{i})\end{aligned}}$

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv.

Endliche Additivität ist naheliegend, unter welchen Bedingungen liegt jedoch Sigma-Additivität vor? Das betrachten wir in diesem Kapitel. Wir sehen, dass Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten von $m$.

Dazu müssen wir den Grenzwert von Mengenfolgen betrachten (wenn er existiert):

Die Folge der Mengen $\left(\left[0,1+{\frac {1}{n}}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ wird immer kleiner (wir sagen, sie ist monoton fallend) und hat den Grenzwert

$[0,1]=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left[0,1+{\frac {1}{n}}\right)$

Die Folge der Mengen $\left(\left[0,1-{\frac {1}{n}}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }$ wird immer größer (wir sagen sie ist monoton steigend) und hat den Grenzwert

$[0,1)=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[0,1-{\frac {1}{n}}\right)$

d.h. die $1$ ist nicht mehr dabei, da sie in allen Mengen nicht enthalten ist, aber jede Zahl nahe und kleiner gleich $1$ wird ab einem $n_{0}$ überdeckt durch $\left[0,1-{\frac {1}{n_{0}}}\right)$ und alle späteren Intervalle.

"Grenzwerte" von Mengenfolgen sind also etwa Naheliegendes: Wenn die Menge $A_{i}$ jeweils in der Menge $A_{i+1}$ ineinander enthalten sind, nähern sie sich ihrer Vereinigung an. Enthält umgekehrt die Menge $A_{i}$ die Menge $A_{i+1}$, so nähern sie sich dem Durchschnitt an. Das ist der Grund für folgende

Definition (Monotone Folgen von Mengen)

• Die Mengen $(E_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ gehen monoton steigend gegen E, Schreibweise $E_{i}\uparrow E$ genau dann wenn alle Folgenglieder ineinander aufsteigend enthalten sind
  ${\begin{aligned}E_{1}\subseteq &E_{2}\subseteq \ldots \\E=&\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\end{aligned}}$
• Die Mengen $(E_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ gehen monoton fallend gegen E, Schreibweise $E_{i}\downarrow E$ genau dann wenn alle Folgenglieder ineinander absteigend enthalten sind
  ${\begin{aligned}E_{1}\supseteq &E_{2}\supseteq \ldots \\E=&\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\end{aligned}}$

Satz

• Sind die $A_{n}$ monoton steigend, so sind die Komplemente $A_{n}^{C}$ monoton fallend. Aus $A_{n}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ folgt $A_{n}^{C}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}$
• Sind die $A_{n}$ monoton fallend, so sind die Komplemente $A_{n}^{C}$ monoton steigend. Aus $A_{n}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ folgt $A_{n}^{C}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}$
• Sind die $A_{n}$ monoton fallend, so lässt sich aus Ihnen eine monoton fallende Folge konstruieren, die gegen die leere Menge strebt. Aus $A_{n}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ folgt $A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\downarrow \emptyset$
• Gehen die $E_{n}$ monoton steigend gegen $E$, so sind die Elemente aus $E^{C}$ in allen Komplementen der $E_{n}$ enthalten. Aus $E_{n}\uparrow E$ folgt $\forall w\in E^{C}\ \forall n\in \mathbb {N} :\ w\in E_{n}^{C}$

Beweis

• Ist $A_{n}$ in $A_{n+1}$ enthalten, so ist $A_{n+1}^{C}$ kleiner und in $A_{n}^{C}$ enthalten: Aus $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ folgt $A_{n}^{C}\supseteq A_{n+1}^{C}$
• Enthält $A_{n}$ das $A_{n+1}$, so ist $A_{n}^{C}$ kleiner und in $A_{n+1}^{C}$ enthalten: Aus $A_{n}\supseteq A_{n+1}$ folgt $A_{n}^{C}\subseteq A_{n+1}^{C}$
• Gelte $A_{n}\supseteq A_{n+1}$. Dann können wir mit einer beliebigen Menge beide Seiten schneiden und die Enthalten-Relation bleibt erhalten für alle $n\in \mathbb {N}$
  $A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\supseteq A_{n+1}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}$

