Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Inhalte auf Mengenringen
Inhalte auf Ringen[Bearbeiten]
extensive Größen und Additivität[Bearbeiten]
- Beispiele für extensive Größen; Messen als Quantifizieren: Ideen:
- Masse m
- Volumen (Länge, Flächeninhalt, Volumen; evtl. auch nicht ganzzahliger Dimension (Fraktale))
- Stoffmenge n
- elektrische Ladung Q
- Impuls (?)
- Thermodynamisches Potential // innere/freie Energie, freie Enthalpie, Entropie (?)
- Wahrscheinlichkeiten
- ein Beispiel zur Abgrenzung: Temperatur als nicht extensive Größe (Zusammenfügen zweier Körper derselben Temperatur führt nicht zu einer Summe der Temperaturen)
- Mengenartige Größen als Größen, die man mit “viel” und “wenig” charakterisieren kann (Viel oder wenig oder keine Ladung, aber nicht: viel/wenig/keine Temperatur) -> Zusammenhang mit “Messen”
- es folgt: Additivität einer solchen extensiven Mengenfunktion
Welcher Definitionsbereich?[Bearbeiten]
- welcher Definitionsbereich der Mengenfunktion? Potenzmenge?
- klappt nicht immer: Banach-Tarski und das Inhaltsproblem
- welche Eigenschaften wollen wir aber zumindest haben m. B. auf Additivität?
- disjunkte Vereinigung: als “+”, wegen der Additivität (wenn zwei Teile bekannt, dann auch ihre Summe)
- Differenz: als "-" (wenn Volumen des Ganzen bekannt und eines Teils davon, dann auch der des anderen Teils)
- wegen Differenz kann man beliebige Vereinigungen zulassen
Definition: Mengenring[Bearbeiten]
- Definition: Mengenring
Definition: Inhalt auf einem Ring[Bearbeiten]
- Definition: Inhalt auf Ring
Eigenschaften von Inhalten[Bearbeiten]
- Subtraktivität
- Monotonie
- Subadditivität
- sigma-Superadditivität (?!)
- Einschluss-Ausschluss-Prinzip