Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Inhalte auf Mengenringen

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Inhalte auf Ringen[Bearbeiten]

extensive Größen und Additivität[Bearbeiten]

  • Beispiele für extensive Größen; Messen als Quantifizieren: Ideen:
    • Masse m
    • Volumen (Länge, Flächeninhalt, Volumen; evtl. auch nicht ganzzahliger Dimension (Fraktale))
    • Stoffmenge n
    • elektrische Ladung Q
    • Impuls (?)
    • Thermodynamisches Potential // innere/freie Energie, freie Enthalpie, Entropie (?)
    • Wahrscheinlichkeiten
    • ein Beispiel zur Abgrenzung: Temperatur als nicht extensive Größe (Zusammenfügen zweier Körper derselben Temperatur führt nicht zu einer Summe der Temperaturen)
    • Mengenartige Größen als Größen, die man mit “viel” und “wenig” charakterisieren kann (Viel oder wenig oder keine Ladung, aber nicht: viel/wenig/keine Temperatur) -> Zusammenhang mit “Messen”
  • es folgt: Additivität einer solchen extensiven Mengenfunktion

Welcher Definitionsbereich?[Bearbeiten]

  • welcher Definitionsbereich der Mengenfunktion? Potenzmenge?
  • klappt nicht immer: Banach-Tarski und das Inhaltsproblem
  • welche Eigenschaften wollen wir aber zumindest haben m. B. auf Additivität?
    • disjunkte Vereinigung: als “+”, wegen der Additivität (wenn zwei Teile bekannt, dann auch ihre Summe)
    • Differenz: als "-" (wenn Volumen des Ganzen bekannt und eines Teils davon, dann auch der des anderen Teils)
  • wegen Differenz kann man beliebige Vereinigungen zulassen

Definition: Mengenring[Bearbeiten]

  • Definition: Mengenring

Definition: Inhalt auf einem Ring[Bearbeiten]

  • Definition: Inhalt auf Ring

Eigenschaften von Inhalten[Bearbeiten]

  • Subtraktivität
  • Monotonie
  • Subadditivität
  • sigma-Superadditivität (?!)
  • Einschluss-Ausschluss-Prinzip