  Die neue Folge ist wieder monoton fallend gegen ihren abzählbaren Schnitt, nämlich die leere Menge

  $\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\emptyset$
• Das Komplement von $E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}$ lässt sich schreiben als
  $E^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}^{C}$

  Für ein Element aus $E^{C}$ gilt somit

  $\forall n\in \mathbb {N} :\ w\in E_{n}^{C}$

Oben hatten wir "Grenzwerte" von Folgen von Mengen konstruiert. Ganz analog zu Stetigkeit von Funktionen auf $\mathbb {R}$ führen wir nun einen Stetigkeitsbegriff für ein endlich additives $m$ ein! Mit dem folgenden Satz sehen wir, dass das fast gleichwertig zur Sigma-Additivität ist. Und das obwohl die intuitive Begriffsbildung eine andere ist.

Satz (Stetigkeit und abzählbare Additivität)

Sei R ein Ring über W. Sei $m:R\rightarrow [0,\infty ]$ endlich additiv und

1. m ist sigma-additiv: Für $\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\in R$ gilt $\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})=m\left(\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$ Da $m$ auf dem Ring $R$ lebt, müssen wir für die abzählbare Vereinigung fordern, dass sie wieder in $R$ liegt.
2. m ist stetig von unten: Für $A_{n}\in R$ und $A_{n}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in R$ gilt: $\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$ Da $m$ auf dem Ring $R$ lebt, müssen wir für die abzählbare Vereinigung fordern, dass sie wieder in $R$ liegt.
3. m ist stetig von oben: Für $A_{n}\in R,m(A_{1})<\infty$ und $A_{n}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in R$ gilt: $\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$ Da $m$ auf dem Ring $R$ lebt, müsen wir für den abzählbaren Schnitt fordern, dass er wieder in $R$ liegt.
4. m ist stetig in $\emptyset$: Für $A_{n}\in R,m(A_{n})<\infty$ und $A_{n}\downarrow \emptyset$ gilt: $\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=0$

Dann gilt:

$1.)\Leftrightarrow 2.)\Longrightarrow 3.)\Leftrightarrow 4.)$

Ist $W\in R,m(W)<\infty$, so sind alle Eigenschaften gleichwertig

$1.)\Leftrightarrow 2.)\Leftrightarrow 3.)\Leftrightarrow 4.)$

Für $m(W)=\infty$ gilt nicht notwendig 3.) $\Rightarrow$ 2.) Beachte: Die Forderung $W\in R$ ist eine enorme Veränderung unserer bisheringe Anschauung eines Ringes. Wir hatten uns endliche disjunkte Vereinigungen von Rechtecken vorgestellt, jetzt sind deren Komplemente auch in $R$. Also ganz anders geformte mathematische Objekte!

Beweis (Stetigkeit und abzählbare Additivität)

1.) $\Rightarrow$ 2.):

Wir wollen die gegebene sigma-Additivität von $m$ ausnutzen und konstruieren dazu eine disjunkte Vereinigung.

Da $A_{1}\subseteq A_{2}$ lässt sich die zweifache Vereinigung disjunkt schreiben als die Elemente in $A_{1}$ und die Elemente in $A_{2}$ ohne $A_{1}$

${\begin{aligned}A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\uplus (A_{2}\backslash A_{1})\end{aligned}}$

Da $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}$ lässt sich die dreifache Vereinigung disjunkt schreiben als die Elemente in $A_{1}$, die Elemente in $A_{2}$ ohne $A_{1}$ und die Elemente in $A_{3}$, aber nicht in $A_{1}$ oder $A_{2}$

${\begin{aligned}A_{3}\cup A_{3}\cup A_{1}=A_{1}\uplus (A_{2}\backslash A_{1})\uplus (A_{3}\backslash (A_{1}\cup A_{2}))\end{aligned}}$

Das lässt sich vereinfachen: Wegen $A_{1}\subset A_{2}$ gilt $A_{1}\cup A_{2}=A_{2}$ und somit

${\begin{aligned}A_{3}\cup A_{3}\cup A_{1}=A_{1}\uplus (A_{2}\backslash A_{1})\uplus (A_{3}\backslash A_{2})\end{aligned}}$

Für $n$ Elemente konstruieren wir die disunkte Vereinigung durch

${\begin{aligned}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\backslash A_{i-1}\end{aligned}}$

Induktiv konstruieren wir alle $n\in \mathbb {N}$ Elmente die dann abzählbare disjunkte Vereinigung durch

${\begin{aligned}\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\biguplus _{i=1}^{\infty }(A_{i}\backslash A_{i-1})\end{aligned}}$

Jetzt können wir das nach Vorausetzung sigma-aditive $m$ anwenden und die unendliche Summe durch den Grenzwert endlicher Summen beschreiben, das ergibt

${\begin{aligned}m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=&m\left(A_{1}\uplus \biguplus _{n=2}^{\infty }(A_{n}\backslash A_{n-1})\right)\\{\stackrel {m{\text{ sigma-additiv}}}{=}}&m(A_{1})+\sum _{n=2}^{\infty }m(A_{n}\backslash A_{n-1})\\=&\lim _{k\rightarrow \infty }m(A_{1})+\sum _{n=2}^{k}m(A_{n}\backslash A_{n-1})\\{\stackrel {m{\text{ endlich additiv}}}{=}}&\lim _{k\rightarrow \infty }m\left(A_{1}\uplus \biguplus _{n=1}^{k}\left(A_{n}\backslash A_{n-1}\right)\right)=&\lim _{k\rightarrow \infty }m(A_{k})\end{aligned}}$

2.) $\Rightarrow$ 1.):

Da $\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\subseteq \biguplus _{i=1}^{n+1}A_{i}\in R$ können wir die abzählbar unendliche Summe als Grenzwert endlicher Summen schreiben, die Additivität von $m$ ausnutzen und da die Folge der endlichen Vereinigungen steigend ist, den Grenzwert in das $m$ hineinzienen

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})=&\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}m(A_{i}){\stackrel {m{\text{ additiv}}}{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\\{\stackrel {2.)}{=}}&m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)=m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\end{aligned}}$

2.) $\Rightarrow$ 3.):

Sei $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ monoton fallend. Wir haben schon gezeigt

${\text{Aus }}A_{n}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}{\text{ folgt }}A_{n}^{C}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}$

Wir können die $A_{n}^{C}$ mit der Menge $A_{1}$ schneiden und erhalten weiterhin eine monoton steigende Menge

$A_{1}\backslash A_{n}=A_{1}\cap A_{n}^{C}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{1}\cap A_{n}^{C})=A_{1}\cap \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}=A_{1}\backslash \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$

Wir zerlegen $A_{1}$ in eine disjunkte Vereingung und verwenden $A_{1}\cap A_{n}=A_{n}$ (da monoton fallend)

${\begin{aligned}A_{1}=&(A_{1}\cap A_{n})\uplus (A_{1}\cap A_{n}^{C})\\{\stackrel {A_{n}\subseteq A_{1}}{=}}&A_{n}\uplus (A_{1}\backslash A_{n})\end{aligned}}$

Das additive $m$ darauf angewendet ergibt unter Verwendung der Voraussetzung $m(A_{1})<\infty$

${\begin{aligned}\infty >&m(A_{1})\\=&m(A_{n})+m(A_{1}\backslash A_{n})\\m(A_{n})=&m(A_{1})-m(A_{1}\backslash A_{n})\\\end{aligned}}$

Im Grenzwert gilt

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=&\lim _{n\rightarrow \infty }\left(m(A_{1})-m\left(A_{1}\backslash A_{n}\right)\right)\\=&m(A_{1})-\lim _{n\rightarrow \infty }m\left(A_{1}\backslash A_{n}\right)\\=&m(A_{1})-m\left(A_{1}\backslash \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\\{\stackrel {m{\text{ additiv}}}{=}}&m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\end{aligned}}$

wobei die Additivität von $m$ und $m(A_{1})<\infty$ verwendet wurde

${\begin{aligned}\infty >m(A_{1})=m\left(A_{1}\backslash \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)+m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\end{aligned}}$

3.) $\Rightarrow$ 4.):

Die Stetigkeit von oben impliziert natürlich die Stetigkeit in der leeren Menge:

$\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n}){\stackrel {3.)}{=}}m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=m(\emptyset )=0$

4.) $\Rightarrow$ 3.):

Wir müssen eine Mengenfolge konstruieren, die gegen die leere Menge geht. Es gilt $A_{n}\supseteq A_{n+1}$. Wir schneiden auf beiden Seiten mit einer Menge und die Enthaltenrelation bleibt erhalten

$A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\supseteq A_{n+1}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}$

Diese neue Mengenfolge ist monoton fallend gegen ihren Schnitt, die leere Menge:

$\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\right)=\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\emptyset$

Somit gilt

$A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\downarrow \emptyset$

Wegen $A_{n}\subseteq A_{n-1}$ und $m(A_{1})<\infty$ gilt mit der Monotonie

$\forall n\in \mathbb {N} :\ m(A_{n})<\infty$

Das ergibt

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n}){\stackrel {m{\text{ additiv}}}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }m\left(A_{n}\cap \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\right)+m\left(A_{n}\cap \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\\{\stackrel {4.)}{=}}&m(\emptyset )+m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\end{aligned}}$

3.) $\Rightarrow$ 2.) für $m(W)<\infty$:

Sei $W\in R$ und $m(W)<\infty$. Wir haben früher gezeigt

${\text{Aus }}A_{n}\uparrow \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\text{ folgt }}W\backslash A_{n}=A_{n}^{C}\downarrow \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}=W\backslash \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$

Mit der Additivität von $m$ gilt

${\begin{aligned}W=&A_{n}\uplus (W\backslash A_{n})\\m(W)=&m(A_{n})+m(W\backslash A_{n}^{C})\\m(W)=&m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)+m\left(W\backslash \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\end{aligned}}$

Da $m(W)<\infty$ folgt

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=&m(W)-\lim _{n\rightarrow \infty }m\left(W\backslash A_{n}\right)\\{\stackrel {3.)}{=}}&m(W)-m\left(W\backslash \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\\=&m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\end{aligned}}$

Gegenbeispiel für 3.) $\not \Rightarrow$ 2.) bei $m(W)=\infty$:

Betrachte die natürlichen Zahlen als Grundmenge $W=\mathbb {N}$ und als Ring alle Teilmengen, d.h. $R=Pot(W)$. Die Größe $m$ einer Menge sei die Anzahl ihrer Elemente. Das ist sigma-additiv durch die Disjunktheit

${\begin{aligned}m\left(\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=&{\text{Anzahl Elemente in }}\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\\=&\sum _{n=1}^{\infty }{\text{Anzahl Elemente in }}A_{n}\\=&\sum _{n=1}^{\infty }m(A_{n})\\m(\emptyset )=&{\text{Anzahl Elemente in }}\emptyset =0\\\end{aligned}}$

Betrachte nun die monoton fallende Mengenfolge der

${\begin{aligned}A_{n}=&\{n,n+1,n+2,\ldots \}\\m(A_{n})=&\infty \end{aligned}}$

Ein beliebiges $k\in \mathbb {N}$ ist ab $A_{k}$ nicht mehr in der Mengenfolge enthalten, d.h.

${\begin{aligned}\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=&\emptyset \end{aligned}}$

Es gilt also

${\begin{aligned}A_{n}\supseteq &A_{n+1}\\A_{n}\downarrow &\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\emptyset \\\forall n\in \mathbb {N} :m(A_{n})=&\infty \end{aligned}}$

Es folgt

$\lim _{n\rightarrow \infty }m(A_{n})=\infty \neq 0=m(\emptyset )=m\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)$

Ein Widerspruch. Somit ist $m$ nicht stetig von oben.